1. Un sistema de ecuaciones sin solución es ... a. ... un sistema compatible determinado. b. ... un sistema compatible indeterminado. c. ... un sistema incompatible. d. No es posible un sistema así.
2. Al resolver un sistema de ecuaciones por el método de Gauss, se ha llegado a la matriz ampliada
Representando x la primera columna; y la segunda; y z la tercera, ¿cuál es la solución del sistema
de ecuaciones? a. x = 2; y = 1; z = 2. b. x = 1; y = 1; z = 1. c. x = 2; y = 1; z = 3. d. El sistema es incompatible.
3. Siendo A y B matrices cuadradas; I matriz identidad, y A^−1, B^−1, C^−1 y D^−1 las matrices inversas de A, B, C y D, señala cuál es la solución de la siguiente ecuación:
A · X · B^−1 − C = D a. X = A^−1 · B^−1 · (D + C). b. X = (D + C) · A^−1 · B^−1. c. X = A · (D + C) · B^−1. d. X = A^−1 · (D + C) · B.
4. Clasifica el siguiente sistema en compatible determinado (SCD), compatible indeterminado (SCI) o
incompatible (SI).
x + 2y = 3
2x + 4y = 5 a. Sistema compatible determinado (SCD). b. Sistema compatible indeterminado (SCI). c. Sistema incompatible (SI). d. Es imposible saberlo.
5. Calcula la inversa de la matriz:
A B C D.
6. Una matriz tiene autovalores −1 y 2.
Si las multiplicidades algebraicas de los autovalores son a(−1) = 2 y a(2) = 1, la ecuación
característica es: a. (λ+ 1)^2 · (λ − 2) = 0. b. (λ + 1)^2 · (λ − 2). c. (λ − 1)^2 · (λ + 2) = 0. d. (λ − 1)^2 · (λ + 2).
7. De las siguientes expresiones, señala la que es falsa. a. La multiplicidad geométrica de cada valor propio es, como máximo, la dimensión de la
matriz. b. La multiplicidad geométrica de un valor propio es menor o igual que su multiplicidad
algebraica. c. La multiplicidad geométrica de un valor propio se puede calcular como la diferencia entre la
dimensión de la matriz y el rango de la matriz A – λ(0) ·I.
d. Los vectores propios correspondientes a valores propios distintos son vectores linealmente
dependientes.
8. Sabiendo que los autovalores de una matriz 3x3 son λ1 = λ2 = 6 y λ3 = 12, ¿Cuál de las siguientes
afirmaciones es válida?
Nota: a(λ) indica la multiplicidad algebraica del autovalor. a. a(6) = 1 y a(12) = 1. b. a(6) = 1 y a(12) = 2. c. a(6) = 2 y a(12) = 1. d. a(6) = 2 y a(12) = 2.
9. ¿Cuáles son los autovalores de la siguiente matriz? a. 1 y 2. b. −1 y 2. c. Solo el 1. d. Solo el 2.
10. ¿Cuáles son los autovectores de la matriz? a. (1, 5) y (0, 1). b. (2, 2) y (0, 2). c. (1, −5) y (0, −1). d. (5, 1) y (2, 0).
11. Señala la única de las siguientes expresiones que es **falsa**:
a. Dado un espacio vectorial V, con las operaciones suma y producto, y un conjunto de
vectores {v1, v2... vn} de V, diremos que dichos vectores son un sistema generador de V si
todo vector v de V se puede escribir como combinación lineal del conjunto de vectores. b. B es una base de un espacio vectorial V si B es un sistema generador de V y además B
está formado por vectores linealmente independientes. c. La dimensión de un espacio vectorial es el máximo número de vectores independientes que
podemos tener en el espacio. d. Dos vectores v y w son ortogonales si son paralelos, es decir, el seno del ángulo que
forman es cero.
12. Halla el valor de k para que los vectores (1, k, 1) y (−1, 2, 1) sean perpendiculares: a. k = 1. b. k = 0. c. Para ningún valor de k. d. Para cualquier valor de k.
13. Sean los siguientes conjuntos de vectores:
A = {(1, 2, 3), (3, 2, 1), (1, 1, 1)} y
B = {(1, 1, 1), (1, −1,0), (1, 1, −2)}.
Señala si los conjuntos de vectores son linealmente dependientes (LD) o linealmente
independientes (LI).
a. A es LD, B es LD. b. A es LD, B es LI. c. A es LI, B es LD. d. A es LI, B es LI.
