algebra lineal I

Sea A una matriz cuadrada, de orden n, no nula. Las matrices In +A+A2 +A3 e In −A son inversas si: (a) A es nilpotente. (b) A^4= 0. (c) Las matrices dadas no pueden ser inversas si A distinto 0.

Si A es una matriz de orden m × n y C es una inversa por la izquierda de A, entonces. El sistema lineal AX = B es compatible. El sistema lineal AX = B no puede ser compatible indeterminado. Si el sistema lineal AX = B es compatible, entonces CB es una solución del sistema, pero no es única.

Sea U un subespacio vectorial de K^3 y {(1, 0, 1) + U, (1, 1, 0) + U} una base del espacio cociente K^3 módulo U, entonces. Sea U un subespacio vectorial de K3 y {(1, 0, 1) + U, (1, 1, 0) + U} una base del espacio cociente K3 módulo U, entonces. U es la recta generada por el vector (0, 0, 1). U es una recta no contenida en el plano de ecuación x − y − z = 0.

Sean f : U → V una aplicación lineal y v1, . . . , vn vectores linealmente independientes de U. Entonces. Si los vectores f(v1), . . . , f(vn) son un sistema generador, y no una base, de V , entonces dim U > dim V. Si f(v1), . . . , f(vn) son linealmente dependientes, entonces f es sobreyectiva. Si f(v1), . . . , f(vn) son linealmente independientes, entonces f es inyectiva.

Dado el sistema lineal AX = B con matriz ampliada (A|B) se cumple que: Hay dos valores de a para los cuales el sistema es incompatible. Hay infinitos pares de valores (a, b) para los cuales el sistema es incompatible. Los valores del parámetro b no determinan la incompatibilidad del sistema.

Dada la matriz A se cumple que: A es invertible si a distinto de b. Si a = 1 y b = −1 su forma de Hermite por filas (o forma escalonada reducida) es ( 1 0 b ) ( 0 1 b ) ( 0 0 0 ). A puede tener rango 1 dependiendo de los valores de a y b.

Sea f : K^3 → K^3 la aplicación lineal dada por la ecuación f(x, y, z) = (3x − 2y, 4x − 3y, 6x − 6y + z) Determine cuál de las siguientes afirmaciones es correcta: El subespacio núcleo de f es una recta de K^3. f es una simetría. El subespacio imagen de f no contiene a la recta L((1, 1, 1)).

Sea f : K^3 → K^3 la aplicación lineal dada por la ecuación f(x, y, z) = (3x − 2y, 4x − 3y, 6x − 6y + z) La matriz de f respecto de la base B = {(1, 1, 1),(0, 1, 0),(0, 0, 1)} es. 1 −2 0 0 −1 0 0 −4 1. 1 −1 0 1 −1 1 0 −4 1. Ninguna de las anteriores.

9. Sean B = {v1, v2, v3, v4} una base de un K−espacio vectorial V , y U y W los siguientes subespacios de V : U = L( v1 + v2, v1 − 2v3 + v4 ), W = L( v1 + 2v2 + 3v3, v1 + v2 + v3 + v4 ) El subespacio intersección U ∩ W. es la recta generada por el vector v1 − 2v3 + v4. unas ecuaciones implícitas de U ∩ W son {x1 = 0, x3 − 2x2 = 0, x2 + x4 = 0}. U ∩ W = {0}.

Con los mismos datos de la pregunta anterior, el subespacio suma U + W cumple que: es igual a V , aunque U y W no son suplementarios. {v1 + v2, v3 + v4, v1} es una base de U + W. {v1 + v2, −v2 − 2v3 + v4, v3 + v4} es una base de U + W.

Si A es una matriz cuadrada ortogonal, es decir, A^t*A = In, entonces: La matriz (A − In)(A^t + In) es simétrica. Si A es simétrica, entonces (A − In)(A^t + In) puede no ser simétrica. Si A es involutiva, es decir A^2 = In, entonces también es simétrica.

Si una matriz A es equivalente por filas a la matriz. El sistema AX = B es compatible para toda matriz B de orden 3 × 1. El sistema AX = B puede ser incompatible dependiendo de la matriz B de orden 3 × 1. El sistema lineal homogéneo AX = 0 tiene como única solución X = 0.

Sean U y W dos planos distintos de K^4. Entonces,. U + W = K^4. U ∪ W no es un subespacio vectorial de K^4. La unión de una base de U y una base de W es una base de K^4.

