CF Metodi Matematici G.E. Lezioni 17 - 32 (Test 61 - 119)

01. Una funzione algebrica è. razionale intera (o polinomiale) se è espressa mediante un polinomio. razionale intera (o polinomiale) se è espressa mediante un'equazione naturale. razionale intera (o polinomiale) se è espressa mediante un'equazione razionale. razionale intera (o polinomiale) se è espressa mediante un'equazione irrazionale.

02. Il teorema di Weierstrass afferma che. se f(x) è una funzione continua in un intervallo aperto allora f(x) assume nell'intervallo [a,b] il minimo assoluto e il massimo assoluto. se f(x) è una funzione continua in un intervallo aperto allora f(x) assume nell'intervallo [a,b] il minimo relativo e il massimo relativo. se f(x) è una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b] allora f(x) assume nell'intervallo [a,b] il minimo assoluto e il massimo assoluto. se f(x) è una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b] allora f(x) assume nell'intervallo [a,b] il minimo relativo e il massimo relativo.

03. Il teorema dei valori intermedi afferma che. se f(x) è una funzione continua in un intervallo aperto allora f(x) assume nell'intervallo [a,b] il minimo relativo e il massimo relativo. se f (x) è una funzione continua in un intervallo [a,b] chiuso e limitato, allora f (x) assume tutti i valori compresi tra il minimo ed il massimo. se f(x) è una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b] allora f(x) assume nell'intervallo [a,b] il minimo assoluto e il massimo assoluto. se f (x) è una funzione continua in un intervallo [a,b] aperto, allora f (x) assume tutti i valori compresi tra il minimo ed il massimo.

04. Si può dimostrare che un'equazione f(x) = 0 può essere trasformata in un'altra equivalente del tipo x=g(x). Se a è soluzione dell'equazione, allora g(a) = a. Se a è soluzione dell'equazione, allora g(a) = 0. Se a è soluzione dell'equazione, allora g(x) = f(x). Se a è soluzione dell'equazione, allora g(a) = g(x).

05. Una funzione è algebrica se. l'espressione analitica y = f(x) che la descrive contiene, nella variabile x, solo operazioni di moltiplicazione. l'espressione analitica y = f(x) che la descrive contiene, nella variabile x, solo operazioni di addizione. l'espressione analitica y = f(x) che la descrive contiene, nella variabile x, solo operazioni di elevamento a potenza o estrazione di radice. l'espressione analitica y = f(x) che la descrive contiene, nella variabile x, solo operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza o estrazione di radice.

06. Il teorema dei valori intermedi afferma che. se f(x) è una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b] allora f(x) assume nell'intervallo [a,b] il minimo assoluto e il massimo assoluto. se f è strettamente crescente in A se per ogni x1 e x2, appartenente ad A, con x1<x2, allora f(x1). se f(x) è una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b] allora f(x) assume, almeno una volta, nell'intervallo [a,b] tutti i valori compresi tra il minimo assoluto e il massimo assoluto. se f (x) è una funzione continua in un intervallo [a,b] aperto, allora f (x) assume tutti i valori compresi tra il minimo ed il massimo.

07. Il teorema di esistenza degli zeri afferma che. se f è strettamente crescente in A se per ogni x1 e x2, appartenente ad A, con x1<x2, allora f(x1). se f(x) è una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b] allora f(x) assume, almeno una volta, nell'intervallo [a,b] tutti i valori compresi tra il minimo assoluto e il massimo assoluto. se f(x) è una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b] allora f(x) assume nell'intervallo [a,b] il minimo assoluto e il massimo assoluto. se f(x) è una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b] e negli estremi assume valori di segno opposto allora esiste almeno un punto c appartenente ad ]a,b[ in cui f(c)=0.

08. Cosa significa studiare il segno di una funzione y = f(x)?. Significa cercare per quali valori di x, anche non appartenenti al dominio, il valore di y si annulla. Significa cercare per quali valori di x, appartenenti al dominio, il valore di y è positivo, per quali è negativo, per quali è nullo. Significa cercare per quali valori di x, appartenenti al dominio, il valore di y è positivo. Significa cercare per quali valori di x, appartenenti al dominio, il valore di y è nullo.

09. La funzione si dice lineare. se il polinomio è di primo grado rispetto alle variabili x e y. se il polinomio è di primo grado rispetto alla variabile x. se il polinomio è maggiore del primo grado rispetto alla variabile x. se il polinomio è di primo grado rispetto alla variabile y.

