CF Metodi Matematici G.E. Lezioni 33 - 48 (Test 120 - 179)

01. Se f ''(x0) > 0 il grafico della curva. ha concavità verso il basso. diventa una retta. ha concavità verso l'alto. ha un punto di flesso.

02. Si dice che in x0 il grafico della funzione f(x) ha la concavità verso l'alto. se esiste un intorno completo I di x0 tale che, per ogni x appartenente all'intorno e diverso da x0, l'ordinata del punto di ascissa x appartenente al grafico è maggiore di quella del punto appartenente alla tangente t e avente ordinata diversa. se esiste un intorno completo I di x0 tale che, per ogni x appartenente all'intorno e diverso da x0, l'ordinata del punto di ascissa x appartenente al grafico è minore di quella del punto appartenente alla tangente t e avente la stessa ascissa. se esiste un intorno completo I di x0 tale che, per ogni x appartenente all'intorno e diverso da x0, l'ordinata del punto di ascissa x appartenente al grafico è maggiore di quella del punto appartenente alla tangente t e avente la stessa ordinata. se esiste un intorno completo I di x0 tale che, per ogni x appartenente all'intorno e diverso da x0, l'ordinata del punto di ascissa x appartenente al grafico è maggiore di quella del punto appartenente alla tangente t e avente la stessa ascissa.

03. Si dice massimante. massimo assoluto della funzione in I. minimo assoluto della funzione in I. un punto di un intervallo che sia massimo relativo. un punto di un intervallo che sia minimo relativo.

04. Per trovare i punti stazionari. si risolve l'equazione f '(x) = 0. si risolve l'equazione f'(x) = 1. si risolve l'equazione f'(x) = 1. si risolve l'equazione f''(x) = 0.

05. Data una funzione y = f(x), definita in un intervallo I, il punto x 0 di I si dice di minimo relativo se esiste un intorno I di x 0 tale che f(x 0) è minore o uguale al valore della funzione per ogni x dell'intorno Ix0. f(x0) si dice. minimo relativo della funzione in I. massimo relativo della funzione in I. massimo assoluto della funzione in I. minimo assoluto della funzione in I.

06. Data la funzione y=f(x), definita nell'intervallo I, si definisce massimo assoluto di f(x) se esiste, il massimo m dei valori assunti dalla funzione in I, cioè m=f(x1) e. m ≤ f(x). m ≥ f(x). m = 0. m = f(x).

07. Data una funzione y=f(x) definita in un intervallo [a; b], i possibili estremanti vanno ricercati tra: gli estremi dell'intervallo. i punti in cui f '(x) = 0, gli estremi dell'intervallo e i punti in cui la funzione è continua ma non derivabile. i punti in cui f'(x) = 0. i punti in cui la funzione è continua ma non derivabile.

08. Data una funzione y = f(x), definita in un intervallo [a; b] e derivabile in ]a; b[, se f(x) ha un massimo o un minimo relativo nel punto x 0, interno ad [a; b],. la derivata della funzione in quel punto è uguale a 2. la derivata della funzione in quel punto è uguale a infinito. la derivata della funzione in quel punto è uguale a 1. la derivata della funzione in quel punto si annulla.

09. Data la funzione y = f(x) definita e continua nell'intervallo I, e derivabile in I (escluso al più x0),. si dice che presenta in x 0, interno a I, un punto di flesso se in tale punto il grafico di f(x) non cambia concavità. si dice che presenta in x 0, interno a I, un punto di flesso se in tale punto il grafico di f(x) cambia concavità. si dice che presenta in x 0, interno a I, un punto di minimo se in tale punto il grafico di f(x) cambia concavità. si dice che presenta in x 0, interno a I, un punto di massimo se in tale punto il grafico di f(x) cambia concavità.

10. se il punto x0 è interno all'intervallo [a; b]. se x0 coincide con a, l'intorno di x0 è uguale a zero. se x0 coincide con a, l'intorno di x0 è sinistro. se x0 coincide con a, l'intorno di x0 è destro. se x0 coincide con a, l'intorno di x0 può essere destro o sinistro.

11. Se una funzione è decrescente in un intervallo. allora la sua derivata prima è minore o uguale a zero. allora la sua derivata seconda è maggiore o uguale a zero. allora la sua derivata prima è maggiore o uguale a zero. allora la sua derivata seconda è minore o uguale a zero.

12. Data una funzione f(x) definita in un intervallo limitato e chiuso [a; b] con le seguenti proprietà: • f (x) è continua in [a; b], • f (x) è derivabile in ]a; b[, • f (a) = f (b),. allora esiste almeno un punto c, esterno all'intervallo, per il quale risulta f'(c) ≠0. allora esiste almeno un punto c, esterno all'intervallo, per il quale risulta f'(c) =0. allora esiste almeno un punto c, interno all'intervallo, per il quale risulta f'(c) =0. allora esiste almeno un punto c, interno all'intervallo, per il quale risulta f'(c) ≠0.