Sea f : K^3 → K^4 una aplicación lineal. Determine cuál de las siguientes afirmaciones es correcta: Si los vectores f(1, 0, 0), f(0, 1, 0) y f(0, 0, 1) son linealmente dependientes, entonces Ker(f) contiene una recta de K^3. Si los vectores f(1, 0, 0), f(0, 1, 0) y f(0, 0, 1) generan una recta de K^4 , entonces Ker(f) no contiene ningún plano de K^3. Si Ker(f) = {(0, 0, 0)}, entonces f es inyectiva y el subespacio Im(f) es un plano de K^4.

Sea a ∈ K y f : K^4 → K^3 la aplicación lineal cuya matriz en las bases canónicas es: Si la aplicación es sobreyectiva, entonces a = 2. El núcleo de f es un plano de K^4 si y sólo si a = 1. Si a = −1 el subespacio Im(f) es un plano de K^3 .

Sea a un número entero y dada A, entonces. El determinante de A es un número impar. El determinante de A es un múltiplo de a 4. La matriz A no puede tener rango igual a 3.

Si P es el plano de K^4 generado por los vectores u1 = (0, 1, 1, 0) y u2 = (−1, 1, 1, 0) entonces: El plano P1 de ecuaciones {x1 + x2 + x4 = 0, 2x1 + x2 = 0} es un suplementario de P. La recta generada por el vector (−2, 3, 3, 0) no está contenida en P. La intersección de P con el plano P2 = L((0, 0, 0, 1), (−1, 3, 1, 0)) es una recta.

Sea U el subespacio de R^4[x] formado por los polinomios p(x) ∈ R^4[x] tales que p´(1) = 0, donde p´(x) denota la derivada de p(x). Entonces, se cumple que. Un suplementario de U es el subespacio generado por los polinomios q(x) = x+x^2 y r(x) = 1−x^3. Una base de U está formada por los polinomios {1, x + x^3 − x^4, x + x^2 − x^3}. U es un hiperplano de R^4[x].

Sea f : K^3 → K^3 la aplicación lineal dada por la ecuación f(x, y, z) = (0, 0, x + z). Determine cuál de las siguientes afirmaciones es correcta: f es una proyección. El subespacio núcleo de f es la recta generada por el vector (1, 0, −1). La matriz de f en la base canónica es nilpotente.

Sea a ∈ K y f : K^4 → K^3 la aplicación lineal cuya matriz en las bases canónicas es La matriz de f en la base C4, canónica de K^4 , y B = {(1, 1, 0,), (1, 0, 1), (0, 0, 1)} de K^3 es. 2 a+1 3 a−1 −1 0 −1 0 2 0 2 1−a. 2 a+1 3 a−1 −1 0 0 0 2 0 2 1−a. 2 a+1 3 a−1 −1 0 −1 1 2 0 2 1−a.

Si A es una matriz no nula de orden n idempotente, es decir A^2 = A, entonces. La matriz A + In es idempotente. (In + A)^2 − 2A^2 = λIn para algún λ ∈ K. In − A es idempotente.

Sea A una matriz de orden m × n escalonada reducida por filas y con r < min{m, n} pivotes. Entonces,. A es equivalente por filas a una matriz de la forma Ir B 0 0 de orden m × n. A es equivalente por columnas a una matriz de la forma Ir B 0 0 de orden m × n. A no es equivalente a una matriz de la forma Ir B 0 0 de orden m × n.

Sea AX = B un sistema lineal de m ecuaciones y n incógnitas. Si la forma de Hermite por filas de la matriz ampliada (A|B) tiene la última fila nula, entonces. el sistema no puede ser incompatible. si m = n, el sistema es compatible indeterminad. existe al menos una ecuación en el sistema AX = B que puede ser eliminada obteniendo un sistema equivalente.

Dado el plano P de K^4 de ecuaciones implícitas {x1 + x2 + x3 = 0, 2x3 + x4 = 0} y el espacio cociente K^4/P, se cumple que: (a, −a + b, −b, 2b) + P = P para todo a, b ∈ K. una base de K^4/P es {(0, 1, −1, 0) + P, (0, 0, 0, 1) + P}. (1, 1, 0, 0) + P = (0, 0, 2, 3) + P.

Sea f : K^3[x] → K^6[x] la aplicación definida por f(p(x)) = x^3p(x) + p′(x) donde p′(x) denota la derivada del polinomio p(x) de K^3[x]. Determine cuál de las siguientes afirmaciones es correcta: f no es lineal. f es lineal e inyectiva. f es lineal y no inyectiva.