10. Un punto x0 è un punto di discontinuità di prima specie per la funzione f(x) quando. per x che tende a x0, almeno uno dei due limiti, destro o sinistro di f(x) è infinito oppure non esiste. per x che tende a x0, il limite destro e il limite sinistro di f(x) esistono finiti e sono diversi tra loro. per x che tende a x0, il limite destro e il limite sinistro di f(x) esistono finiti e sono uguali tra loro. per x che tende a x0,almeno uno dei due limiti, destro o sinistro di f(x) è finito.

11. Un punto x0 è un punto di discontinuità di seconda specie per la funzione f(x) quando. per x che tende a x0,almeno uno dei due limiti, destro o sinistro di f(x) è finito. per x che tende a x0, almeno uno dei due limiti, destro o sinistro di f(x) è infinito oppure non esiste. per x che tende a x0, il limite destro e il limite sinistro di f(x) esistono finiti e sono uguali tra loro. per x che tende a x0, il limite destro e il limite sinistro di f(x) esistono finiti e sono diversi tra loro.

12. La funzione si dice quadratica. se il polinomio è di secondo grado rispetto alla variabile y. se il polinomio è di secondo grado rispetto alle variabili x e y. se il polinomio è di secondo grado rispetto alla variabile x. se il polinomio è maggiore del secondo grado rispetto alla variabile x.

13. Una funzione è detta funzione composta quando. il suo campo di definizione (dominio) coincide con l'immagine (codominio) della funzione nulla. il suo campo di definizione (dominio) coincide con l'immagine (codominio) di un'altra funzione. il suo campo di definizione (codominio) coincide con l'immagine (dominio) di un'altra funzione. il suo campo di definizione (dominio) coincide con l'immagine (codominio) della stessa funzione.

14. Una funzione composta è del tipo: h(x)=f(g(x)). h(x)=f(x)/g(x). h(x)=f(x)g(x). h(x)=f(x)+g(x).

15. I valori del codominio sono quei valori. di x per i quali la y è definita e appartiene al dominio della funzione, cioè x = 0. di x per i quali la y è definita e appartiene al dominio della funzione, cioè x ≠0. di y per i quali la x è definita e appartiene al dominio della funzione, cioè x ≠0. di y per i quali la x è definita e appartiene al dominio della funzione, cioè x = 0.

16. Per il teorema di esistenza degli zeri. se f è una funzione continua nell' intervallo [a; b] limitato e chiuso e negli estremi assume valori di segno opposto, cioè se f(a) f(b) > 0, allora esiste almeno un punto c interno ad [a; b] in cui la funzione si annulla. se f è una funzione continua nell' intervallo [a; b] limitato e chiuso e negli estremi assume valori di segno opposto, cioè se f(a) f(b) <0, allora esiste almeno un punto c interno ad [a; b] in cui la funzione non si annulla. se f è una funzione continua nell' intervallo [a; b] limitato e chiuso e negli estremi assume valori di segno opposto, cioè se f(a) f(b) = 0, allora esiste almeno un punto c interno ad [a; b] in cui la funzione si annulla. se f è una funzione continua nell' intervallo [a; b] limitato e chiuso e negli estremi assume valori di segno opposto, cioè se f(a) f(b) <0, allora esiste almeno un punto c interno ad [a; b] in cui la funzione si annulla.

17. Per il primo teorema di unicità dello zero. se f è una funzione continua nell' intervallo [a; b] limitato e chiuso e negli estremi assume valori di segno opposto, cioè se f(a) f(b) = 0, allora esiste almeno un punto c interno ad [a; b] in cui la funzione si annulla. Se f è una funzione continua nell' intervallo [a; b] limitato e chiuso, derivabile con derivata prima diversa da 0 nei suoi punti interni e, inoltre, f(a) f(b) = 0 allora esiste un solo punto c interno ad [a; b] in cui la funzione non si annulla. se f è una funzione continua nell' intervallo [a; b] limitato e chiuso e negli estremi assume valori di segno opposto, cioè se f(a) f(b) <0, allora esiste almeno un punto c interno ad [a; b] in cui la funzione si annulla. Se f è una funzione continua nell' intervallo [a; b] limitato e chiuso, derivabile con derivata prima diversa da 0 nei suoi punti interni e, inoltre, f(a) f(b) <0 allora esiste un solo punto c interno ad [a; b] in cui la funzione si annulla.

18. Il prodotto di funzioni continue in un punto è. non è una funzione continua nello stesso punto. è una funzione continua in due punti. è una funzione continua in un punto diverso. ancora una funzione continua nello stesso punto.