13. Se f(x) e g(x) sono due funzioni continue nell'intervallo [a;b], derivabili in ]a;b[ e tali che. f'(x)=g'(x) per ogni x ∈ ]a; b[, allora esse sono uguali. f'(x)=g'(x) per ogni x ∈ ]a; b[, allora esse sono decrescenti. f'(x)=g'(x) per ogni x ∈ ]a; b[, allora esse sono crescenti. f'(x)=g'(x) per ogni x ∈ ]a; b[, allora esse differiscono per una costante.

14. Si dice che in x0 il grafico della funzione f(x) ha la concavità verso il basso. se esiste un intorno completo I di x0 tale che, per ogni x appartenente all'intorno e diverso da x0, l'ordinata del punto di ascissa x appartenente al grafico è maggiore di quella del punto appartenente alla tangente t e avente la stessa ordinata. se esiste un intorno completo I di x0 tale che, per ogni x appartenente all'intorno e diverso da x0, l'ordinata del punto di ascissa x appartenente al grafico è maggiore di quella del punto appartenente alla tangente t e avente la stessa ascissa. se esiste un intorno completo I di x0 tale che, per ogni x appartenente all'intorno e diverso da x0, l'ordinata del punto di ascissa x appartenente al grafico è minore di quella del punto appartenente alla tangente t e avente la stessa ascissa. se esiste un intorno completo I di x0 tale che, per ogni x appartenente all'intorno e diverso da x0, l'ordinata del punto di ascissa x appartenente al grafico è maggiore di quella del punto appartenente alla tangente t e avente ordinata diversa.

15. Si dice minimante. un punto di un intervallo che sia minimo relativo. minimo assoluto della funzione in I. un punto di un intervallo che sia massimo relativo. massimo assoluto della funzione in I.

16. Data una funzione f(x) definita in un intervallo limitato e chiuso [a; b] con le seguenti proprietà: • f(x) è continua in [a; b], • f(x) è derivabile in ]a; b[, • f(a) = f(b), allora esiste almeno un punto c, interno all'intervallo, per il quale risulta f'(c) =0. Questo enunciato corrisponde al: ". Teorema di Weierstrass. Teorema di Lagrange. Teorema di Rolle. Teorema della continuità.

17. Per il teorema di Weierstrass. supponiamo f(x) continua nell'intervallo aperto ]a; b[, allora la funzione ammette un punto di nullo. supponiamo f(x) continua nell'intervallo aperto ]a; b[, allora la funzione ammette massimo M e minimo m in tale intervallo. supponiamo f(x) discontinua nell'intervallo aperto ]a; b[, allora la funzione ammette massimo Me minimo m in tale intervallo. supponiamo f(x) continua nell'intervallo chiuso [a; b], allora la funzione ammette massimo M e minimo m in tale intervallo.

18. Dato un intervallo I, diciamo che il grafico ha la concavità verso l'alto nell'intervallo. se ha la concavità verso l'alto in ogni punto interno dell'intervallo. se ha la concavità verso l'alto in almeno un punto esterno dell'intervallo. se ha la concavità verso l'alto in ogni punto esterno dell'intervallo. se ha la concavità verso l'alto almeno un punto interno dell'intervallo.

19. Un punto di un intervallo è detto estremante. se è massimante. se è massimante o minimante. se è minimante. se è massimante e minimante.

20. Il teorema di Lagrange afferma che se una funzione f(x) è: • continua in un intervallo limitato e chiuso [a;b], • derivabile in ogni punto interno a esso, allora esiste almeno un punto c interno all'intervallo per cui vale la relazione: (f(b)-f(a))/(b-a)=f'(a+b). (f(b)-f(a))/(b-a)=f'(c). (f(b)-f(a))/(b-a)=f'(c-b). (f(b)-f(a))/(b-a)=0.

21. Se una funzione f(x) è continua nell'intervallo [a;b], derivabile in]a; b[ e tale che ". f'(x) è costante in ogni punto interno dell'intervallo, allora f(x) è costante in tutto [a;b]. f'(x) è nulla in ogni punto interno dell'intervallo, allora f(x) è nulla in tutto [a;b]. f'(x) è nulla in ogni punto interno dell'intervallo, allora f(x) è costante in tutto [a;b]. f'(x) è nulla in ogni punto interno dell'intervallo, allora f(x) è crescente.