14. El ángulo entre los vectores (1, 1) y (1, −1) mide: a. 30°. b. 45°. c. 60°. d. 90°.
15. Sabiendo que los vectores v = PQ y w = QP son v = (2, 5) y w = (−2, −5), los puntos P y Q pueden
ser: a. P (1, 2) y Q (3, 7). b. P (3, 7) y Q (1, 2). c. P (−1, −2) y Q (3, 7). d. P (3, 7) y Q (−1, −7).
16. En R^2, ¿con qué transformación se corresponde la siguiente matriz? a. Reflexión sobre el eje X. b. Reflexión sobre el eje Y. c. Proyección sobre el eje X. d. Proyección sobre el eje Y.
17. Señala la opción verdadera. Una transformación lineal T: V → W es inyectiva si…
a. ... dimensión (V) = dimensión (Im(V)). b. ... dimensión (W) = dimensión (Im(V)). c. ... dimensión (Im(V)) = 0. d. ... ker (T) = W.
18. Sea el conjunto de vectores Q = {(1, −1, 1, −1), (1, 0, m, n), (2, 3, 3, 2)}. Los valores de m y n para
que los vectores sean ortogonales dos a dos son: a. m = −4/5, n = 1/5. b. m = 4/5, n = −1/5. c. m = −4/5, n = −1/5. d. m = 4/5, n = 1/5.
19. El núcleo de la transformación lineal T: R^3→ R^2, definida por
[Imagen]
es:
a. Ker (T) = {t · (1, −1, 1) / t ∈ R}. b. Ker (T) = {t · (−1, 1, 1) / t ∈ R}. c. Ker (T) = {t · (1, 1, −1) / t ∈ R}. d. Ker (T) = {t · (1, −1, −1) / t ∈ R}.
20. Sea la transformación T: V→ W, tal que T (v1, v2) = (v1 − v2, v1 − 3v2). La preimagen del vector w= (−2, 2) es:
a. (−4, −8). b. (−4, 4). c. (−4, 2). d. (−4, −2).
21. El resto de la división (2^25 · 3^47) / 23 es... a. ... 9. b. ... 2. c. ... 4. d. ... 8.
22. Si a ≡ b (mod m) y c ≡ d (mod m), ¿Cuál/es de las siguientes expresiones es/son **falsa/s**?
1. a + c ≡ b + d (mod m).
2. a − c ≡ b − d (mod m).
3. a · c ≡ b · d (mod m).
4. a / c ≡ b / d (mod m).
a. 2. y 3. b. 1. y 2. c. 2. y 4. d. 4.
23. Señala la única expresión falsa en Z{5}(módulo 5):
a. [1]^−1 = 0. b. [2]^−1 = 3 c. [3]^−1 = 2. d. [4]^−1 = 4.
24. ¿Cuál es la solución del sistema del siguiente sistema de congruencias lineales?
3 · x ≡ 2 (mod 8)
2 · x ≡ 1 (mod 5) a. x = 40 + 28 · t, con t ∈ Z. b. x = 28 + 40 · t, con t ∈ Z. c. x = 38 + 40 · t, con t ∈ Z. d. x = 4 + 2 · t, con t ∈ Z.
25. Calcula el máximo común divisor de los números 105, 147 y 231. a. 3. b. 7. c. 21. d. 42.
26. Si hablamos de un grafo donde todos los vértices están unidos mediante aristas al resto de
vértices, hablamos de un grafo… a. … lineal. b. … circular. c. … completo. d. … bipartito.
27. ¿Cuántas aristas tiene el grafo completo de 6 vértices K[6]? a. 5. b. 6. c. 10. d. 15.
28. ¿Cuál es la matriz de adyacencia del siguiente grafo? M=(0 1 0 1 1)
(1 0 1 0 0)
(0 1 0 0 1)
(1 0 0 0 0)
(1 0 1 0 0) M=(1 1 0 1 1)
(1 1 1 0 0)
(0 1 1 0 1)
(1 0 0 1 0)
(1 0 0 0 0) M=(0 1 0 1 1)
(0 0 1 0 0)
(0 0 0 0 1)
(0 0 0 0 0)
(0 0 0 0 0) M=(1 1 0 1 1)
(0 1 1 0 0)
(0 0 1 0 1)
(0 0 0 1 0)
(0 0 0 0 1).
29. Dado el siguiente árbol,
¿Cuántos nodos padre hay? a. 11. b. 6. c. 4. d. 3.
30. Dado el siguiente grafo:
¿Cuántas aristas tiene su grafo complementario?
a. 8. b. 6. c. 4. d. 2.
1. Sea la matriz ampliada de un sistema de ecuaciones con el parámetro m:
Señala la opción verdadera: a. Si m = 4, el sistema es compatible indeterminado. b. Si m = 4, el sistema es incompatible. c. Si m = 4, el sistema es compatible determinado. d. Si m ≠ 4, el sistema es incompatible.