Sea f : K^3 → K^4 la aplicación lineal cuya matriz respecto a las bases canónicas C3 y C4 es (imagen) La matriz de f respecto a las bases C3 y B = {(1, 0, 0, 2), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 1)} es. 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0. 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0. 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0.

Sean a un número real y A la siguiente matriz real entonces: det(A) = 3a^4 − 2a^2 + 1. det(A) es un múltiplo de 1 − 3a^2. det(A) = a^5 + 3a^4 + 4a^2 + 1.

Sean a ∈ R y A (imagen) la matriz de la pregunta anterior, entonces: Si a =√3/3, A es invertible. El rango de A es menor que 4 exactamente para cuatro valores distintos de a. Si a = 1, existe una matriz B distinta de 0 tal que BA = 0.

Sea B = {v1, . . . , v5} una base de K^5 y considérense los vectores u1 = v1 + av2, u2 = av1 + v2 + av3, u3 = av2 + v3 + av4, u4 = av3 + v4 + av5, u5 = av4 + v5. Si a = 2, los subespacios L(u1, u2, u3) y L(u4, u5) son suplementarios en K^5. Si a = 1, entonces {u1, . . . , u5} es una base de K^5. Los vectores {u1, . . . , u5} generan un hiperplano de K^5 sólo si a^2 = 1.

Considere B = {v1, . . . , v5} y {u1, . . . , u5}, los vectores: u1 = v1 + av2, u2 = av1 + v2 + av3, u3 = av2 + v3 + av4, u4 = av3 + v4 + av5, u5 = av4 + v5, y los subespacios U = L(u1, u2) y W = L(u4, u5). Si a = 1, entonces. El subespacio suma U + W no contiene a las rectas L(v1) ni L(v5). Una base del subespacio suma U + W está formada por los vectores {u1, u2, u4, u5}. El subespacio intersección U ∩W tiene ecuaciones implícitas x1 −x2 = x1 −x3 = x4 = x5 = 0 respecto de B.

Si A y B son dos matrices de orden n, no nulas, distintas, tales que las filas de A son combinaciones lineales de las filas de B, entonces. rg(A) = rg(B). A y B pueden tener el mismo determinante. Si B es invertible, A también es invertible.

Determine cuál de los siguientes subconjuntos de Mn(K) (conjunto de matrices de orden n con coeficientes en K) no es un subespacio vectorial: El formado por las matrices de orden n simétricas. El formado por las matrices de orden n de traza igual a 0. El formado por las matrices de orden n invertibles.

Si {u1, . . . , uk} y {v1, . . . , vk} son dos conjuntos distintos de vectores linealmente independientes de un espacio vectorial V , entonces. Los subespacios L(u1, . . . , uk) y L(v1, . . . , vk) son suplementarios si dim(V ) = 2k. {u1, . . . , uk, v1, . . . , vk} pueden generar un subespacio de V dimensión k. {u1, . . . , uk, v1, . . . , vk} no puede ser una base de V .

Si A y B son dos matrices reales de orden n no nulas, entonces. Si A y B son idempotentes, entonces tr((A + B)(A − B)) = tr(A) − tr(B). tr(AB) es distinta tr(A) tr(B). Si A es simétrica, entonces tr(A^2) puede ser igual a 0.

Sea AX = B un sistema de m ecuaciones y n incógnitas y Hf (A) la forma de Hermite por filas de A. Entonces, el sistema es. compatible para todo B si Hf (A) = Ir C 0 0 , con r < m. es incompatible si A ∼f In C. puede ser compatible indeterminado si Hf (A) tiene menos de n pivotes.

Sea q(x) ∈ K2[x] un polinomio no nulo de grado menor o igual que 2, y f : K2[x] → K3[x] la aplicación lineal definida por f(p(x)) = p(x) − q(x)p′(x), donde p′(x) denota la derivada del polinomio p(x) de K2[x]. Determine cuál de las siguientes afirmaciones es correcta: f es inyectiva para todo q(x). Si q(x) es un polinomio de grado 1, entonces f no es inyectiva. Grado de q(x) igual a 1 es una condición necesaria, pero no suficiente, para que f no sea inyectiva.

Sea Ub el subespacio vectorial de K^4, con K = R o K = C, formado por el conjunto de soluciones del sistema lineal homogéneo AbX = 0. Estudie el rango de la matriz Ab y determine la opción correcta: Si K = R, entonces Ub es una recta de K^4 para todo b. Existen valores de b para los cuales Ub es un plano de K^4. El rango de Ab es menor que 3 para dos valores distintos del parámetro b.