22. Data la funzione y=f(x), definita nell'intervallo I,si definisce massimo assoluto di f(x) se esiste, il massimo M dei valori assunti dalla funzione in I, cioè M=f(x0) e. M ≤ f(x). M = 0. M ≥ f(x). M = f(x).

23. se la funzione f(x) è continua e l'intervallo di definizione della funzione è chiuso e limitato,. il teorema dei valori medi assicura l'esistenza di massimo e minimo assoluti. il teorema dei valori massimi assicura l'esistenza di massimo e minimo assoluti. il teorema degli zeri assicura l'esistenza di massimo e minimo assoluti. il teorema di Weierstrass assicura l'esistenza di massimo e minimo assoluti.

24. Se esiste un intorno del punto di flesso in cui il grafico della funzione ha: concavità verso l'alto a destra del punto di flesso e verso il basso a sinistra, il flesso è ascendente. concavità verso l'alto a destra del punto di flesso e verso il basso a sinistra, il flesso è crescente. concavità verso l'alto a sinistra del punto di flesso e verso il basso a destra, il flesso è discendente. concavità verso l'alto a sinistra del punto di flesso e verso il basso a destra, il flesso è crescente.

25. Se esiste un intorno del punto di flesso in cui il grafico della funzione ha: concavità verso l'alto a sinistra del punto di flesso e verso il basso a destra, il flesso è crescente. concavità verso il basso a sinistra del punto di flesso e verso l'alto a destra, il flesso è ascendente. concavità verso l'alto a destra del punto di flesso e verso il basso a sinistra, il flesso è ascendente. concavità verso l'alto a destra del punto di flesso e verso il basso a sinistra, il flesso è crescente.

26. Se una funzione è crescente in un intervallo. allora la sua derivata prima è minore o uguale a zero. allora la sua derivata seconda è maggiore o uguale a zero. allora la sua derivata prima è maggiore o uguale a zero. allora la sua derivata seconda è minore o uguale a zero.

27. Data una funzione y=f(x), continua in un intervallo I e derivabile nei punti interni di I, essa è: crescente in I, se in ogni punto interno di I la sua derivata prima è positiva. crescente in I, se in ogni punto interno di I la sua derivata seconda è positiva. crescente in I, se in ogni punto interno di I la sua derivata prima è negativa. crescente in I, se in ogni punto interno di I la sua derivata seconda è negativa.

28. Se la funzione è derivabile nel punto di flesso,. esiste la tangente alla curva e in tale punto risulta parallela all'asse x. esiste la tangente alla curva e in tale punto risulta obliqua o parallela all'asse x. esiste la tangente alla curva e in tale punto risulta obliqua all'asse x. esiste la tangente alla curva e in tale punto risulta obliqua o parallela all'asse y.

29. se la derivata è infinita,. la tangente è parallela all'asse x. la tangente è parallela all'asse y=1. la tangente è parallela all'asse x=1. la tangente è parallela all'asse y.

30. Data una funzione y=f(x), continua in un intervallo I e derivabile nei punti interni di I, essa è: crescente in I, se in ogni punto interno di I la sua derivata seconda è positiva. crescente in I, se in ogni punto interno di I la sua derivata seconda è negativa. decrescente in I, se in ogni punto interno di I la sua derivata prima è negativa. crescente in I, se in ogni punto interno di I la sua derivata prima è negativa.

01. Le successioni si definiscono irregolari o indeterminate se: non sono né convergenti né divergenti. sono divergenti. sono convergenti. sono divergenti oppure convergenti.

02. Completare correttamente la seguente serie numerica: 5 - 25 - 125 - 4 - 16 - ?. 64. 216. 36. 8.

03. Completare correttamente la seguente serie numerica: 6 - 4 - 10 - 14 - ?. 24. 26. 22. 18.

04. Una successione tendente a ±∞ si dice. finita. definita. crescente. infinita.

05. Una successione si dice divergente se. il limite della successione è solo +∞. il limite della successione è +∞ oppure -∞. il limite della successione è solo -∞. il limite della successione è nullo.

06. Completare correttamente la seguente serie numerica: ? - 27 - 64 - 125 - 216. 8. 4. 12. 1.

07. Completare correttamente la seguente serie numerica: 3 - 19 - 115 - ?. 7. 6. 691. 18.

08. Una progressione aritmetica di ragione d≠0 è. sempre divergente. può essere sia divergente che convergente. sempre convergente. è sempre nulla.

09. Una successione di numeri reali diverge negativamente se. comunque si fissi un numero reale negativo M, esiste un indice dopo del quale, i termini della successione sono maggiori di M. comunque si fissi un numero reale positivo M, esiste un indice dopo del quale, i termini della successione sono maggiori di M. comunque si fissi un numero reale negativo M, esiste un indice dopo del quale, i termini della successione sono minori di M. comunque si fissi un numero reale positivo M, esiste un indice dopo del quale, i termini della successione sono minori di -M.