2. Siendo A y B matrices cuadradas, I matriz identidad y A^−1 y B^−1 las matrices inversas de A y B,
señala cuál de las siguientes expresiones **no** es correcta.
a. A · A^−1 = I. b. (A · B)^−1 = B^−1· A^−1. c. A · I = I · A = A. d. A · B = B · A.
3. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones forma con x + 2y = 5 un sistema compatible indeterminado? a. 3x + 4y = 10. b. 3x + 6y = 15. c. 3x + 4y = 15. d. 6x + 8y = 10.
4. Sea el sistema de ecuaciones lineales siguiente:
3x + 2y = 1
6x + 4y = 2
El sistema es: a. Sistema compatible determinado (SCD). b. Sistema compatible indeterminado (SCI). c. Sistema incompatible (SI).
d. Sistema incompatible determinado (SID).
5. Calcula la inversa de la matriz:
a) (-2 3)
(1 1) b) (2 3)
(-1 1) c) (-2 3)
(1 -1) d) (-2 -3)
(-1 -1).
6. Una matriz tiene autovalores −3, −1 y 2, con multiplicidades geométricas g(−3) = 2, g(−1) = 1 y
g(2) = 1. ¿Cuántas veces es −3 raíz de la ecuación característica? a. Exactamente 2. b. 2 o menos. c. 2 o más. d. Menor o igual a 4.
7. De las siguientes expresiones, señala la que es falsa.
a. La multiplicidad geométrica de cada valor propio es como máximo la dimensión de la
matriz → [0 < g(λ(0)) ≤ n] b. La multiplicidad geométrica de un valor propio es menor o igual que su multiplicidad
algebraica → 0 < g(λ(0)) ≤ a(λ(0)) c. La multiplicidad geométrica de un valor propio se puede calcular como la diferencia entre la
dimensión de la matriz y el rango de la matriz A – λ(0)· I d. Los vectores propios correspondientes a valores propios distintos son vectores linealmente
dependientes.
8. Sabiendo que la traza de una matriz; es decir, la suma de los elementos de su diagonal principal es
igual a la suma de sus valores propios, ¿Cuál es la traza de la matriz A? a. 3. b. 2. c. 1. d. −1.
9. λ = 5 es un autovalor de la matriz
El autovector correspondiente a ese autovalor es: a. (2, 1). b. (2, −1). c. (1, 2). d. (2, 2).
10. ¿Cuáles son los valores propios de la siguiente matriz? a. λ(1) = 2; λ(2)= 1 b. λ(1) = −2; λ(2)= 1 c. λ(1) = 2; λ(2)= −1 d. λ(1) = −2; λ(2)= −1.
11. Dados los siguientes vectores v1 = (2, 3, 1), v2 = (-2, 3, −1) y v3 = (3, 2, 2), ¿Cuál/es tiene/n mayor
módulo? a. v1, v2. b. v1, v2, v3. c. v2, v3. d. v3.
12. Sabiendo que los vectores v = PQ y w = QP son v = (1, 4) y w = (−1, −4), los puntos P y Q pueden
ser: a. P (0, 2) y Q (1, 6). b. P (3, 7) y Q (1, 2). c. P (−1, −2) y Q (3, 7). d. P (3, 7) y Q (−1, −27).
13. Sean los siguientes conjuntos de vectores: A = {(1, 1, 1), (2, 2, 3), (3, 3, 2)} y B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0),(0, 0, 1)}. Señala si los conjuntos de vectores son linealmente dependientes (LD) o linealmente
independientes (LI). a. A → LD, y B → LD. b. A → LD, y B → LI. c. A → LI, y B → LD. d. A → LI, y B → LI.
14. El ángulo entre los vectores (2, 1) y (3, −1) mide: a. 0°. b. 30°. c. 45°. d. 60°.
15. Señala la única de las siguientes expresiones que es falsa: a. Dado un espacio vectorial V, con las operaciones suma y producto, y un conjunto de
vectores {v1,v2... vn} de V, diremos que dichos vectores son un sistema generador de V si
todo vector v de V se puede escribir como combinación lineal del conjunto de vectores. b. B es una base de un espacio vectorial V si B es un sistema generador de V y, además, B
está formado por vectores linealmente independientes. c. La dimensión es el máximo número de vectores independientes que podemos tener en el
espacio. d. Dos vectores v y w son ortogonales si son paralelos; es decir, el seno del ángulo que
forman es cero.