19. Il teorema di Weierstrass afferma che. se f è strettamente decrescente in A se per ogni x1 e x2, appartenente ad A, con x1<x2, allora f(x1)>f(x2). se f è strettamente decrescente in A se per ogni x1 e x2, appartenente ad A, con x1<x2, allora f(x1). se f è strettamente crescente in A se per ogni x1 e x2, appartenente ad A, con x1<x2, allora f(x1). se f è strettamente crescente in A se per ogni x1 e x2, appartenente ad A, con x1<x2, allora f(x1)>f(x2).

20. Cosa significa trovare le radici di un'equazione?. Significa ricercare gli zeri del la funzione y = f(x), ossia le intersezioni del grafico con l'asse delle ascisse. Significa ricercare gli zeri del la funzione x = f(y), ossia le intersezioni del grafico con l'asse delle ascisse. Significa ricercare gli zeri del la funzione y = f(x), ossia le intersezioni del grafico con l'asse delle ordinate. Significa ricercare gli zeri del la funzione x = f(y), ossia le intersezioni del grafico con l'asse delle ordinate.

21. Le equazioni trascendenti sono. solo le equazioni goniometriche. le equazioni esponenziali, le equazioni logaritmiche, le equazioni goniometriche e quelle miste. solo le equazioni logaritmiche. solo le equazioni esponenziali.

22. Il teorema di Weierstrass afferma che. il grafico di una funzione continua in un intervallo chiuso ammette un valore minimo e un valore massimo per le ascisse. il grafico di una funzione, anche se non continua, ammette un valore minimo e un valore massimo per le ordinate. il grafico di una funzione continua in un intervallo chiuso ammette un valore minimo e un valore massimo per le ordinate. il grafico di una funzione continua in un intervallo aperto ammette un valore minimo e un valore massimo per le ascisse.

23. La funzione composta di funzioni continue in un punto è. è una funzione continua in un punto diverso. è una funzione continua in due punti. ancora una funzione continua nello stesso punto. non è una funzione continua nello stesso punto.

24. Esiste un metodo di risoluzione esatta dell'equazione. quando è possibile trovare con un metodo astratto le soluzioni nulle di un'equazione. quando è possibile trovare con un metodo algebrico le soluzioni di un'equazione. quando non è possibile trovare con un metodo algebrico le soluzioni di un'equazione. quando è possibile trovare con un metodo astratto le soluzioni di un'equazione.

25. Le funzioni composte. rispettano la proprietà commutativa. non rispettano la proprietà associativa. non rispettano nè la proprietà commutativa e nè la proprietà associativa. rispettano la proprietà associativa.

26. Il rapporto di funzioni continue in un punto è. è una funzione continua in un punto diverso. è una funzione continua in due punti. non è una funzione continua nello stesso punto. ancora una funzione continua nello stesso punto.

27. La funzione composta di una funzione f: A→B con la sua funzione inversa. associa ogni elemento x del dominio a un valore nullo. associa ogni elemento x del dominio a se stesso. associa ogni elemento y del codominio a un valore nullo. associa ogni elemento y del codominio a se stesso.

28. Le funzioni composte. non rispettano la proprietà associativa. non rispettano la proprietà commutativa. non rispettano nè la proprietà commutativa e nè la proprietà associativa. rispettano la proprietà commutativa.

29. La somma o differenza di funzioni continue in un punto è. non è una funzione continua nello stesso punto. è una funzione continua in due punti. è una funzione continua in un punto diverso. ancora una funzione continua nello stesso punto.

01. Un'equazione differenziale del primo ordine è detta a variabili separabili quando. può essere scritta nella forma y'= g(x) f(x), con f(x) e g(x) funzioni non nulle. può essere scritta nella forma y'= g(x) f(x), con f(x) e g(x) funzioni non necessariamente continue. può essere scritta nella forma y'= g(x) f(x), con f(x) e g(x) funzioni continue. può essere scritta nella forma y'= g(x) f(x), con f(x) e g(x) diverse da 1.