Sea Ub el subespacio vectorial de K^4 dado en la pregunta anterior. Si K = C y b 2 = −3, entonces: Ub contiene al plano de ecuaciones {x3 = 0, x4 = 0}. Ub está contenido en el hiperplano de ecuación x4 = 0. Una base de Ub es {(b, 1, b, 1)}.

Sean a ∈ R y fa : R^4 → R^4 la aplicación lineal que cumple: f(1, 0, 0, 0) = (1, 0, 2, 2), f(1, 1, 0, 0) = (1 + a, 3, 1, 3) y Ker(f) ≡ {x1 = x2 = x3} La matriz de fa respecto a la base canónica es. 1 a −a 0 0 3 −3 0 2 −1 −1 0 2 1 −3 0. 1 a −1 − a 0 0 −3 −3 0 2 1 −1 0 2 −1 −3 0. 1 a −1 − a 0 0 3 −3 0 2 −1 −1 0 2 1 −3 0.

Sean a ∈ R y fa : R^4 → R^4 la aplicación lineal de la pregunta anterior. Si llamamos {v1, v2, v3, v4} a los vectores de la base canónica de R^4, se cumple que. La imagen inversa del plano P ≡ {2x2 + 3x3 − 3x4 = 0, 4x1 + (2a − 1)x3 − (2a + 1)x4 = 0} es el espacio K^4. Los vectores {f(v1), f(v2), f(v3), f(v4)} generan el subespacio de ecuación 2x2+3x3−3x4 = 0. El subespacio Im(f) tiene ecuaciones {−6x1 + (2a + 1)x2 + 3x3 = 0, 4x1 − x3 − x4 = 0}.

Dada la matriz A = 1 −1 a b con a, b ∈ K, se cumple que. Si a − b = 0, entonces A es equivalente por filas a la matriz 1 0 0 0. A^2 distinto a A para todo a, b ∈ K. Si a + b = 0 existe una matriz no nula B tal que AB = 0.

Las matrices cumplen las siguientes condiciones: Son todas equivalentes por fila. Aλ y Aµ no son equivalentes por filas si λ = 2µ + 1. Tienen distinto rango dependiendo de los valores del parámetro λ.

Sean A y B dos matrices de orden n reales. Entonces. Si A y B no conmutan, det(AB) y det(BA) pueden ser distintos. Si A y B son semejantes, entonces det(AB) = det(A^2). Si A y B son congruentes, entonces det(A) y det(B) pueden tener distinto signo.

4. Sea Ub, con b ∈ K, el subespacio vectorial de K^4 formado por las soluciones del sistema lineal AbX = 0 donde. Ub es una recta de K^4 para una cantidad infinita de valores de b. Si Ub es un plano, entonces b ∈ {0, −1}. Ub es un hiperplano si b = 1.

Sea Ub, con b ∈ K, el subespacio vectorial de K^4 formado por las soluciones del sistema lineal AbX = 0. Entonces. Una base de U3 es {(7, −3, 0, 1)}. Si b = 4k, con k ≥ 1, unas ecuaciones paramétricas de Ub son {(16k^2*λ, −4kλ, 0, λ) : λ ∈ K}. Si b = 1, unas ecuaciones paramétricas de U1 son {(λ, µ, −λ, −µ) : λ, µ ∈ K}.

Determine cuál de los siguientes subconjuntos de Mn(K) es un subespacio vectorial: El formado por las matrices de orden n que conmutan con una matriz fija A. El formado por las matrices de orden n singulares. El formado por las matrices de orden n ortogonales.

En el espacio vectorial K4[x] formado por los polinomios de grado menor o igual que cuatro con coeficientes en K, se cumple que: Existen bases que no contienen polinomios de grado 4. No existen bases cuyos polinomios son todos de grado 4. Toda base contiene algún polinomio que no es múltiplo de x, es decir que no es de la forma xp(x) con p(x) de grado menor o igual que 3.

Sea f : K2[x] −→ K^3 la aplicación lineal definida por: f(p(x)) = (p(0), p'(1), p''(0)) donde p'(x) y p''(x) denotan la primera y segunda derivadas del polinomio p(x). Entonces,. La imagen por f de la recta R1 = L(2x + x^2) es una recta contenida en el plano P1 de ecuación 10x1 + x2 − 2x3 = 0. La imagen por f de la recta R2 = L(1 + x + x^2) es una recta contenida en el plano P2 de ecuación x1 + x2 + 4x3 = 0. Existen polinomios p(x) distinto de q(x) tales que f(p(x)) = f(q(x)).

