Cuál es cierta: La operación suma es una operación externa en V La operación producto por escalares es una operación interna en V (V,+, ·) es un grupo abeliano o conmutativo Ninguna de las anteriores.
Si (V,+,·) es un espacio vectorial sobre R o un espacio vectorial real, entonces: para todo landa perteneciente a R, landa·0=0
para todo landa perteneciente a R, para todo v perteneciente a V, landa·v=0, landa=0 ò v=0
para todo landa perteneciente a R, para todo v perteneciente a V, con v distinto de 0 si, landa·v=mu·v entonces landa=mu
todas las anteriores
.
De los siguientes temas, con operaciones habituales, es espacio vectorial:
(Z,+, ·)
(Q,+, ·)
[Rn[x], x, ·), donde Rn[x] denota los polinomios de grado menor o igual que n
Todas las anteriores.
Se cumple para cualesquiera dos subespacios vectoriales de un espacio vectorial:
La intersección de ambos también es un subespacio La unión de ambos también es un subespacio La suma, sólo si es directa, también es un subespacio Todas las anteriores.
Es cierto que
No existen espacios vectoriales con un número finito de elementos
Existen siempre, al menos, dos subespacios de un espacio vectorial.
Existen siempre, al menos, dos subespacios suplementarios de un espacio vectorial Todas son falsas.
Es cierto que
0 pertenece a W para todo w perteneciente a W, -w pertenece a W
para todo landa, mu pertenecientes a R, para todo v, w pertenecientes a W, landa*v + mu*w pertenecientes a W
Todas son ciertas.
Sea V un espacio vectorial y sean W1 y W2 dos subespacios de V. Entonces
W1+W2 es el menor subespacio de V que contiene a W1 y W2
La única descomposición del vector nulo como suma de un vector de W1 y W2 es la trivial Si W1 intersección W2 = {0}, la suma no es directa Todas son falsas.
Sea V un espacio vectorial y sean W1, W2,…, Wn subespacios de V cuya suma es directa. Entonces
Intersección Wi y Wj= {0} para todo i distinto de j
La única descomposición del vector nulo es la trivial 0=0+0+0…
La descomposición de cada vector v=w1+w2+…+wn como suma de vectores de Wi es única Todas son ciertas.
Sea V un espacio vectorial y S un subconjunto no vacío de V. El subespacio generado por el subconjunto S:
Es el menor de los subespacios de V que contiene a dicho conjunto Es precisamente el conjunto de vectores de V que se puede expresar como combinación lineal de los vectores de S
a y b son ciertas
a y b son falsas
.
Sea V un espacio vectorial y sean S y S’ dos subconjuntos de vectores de V. Entonces: S es un sistema generador de V si <S>=V
S y S’ son equivalentes si y sólo si todo vector de S es L.I. de los de S’ y recíprocamente
Todas son ciertas Todas son falsas.
Se cumple que La independencia lineal de los vectores v1, v2…, vn es equivalente a que la suma de los subespacios generados por cada cual de dichos vectores sea directa Todo sistema que contenga a un subespacio ligado, es ligado Todo subsistema de un sistema libre, es libre Todas son ciertas.
Sea V un espacio vectorial y S= {v1, v2,…, vn} un sistema de vectores no nulos de V con n>=2. S es ligado si y solo si: Existe un vector vi que es combinación lineal de los restantes Existe un vector vi tal que los sistemas S y S*{vi} son equivalentes a y b son ciertas a y b son falsa.
Sea V un espacio vectorial y S= {v1, v2,…, vn} un conjunto de vectores de V. Entonces {v1, v2,…vn} es una base de V si y solo si: Es un sistema generador de V
Los vectores v1, v2,…, vn son linealmente independientes Todo vector de V se puede expresar de forma única como combinación lineal de dichos vectores Todas son ciertas.
Sea V un espacio vectorial no trivial de tipo finito. Se verifica que: Todo vector de V se puede identificar con su vector de coordenadas respecto a una base Las coordenadas de un vector pueden ser diferentes si se cambia la base
Las componentes de un vector pueden ser diferentes, si se cambia la base
Todas son ciertas
.
Sea V un espacio vectorial no trivial de tipo finito. Se verifica que:
De todo sistema generador puede extraerse un subsistema que sea base
Todo sistema libre puede ampliarse a una base
V tiene al menos una base
Todas son ciertas.
Sea V un espacio vectorial no trivial de tipo finito. Se verifica que:
Todas las bases tienen el mismo número de elementos, al que se llama dimensión de V La dimensión de Rn[x] es n dim {Mn(R)}=2n Todas son ciertas.
En un espacio vectorial de tipo finito V: dim (V) es el número mínimo de vectores necesarios para generar V dim(V) es el número máximo de vectores de un sistema libre a y b son ciertas a y b son falsas.
Si W es un subespacio vectorial de un espacio vectorial de tipo finito V. Entonces: dim (W) es distinta de dim (V) dim (W) es distinta de dim (V) si y solo si W=V a y b son ciertas a y b son falsas.
Sea V un espacio vectorial y sean W y U subespacios de dimensión finita de V. Entonces: dim (W+U)= dim (W)+ dim (U)+dim (W unión U) dim (W+U)= dim (W)+dim (U)-dim (W unión U) a y b son verdaderas a y b son falsas.
Sea V un espacio vectorial y sean W y U subespacios de dimensión finita de V y sean v y v’ vectores de V. Entonces:
Las variedades vectoriales v+W y v’+U son iguales si y solo si W=U Las variedades vectoriales v+W y v’+U son siempre distintas Las variedades vectoriales v+W es subespacio si y solo si v pertenece a W Todas las anteriores.
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