02. Affinché una funzione sia derivabile nel punto c, occorre quindi che siano verificate le seguenti condizioni: la funzione è definita in un intorno del punto c ; esiste il limite del rapporto incrementale, relativo a c, per h che tende a 0, cioè esistono il limite destro e il limite sinistro di tale rapporto e tali limiti coincidono; questo limite è nullo. la funzione è indefinita ; esiste il limite del rapporto incrementale, relativo a c, per h che tende a 0, cioè esistono il limite destro e il limite sinistro di tale rapporto e tali limiti coincidono; questo limite è nullo. la funzione è definita in un intorno del punto c ; esiste il limite del rapporto incrementale, relativo a c, per h che tende a 0, cioè esistono il limite destro e il limite sinistro di tale rapporto e tali limiti coincidono; questo limite è un numero finito. la funzione è indefinita ; esiste il limite del rapporto incrementale, relativo a c, per h che tende a 0, cioè esistono il limite destro e il limite sinistro di tale rapporto e tali limiti non coincidono; questo limite è nullo.

03. Se il limite per h che tende a 0 del rapporto incrementale di una funzione in un punto non esiste o è infinito, si dice che. la funzione non è derivabile in quel punto. la funzione è derivabile in quel punto. nessuna delle precedenti. la funzione è infinita.

04. L'equazione è scritta in forma normale quando. è esplicitata rispetto alla derivata prima della funzione incognita x. è esplicitata rispetto alla derivata seconda della funzione incognita y. è esplicitata rispetto alla derivata seconda della funzione incognita x. è esplicitata rispetto alla derivata prima della funzione incognita y.

05. Quale equazione è scritta in forma normale ?. y' -2x-1=0. 2x+1+y+ 3xy =0. y' -2x =1. y' = 2x +1.

06. La derivata è. l'integrale del rapporto incrementale. il limite del coefficiente angolare. il limite del rapporto incrementale. l'integrale del coefficiente angolare.

07. Una funzione è derivabile in un punto c se. nessuna delle precedenti. esistono finite e diverse tra loro la derivata sinistra e la derivata destra. esistono finite e uguali tra loro la derivata sinistra e la derivata destra. esiste finita la derivata.

08. Una funzione f è differenziabile in un punto (x, y). se differisce dalla sua linearizzazione per un infinito di ordine inferiore all'incremento. se differisce dalla sua linearizzazione per un infinitesimo di ordine superiore all'incremento. se differisce dalla sua linearizzazione per un infinitesimo di ordine inferiore all'incremento. se differisce dalla sua linearizzazione per un infinito di ordine superiore all'incremento.

09. Data la seguente equazione differenziale del primo ordine y' + a(x)y =b(x). Se b(x) = 1, è detta omogenea. Se b(x) = 1, è detta completa. se b(x) = 0, è detta completa. Se b(x) = 0, l'equazione è detta omogenea.

10. Una funzione y = f (x) è derivabile in un intervallo chiuso [a; b]. se è derivabile in tutti i punti interni di [a; b] e se esistono e sono finite la derivata destra in a e la derivata sinistra in b. nessuna delle precedenti. se è derivabile in un punto interno di [a; b] e se esistono e sono finite la derivata destra in a e la derivata sinistra in b. se è derivabile in un punto interno di [a; b] e se esistono e sono infinite la derivata destra in a e la derivata sinistra in b.

11. Una funzione y = f (x) è derivabile in un intervallo chiuso [a; b] se. è derivabile in tutti i punti interni di [a; b] e se esistono e sono finite la derivata sinistra in a e la derivata destra in b. è derivabile in tutti i punti interni di [a; b] e se esistono e sono finite la derivata destra in a e la derivata sinistra in b. è derivabile in un solo punto interno di [a; b] e se esistono e sono infinite le derivate destra e sinistra. è derivabile in un solo punto interno di [a; b] e se esistono e sono finite la derivata sinistra in a e la derivata destra in b.

12. Data la seguente equazione differenziale del primo ordine y' + a(x)y =b(x). Se b(x) = 1, è detta completa. Se b(x) = 1, è detta omogenea. se b(x) ≠ 0, è detta completa. Se b(x) = 0, è detta completa.

13. I punti stazionari vengono altresì definiti come. punti a tangente obliqua. punti a tangente verticale. punti a tangente verticale passante per y=1. punti a tangente orizzontale.

14. Una funzione in x0 presenta un punto di cuspide. se i due limiti del rapporto incrementale sinistro e desto sono infiniti, e in particolare infiniti di segno opposto. nessuna delle precedenti. se i due limiti del rapporto incrementale sinistro e desto sono infiniti. se i due limiti del rapporto incrementale sinistro e desto sono finiti e di segno opposto.

15. Il gradiente di una funzione è definito come. il vettore che ha come componenti le derivate nulle della funzione. il vettore che ha come componenti le derivate unitarie della funzione. il vettore che ha come componenti le derivate totali della funzione. il vettore che ha come componenti le derivate parziali della funzione.