Sea f : K^3 → K^3 la aplicación lineal que cumple las siguientes condiciones: (1) f ◦ f = f (2) Ker(f) = {x1 − x3 = 0} (3) Transforma la recta R1 = L((1, 0, 0)) en la recta R2 = L((0, 0, 1)). Calcule la matriz de f en la base canónica y determine cuál de las siguientes afirmaciones es correcta: f(x1, x2, x3) = λ(0, 0, −x1 + x3) para algún λ distinto de 0 y 1. La imagen inversa de la recta R3 = L((1, 1, 1)) es f^−1(R3) = Ker(f). La matriz de f en la base canónica es 0 0 0 0 0 0 1 0 −1.

Si {u1, . . . , uk} y {v1, . . . , vk} son dos conjuntos distintos de vectores linealmente independientes de un espacio vectorial V , entonces. {u1 + v1, . . . , uk + vk} son vectores linealmente independientes. {u1, . . . , uk, v1, . . . , vk} generan un subespacio de V dimensión mayor que k. {u1, . . . , uk, v1, . . . , vk} puede ser una base de V .

Sean A y B dos matrices de orden m × n equivalentes, pero no equivalentes por filas (es decir, podemos transformar A en B utilizando operaciones elementales de filas y/o columnas, pero no utilizando sólo operaciones elementales de filas). Entonces: Los sistemas homogéneos AX = 0 y BX = 0 son equivalentes pues A y B son equivalentes. Existen matrices elementales E1, . . . , Ek tales que AE1 · · · Ek es equivalente por columnas a B. Existe una matriz invertible P tal que P A es equivalente por columnas a B.

Dada la matriz A se cumple que. El rango de A depende del valor del parámetro b ∈ K. Si a = 1, entonces el rango de A es el mismo para todo b ∈ K. Si a distinto de 0 y b = 0, entonces el rango de A puede ser igual a 2.

Para la misma matriz A del ejercicio anterior se considera el sistema lineal homogéneo AX = 0. Entonces, se cumple que. Si a = 0, es equivalente al sistema lineal {x1 + x3 + x4 = 0, x2 + 1x3/b = 0}. Si a = 0, puede ser equivalente al sistema lineal {x1 + x4 = 0, x3 = 0}. Si b = 0, entonces el conjunto de soluciones del sistema determina un subespacio vectorial de K^4 de dimensión 2.

Sean A y B dos matrices de orden n reales. Entonces,. Si A y B no conmutan, det(AB) y det(BA) pueden ser distintos. Si A y B son semejantes, entonces det(AB) puede ser tanto positivo como negativo o cero. Si A y B son invertibles y congruentes, entonces det(A) y det(B) tienen el mismo signo.

Considere los tres subconjuntos de Mn(R) siguientes: ˆ El formado por las matrices reales de orden n singulares. ˆ El formado por las matrices reales de orden n ortogonales. ˆ El formado por las matrices reales de orden n con traza igual a 0. ¿Cuántos subconjuntos son subespacios vectoriales de Mn(R)?. Uno. Dos,. Ninguno.

Sean B = {v1, v2, v3, v4} la base canónica de K^4 y P, R y S el plano y las rectas dados por Entonces: Existe un suplementario de P que contiene a R y a S. Ningún suplementario de P contiene a la recta R. Existe un único hiperplano suplementario de R que contiene a P.

Sea B = {v1, . . . , vn} una base de un K −espacio vectorial V . Se definen los vectores: ui = vi + avi+1, i = 1, . . . , n − 1; un = bvn + vn−1 con a, b ∈ K El conjunto de vectores S = {u1, . . . , un} satisface una de las siguientes condiciones: Una condición necesaria para que S sea una base de V es a distinto de 0 y b distinto de 1. Una condición suficiente para que S sea una base de V es a = 1 y b = 1. Una condición necesaria y suficiente para que S sea una base de V es a distinto de b.

Sea f : K^3 → K^3 la siguiente aplicación lineal f(x, y, z) = (3x−2y, 4x−3y, 6x−6y +z). Determine cuál de las siguientes afirmaciones es correcta: El subespacio núcleo de f es una recta de K^3. f es una simetría. El subespacio imagen de f no contiene a la recta L((1, 1, 1)).