16. El núcleo de la transformación lineal T: R3→ R2, tal que es: a. Ker (T) = {t · (1, 1, 0) / t ∈ R}. b. Ker (T) = {t · (−1, 1, 0) / t ∈ R}. c. Ker (T) = {t · (1, −1, 0) / t ∈ R}. d. Ker (T) = {t · (1, 1, 1) / t ∈ R}.
17. Señala la opción verdadera. Una transformación lineal T: V → W es sobreyectiva si… a. Dimensión (V) = Dimensión (Im(V)). b. Dimensión (W) = Dimensión (Im(V)). c. Dimensión (Im(V)) = 0. d. Ker (T) = W.
18. Sea el conjunto de vectores Q = {(2, 3, 2, −2), (1, 0, m, n), (−1, 0, 2, 1)}. Los valores de m y n para
que los vectores sean ortogonales dos a dos son: a. m = 1, y n = 0. b. m = 0, y n = 1. c. m = −1, y n = 0 d. m = 0, y n = −1.
19. Sea la transformación T: V→ W, tal que T (v1, v2) = (v1 − v2, v1 − 3(v2)). La preimagen del vector w =(0, −2) es: a. (0, −2). b. (0, 1). c. (1, −1). d. (1, 1).
20. ¿Con qué transformación se corresponde la siguiente matriz?
a. Reflexión sobre el eje X. b. Reflexión sobre el eje Y. c. Proyección sobre el eje X. d. Proyección sobre el eje Y.
21. Una congruencia lineal
a · x ≡ b (mod n)
con n siendo un número natural y a y b números enteros cualesquiera no tiene solución cuando: a. El máximo común divisor de los números a y n no divide al número b. b. El máximo común divisor de los números a y n divide al número b. c. El máximo común divisor de los números b y n no divide al número a. d. El máximo común divisor de los números a y b no divide al número n.
22. Señala la única expresión **falsa** en Z7(módulo 7): a. [2]^−1 = 4. b. [3]^−1 = 5. c. [4]^−1 = 2. d. [5]^−1 = 4.
23. Sean las congruencias siguientes:
1) 1234567 · 90213 ≡ 1 (mod 10).
2) 623≡ 1 (mod 5).
3) −48 ≡ 1 (mod 7).
4) −176 ≡ 1 (mod 59).
¿Cuáles son las congruencias ciertas? a. Solo la 1. b. Solo la 1 y la 2. c. Solo la 1, la 2 y la 3. d. Las cuatro son ciertas.
24. Calcula el máximo común divisor de los números 146, 219 y 365. a. 3. b. 73. c. 23. d. 93.
25. Utilizando el teorema de Fermat, señala el resto de (2^24 · 3^23) entre 23 a. 9. b. 2. c. 12. d. 8.
26. Si hablamos de un grafo con todos los vértices de grado 2, hablamos de un grafo… a. … lineal. b. … circular. c. … completo. d. … bipartito.
27. Los nodos de un árbol pueden ser nodo raíz, nodo hijo, nodo padre, nodo hoja y nodo interno.
Señala entre las siguientes afirmaciones aquella que es **falsa**. a. El nodo raíz no puede ser un nodo hijo. b. Un nodo padre puede ser también nodo hijo. c. Un nodo padre puede ser también nodo hoja. d. Los nodos internos no pueden ser ni nodo raíz ni nodo hoja.
28. ¿Cuál es la matriz de adyacencia del siguiente grafo? a. M=
( 0 1 0 1 1 )
( 1 0 1 0 0 )
( 0 1 0 0 1 )
( 1 0 0 0 0 )
( 1 0 1 0 0 ) b. M=
( 1 1 0 1 1 )
( 1 1 1 1 0 )
( 0 1 1 0 1 )
( 1 0 0 1 0 )
( 1 0 0 0 1 ) c. M=
( 0 1 0 1 1 )
( 0 0 1 0 0 )
( 0 0 0 0 1 )
( 0 0 0 0 0 )
( 0 0 0 0 0 ) d. M=
( 1 1 0 1 1 )
( 0 1 1 0 0 )
( 0 0 1 0 1 )
( 0 0 0 1 0 )
( 0 0 0 0 1 ).
29. Un grafo euleriano es un grafo conexo cuyos vértices tienen todos grado par. Sean los grafos
siguientes:
(Nota: en los grafos eulerianos existe al menos un circuito euleriano; es decir, un circuito que pasa
por todas las aristas sin repetir ninguna).
Señala la opción que contenga todos los grafos eulerianos: a. G2 y G3. b.G2 y G4. c. G2, G3 y G4. d. G2.
30. Dado el siguiente árbol:
¿Cuántos nodos padre hay? a. 11. b. 6. c. 4. d. 3.
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