10. Completare correttamente la seguente serie numerica: 3, 6, 11, 18, 27 ... ?. 10. 15. 20. 38.

11. Una successione si dice crescente se. ogni termine maggiore del suo precedente. ogni termine minore del suo antecedente. ogni termine minore del suo precedente. ogni termine maggiore del suo antecedente.

12. Una successione numerica si dice progressione geometrica quando. il prodotto fra ogni termine e il suo precedente è nullo. il quoziente fra ogni termine e il suo precedente è costante. il quoziente fra ogni termine e il suo precedente è nullo. il prodotto fra ogni termine e il suo precedente è costante.

13. Si definisce serie di funzione. una serie i cui termini sono la sommatoria di una variabile x. una serie i cui termini sono limiti di una variabile x. una serie i cui termini sono funzioni di una variabile x. una serie i cui termini sono una derivata di una variabile x.

14. Una successione si dice infinita. se tende a meno infinito. se tende a 1. se tende a 0. se tende a più o meno infiniti.

15. Una successione irregolare. ammette limite. ammette limite infinito. non ammette limite. ammette limite nullo.

16. Questi simboli, +∞ e -∞, non sono numeri. Se rappresentiamo i numeri reali sulla retta euclidea, ogni numero corrisponde. un punto e ogni punto a un numero. un punto e ogni lettera a un numero. un punto e ogni punto a una lettera. un punto e un punto a molti numeri.

17. Una successione si dice convergente se. il limite della successione è -∞. il limite della successione è nullo. il limite della successione è un numero reale. il limite della successione è +∞.

18. Completare correttamente la seguente serie numerica: 4 - 16 - 7 - 49 - 1 - ?. 4. 9. 3. 1.

19. Quando, al crescere di n, una successione supera definitivamente qualunque numero M > 0 fissato, diremo che diverge a +∞;. se invece sale al di sopra di -M, diremo che diverge a -∞. se invece scende al di sotto di -M, diremo che diverge a -∞. se invece scende al di sotto di -M, diremo che diverge a +∞. se invece sale al di sotto di -M, diremo che diverge a -∞.

20. Completare correttamente la seguente serie numerica: 7 - 42 - ? - 270 - 273. 44. 46. 45. 84.

21. La condizione di convergenza significa che, fissata una striscia orizzontale [1 - ε, 1 +ε] comunque stretta, da un certo indice in poi i punti della successione non escono più da questa striscia. Da questa osservazione risulta chiaramente che: ogni successione convergente è illimitata. Da questa osservazione risulta chiaramente che: ogni successione divergente è limitata. se invece sale al di sotto di -M, diremo che diverge a-∞. Da questa osservazione risulta chiaramente che: ogni successione convergente è limitata.

22. Completare correttamente la seguente serie numerica: ? - 4 - 75 - 15 - 50 - 10. 20. 40. 30. 45.

22. Completare correttamente la seguente successione numerica: 41; 85; 73; 31; ?; ?; 21; 65. 69; 63. 65; 63. 75; 63. 75; 67.

24. Se la successione converge a zero, la successione è detta successione infinitesima. È un caso particolare di successione convergente. Non è un caso particolare di successione divergente. Non è un caso particolare di successione convergente. È un caso particolare di successione divergente.

25. Diciamo che una successione {an} possiede (o acquista) definitivamente una certa proprietà se esiste un N ∈ N tale che an soddisfa quella. proprietà per ogni intero n. proprietà per ogni intero n ≤N. proprietà per ogni intero n ≥N. proprietà per ogni intero n >N.

26. Completare correttamente la seguente successione numerica: 21; 41; 10; 55; 75; 44; ?; ?. 89; 109. 83; 93. 50; 150. 94; 107.

27. Il fatto che il dominio della funzione f sia l'insieme dei naturali rende possibile visualizzare la successione enumerando i suoi valori. nell'ordine in cui essi si succedono al crescere di n^4. nell'ordine in cui essi si succedono al decrescere di n^2. nell'ordine in cui essi si succedono al crescere di n^2. nell'ordine in cui essi si succedono al crescere di n^3.

28. Una successione si dice decrescente se. ogni termine maggiore del suo precedente. ogni termine minore del suo precedente. ogni termine minore del suo antecedente. ogni termine maggiore del suo antecedente.

29. Completare correttamente la seguente successione numerica: 10; 30; 19; 57; 46; 138; ?; ?. 127;381. 414;403. 150;250. 126; 254.

30. Completare correttamente la seguente successione numerica: 55; 57; 45; ?; ?; 51; 67; 69. 61; 63. 67; 61. 57; 62. 50;150.