Sea f : K^3 → K^3 la siguiente aplicación lineal f(x, y, z) = (3x − 2y, 4x − 3y, 6x − 6y + z). La matriz de f respecto de la base B = {(1, 1, 1),(0, 1, 0),(0, 0, 1)} es. 1 −2 0 0 −1 0 0 −4 1. 1 −1 0 1 −1 0 0 −4 1. 1 −2 0 0 −1 0 0 −3 1.

Determine cuál de las siguientes afirmaciones es falsa: Si f : K^2 → K^2 es una aplicación tal que f(1, 0) = (1, 1), f(0, 1) = (1, 1), f(2, 3) = (x, y), con x distinto de y, entonces f no es lineal. Si f : K^2 → K^2 es una aplicación tal que f(1, 0) = (1, 1), f(0, 1) = (1, 1), entonces f es lineal. Existe una única aplicación lineal f : K^2 → K^2 tal que f(1, 0) = (1, 1) y f(0, 1) = (1, 1).

Sean A y B dos matrices de orden n tales que rg(B) = n. Entonces,. si rg(A) < n, la matriz AB no es invertible. si rg(A) = n, la matriz AB puede no ser invertible. puede ser AB invertible y A no invertible.

Si A y B son dos matrices no nulas, de orden n, idempotentes, entonces. la matriz A + B no es idempotente. la matriz A − B no es idempotente. la matriz AB es idempotente si A y B conmutan.

Sea A es una matriz de orden m × n escalonada reducida por filas y con r < m pivotes. Entonces. A es equivalente por filas a una matriz de la forma Ir B 0 0 de orden m × n. Si r = n, entonces A = Ir/B , con B distinto de 0. A contiene como submatriz a Ir.

Sean A = E1E2BE3E4 con Ei matrices elementales de orden n tales que Ei distinto de In para i = 1, . . . , 4. Entonces,. las matrices A y B pueden ser semejantes. las matrices A y B no son congruentes. det(A) distinto de det(B).

Si A y B son dos matrices del mismo orden tales que las filas de A son combinaciones lineales de las filas de B y B distinto de 0, entonces. El rango de A es menor que el de B. A puede ser la matriz nula. det(A) no puede ser igual a det(B).

Si A y B son dos matrices de orden m × n y rg(A) = rg(B), entonces. Existe r ≥ 0 tal que tanto A como B son equivalentes por filas a la matriz Ir 0 0 0 de orden m × n. No es necesario que A y B sean equivalentes por filas. A y B son equivalentes por columnas.

Si A es una matriz de orden n ≥ 3 y rg(A) = r > 1, entonces. Toda submatriz de A de orden r es invertible. Si r < n existe una submatriz de A de orden r + 1 invertible. Existe una submatriz de A de orden r − 1 invertible.

Sea A = E1E2BE3E4 con Ei matrices elementales de orden n, entonces. Las matrices AE4^-1 y E1E2B son equivalentes por columnas. Las matrices A y B pueden tener distinto rango. Las matrices A y B son invertibles.

prueba. a. b. c.

Si AX = B es un sistema lineal escalonado, entonces. Es compatible determinado si la matriz (A|B) no tiene un pivote en la última columna. Es compatible indeterminado si A no es una matriz cuadrada. Es incompatible si el número de pivotes de (A|B) es mayor que el número de pivotes de A.

Si la forma escalonada reducida de una matriz A es la matriz entonces. El sistema AX = B es compatible para toda matriz B de orden 3 × 1. El sistema AX = B puede ser incompatible dependiendo de la matriz B de orden 3 × 1. El sistema lineal homogéneo AX = 0 tiene como única solución X = 0.

Dado el sistema lineal AX = B con matriz se cumple que. Es incompatible si a = −1. Si a = 1 puede ser incompatible. No puede ser compatible indeterminado.

Si AX = B es un sistema lineal escalonado con 3 ecuaciones y 4 incógnitas, entonces. Es compatible si la matriz (A|B) tiene 3 pivotes. Es compatible indeterminado pues tiene más incógnitas que ecuaciones. Es compatible si la matriz (A|B) tiene 12 entradas no nulas.

Si el conjunto de todas las soluciones de un sistema lineal AX = B es { (1 − λ −µ, λ, λ −µ, µ, 2 λ −µ), λ, µ ∈ K }, entonces. La matriz B es una combinación lineal de las columnas de la matriz A. La matriz A es de orden m × 5 con m < 5. La matriz (A|B) tiene rango igual a 2 pues el conjunto de soluciones depende de dos parámetros.