16. Si chiama soluzione o integrale dell'equazione. l'unica funzione che verifica un'equazione differenziale. ognuna delle funzioni che verifica un'equazione differenziale. l'unica funzione che verifica un'equazione differenziale per y=0. l'unica funzione che verifica un'equazione differenziale per x=0.

17. Si definisce integrale generale. l'unica funzione che è soluzione dell'equazione per x=0. l'unica funzione che è soluzione dell'equazione. l'unica funzione che è soluzione dell'equazione per y=0. l'insieme di tutte le funzioni che sono integrali dell'equazione.

18. Una funzione si dice derivabile in un punto c se. esiste il limite della funzione nel punto. esiste l'integrale della funzione nel punto. esiste la derivata f'(c). esiste il differenziale della funzione nel punto.

19. La derivata di una funzione in un punto c rappresenta. il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione nel suo punto di ordinata c. il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione nel punto 0. il coefficiente angolare della retta secante al grafico della funzione nel punto 1. il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione nel suo punto di ascissa c.

20. La curva integrale. è il grafico del polinomio di partennza. è il grafico di una equazione. è il grafico di una funzione. è il grafico di una soluzione.

21. L'ordine di un'equazione differenziale è. l'ordine massimo delle derivate che compaiono nell'equazione. l'ordine minimo delle derivate che compaiono nell'equazione. nessuna delle precedenti. l'ordine delle derivate che compaiono nell'equazione.

22. Data una funzione y = f (x), definita in un intervallo [a; b], si definisce derivata della funzione nel punto c interno all'intervallo. il limite, se esiste e non è finito, per h che tende a 0, del rapporto incrementale di f relativo al punto c. il limite, se esiste ed è finito, per h che tende a 0, del rapporto incrementale di f relativo al punto c. il limite, se esiste e non è finito, per h che tende a c, del rapporto incrementale di f relativo al punto c. il limite, se esiste e non è finito, per h che tende a c, del rapporto incrementale di f relativo al punto a.

23. Il coefficiente angolare della secante AB, ossia il rapporto incrementale, tende al coefficiente angolare della tangente, che viene chiamato. differenziale della funzione den punto. derivata della funzione nel punto. integrale della funzione den punto. limite della funzione den punto.

24. Il differenziale dy è. è la variazione che subisce l'ascissa della retta tangente alla curva quando si passa dal punto di ascissa x al punto di ascissa (x + Δx). è la variazione che subisce l'ordinata della retta tangente alla curva quando si passa dal punto di ascissa x al punto di ascissa (x + Δx). è la variazione che subisce l'ascissa della retta tangente alla curva quando si passa dal punto di ascissa y al punto di ascissa (y + Δy). è la variazione che subisce l'ascissa della retta tangente alla curva quando si passa dal punto di ascissa x al punto di ascissa (y + Δy).

25. Il differenziale della variabile indipendente x è. è pari alla somma dell'incremento della variabile stessa. è pari alla differenza dell'incremento della variabile stessa. è diversa dall'incremento della variabile. è uguale all'incremento della variabile stessa.

26. Il coefficiente angolare della secante. è il limite. è l'integrale. è il differenziale. è il rapporto incrementale.

27. Considerando una funzione y=f(x), troviamo la tangente. ultilizzando il concetto di limite. ultilizzando il concetto di integrale. ultilizzando il concetto di differenziale. utilizzando il concetto di rapporto incrementale.

28. Si chiama differenziale di una funzione f(x), relativo al punto x e all'incremento Δx. la derivata della funzione, calcolata in x, sommata all'incremento Δx. la derivata della funzione, calcolata in x, sottratta all'incremento Δx. il rapporto della derivata della funzione, calcolata in x, fratto l'incremento Δx. il prodotto della derivata della funzione, calcolata in x, per l'incremento Δx.

29. Una funzione f non è derivabile in x0 presenta in tale punto un punto angoloso se. i due limiti sinistro e destro del rapporto incrementale esistono entrambi infiniti. i due limiti sinistro e destro del rapporto incrementale esistono entrambi finiti e sono uguali. i due limiti sinistro e destro del rapporto incrementale esistono entrambi finiti, ma assumono valori diversi. il rapporto incrementale è infinito.

30.La retta tangente t a una curva in un punto P. è la posizione limite, se esiste, della secante PQ al tendere di Q a P. è la posizione massima, se esiste, della secante PQ al tendere di Q a P. nessuna delle precedenti. è la posizione secante, se esiste, della secante PQ al tendere di Q a P.