Test elasticidad

En el lema de Cauchy se toman valores promedio de las tensiones en las caras: por lo que el resultado final del Lema es sólo válido en el sentido de valores promedio. pero la demostración requiere realizar una operación de paso al límite. y aunque la demostración no requiere formalmente una operación de paso al limite, ello es necesario para dotar de carácter puntual al resultado del lema. por lo que el resultado es aplicable también en sentido de valores promedio para el elemento infinitesimal aislado.

La hipótesis fundamental de la Mecánica de los Medios Continuos implica: que la superficie de separación entre dos subdominios tiene que ser suave (normal continua). que si la superficie de separación entre dos subdominios es continua la interacción es continua y uniforme. que si la superficie de separación entre dos subdominios no es suave la interacción no puede ser continua. que si la superficie de separación entre dos subdominos es suave la interacción es continua.

La hipótesis de pequeñas deformaciones: implica que las derivadas de los desplazamientos son pequeñas y por tanto despreciables. implica que las derivadas de los desplazamientos son pequeñas y por tanto sus productos despreciables frente a las propias derivadas. implica que los desplazamientos son pequeños y se puede plantear el equilibrio en la situacion indeformada. no tiene implicaciones sobre la relación E(epsilon)-u.

Las ecuaciones de compatibilidad de Saint-Venant representan la condición necesaria y suficiente: para que un campo de deformaciones pueda ser solución de un problema elástico. idem que a) pero siempre que además las tensiones a él asociadas éstén en equilibrio. para que las deformaciones tengan asociado un campo de desplazamientos continuo y univaluado. Idem que c) pero siempre que además las tensiones a él asociadas satisfagan las ecuaciones de Beltrami-Michel.

En un material isótropo elástico lineal, se aumenta E y v. El material reultante: es mas rigido. es más rígido longitudinalmente y menos transversalmente. es más rígido longitudinalmente, transversalmente depende de la solicitación que se aplique. tanto longitudinalmente (hay acoplamiento en las tres direcciones) como transversalmente la rigidez depende de la solicitación.

En un material isótropo: o hay acoplamiento entre efectos (tensiones y deformaciones) normales y tangenciales. Idem que a) pero sólo en planos principales del material. no hay acoplamiento entre efectos tangenciales entre sí, pero sí que lo hay entre efectos normales entre sí. no hay acoplamiento ni entre cfectos normales entre sí ni entre efectos tangenciales entre sí, en cualquier sistema de referencia.

En un caso tridimensional, los puntos de un sólido que pertenecen a un plano de simetría: no tiene ningún tipo de tensiones tangenciales, por lo que su tensor de tensiones es diagonal. idem que a) pero solo en un sistema de referencia asociado al eje normal al plano de simetría. no tiene tensiones tangenciales en el plano de simetría. no experimentan desplazamientos tangenciales al plano.

Si una cara está libre de tensiones, es correcto decir que: todos los puntos de la cara están libres de tensiones, o sea su estado tensional es nulo. las tensiones normales y tangenciales de los puntos de la cara son nulas. los vectores tensión en los puntos de la cara asociados a la normal a la cara son nulos. los vectores tensión asociados a los puntos de esa cara son nulos.

Las ecuaciones de compatibilidad en tensiones: son las ecuaciones de Beltrami-Michel. salen de introducir la ley de Hooke generalizada en las ecuaciones de compatibilidad en deformaciones. garantizan que un campo de tensiones que las cumpla es tal que las deformaciones relacionadas con él a través de la ley de comportamiento satisfacen las ecuaciones de Saint-Venant. garantizan la compatibilidad de las tensiones pero solo para un campo en equilibrio.

Las ecuaciones de Navier, en desplazamientos (siempre a expensas de satisfacer condiciones de contorno), representan la condición necesaria: pero no suficiente para que un campo de tensiones obtenido a través de los desplazamientos sea solución de un problema clástico, pues dichas tensiones deben cumplir equilibrio. pero no suficiente para que un campo de tensiones obtenido a través de los desplazamientos sea solución de un problema elástico, pues dichas tensiones deben cumplir Beltrami-Michel. pero no suficiente para que un campo de tensiones obtenido a través de los desplazamientos sea solución de un problema elástico, pues dichas tensiones deben cumplir equilibrio y Beltrami-Michel. y suficiente para que un campo de tensiones obtenido a través de los desplazamientos sea solución de un problema elástico.

Una barra cilindrica de longitud infinita, de cosntantes elasticas E, v y densidad p, sometida a una distribucion de presiones en su cara lateral que no varia en la direccion del eje de la barra y a la accion de su propio peso, constituye un problema de deformacion plana: en cualquier caso (siempre). sólo si la distribución de presiones es uniforme en la sección. sólo si la barra está colocada en posición horizontal (en un plano perpendicular al de la acción de la gravedad). sólo si la sección tiene simetría de revolución.

En un estado de tensión plana generalizada, de acuerdo a las hipótesis de Filon: sólo hay tensiones promedio en el plano. hay además de las tensiones promedio en el plano, una tensión promedio normal al plano distinta de cero, pero se desprecia. el que haya o no tensiones promedio fuera del plano depende de las condiciones de contorno del problema. cuando hay tensiones promedio normales transversales al plano, se calculan una vez que se ha resuelto el problema plano.

El vector tensión es a lo largo de cualquier interfase de separación de dos subdominios, de acuerdo a la hipótesis fundamental de la Mecánica de los Medios Continuos: continuo. continuo aunque no necesariamente constante. continuo si la interfase es suave (de normal continua). discontinuo si la interfase no es continua.

En un sólido sometido al estado de compresión pura ( σ1= σ2=0, σ3<0): no existen tensiones tangenciales. no existen tensiones de tracción. no existen tensiones ni tangenciales ni de tracción. existen tensiones de tracción y tangenciales.

Las visiones lagrangianas у eulerianas del cambio de posiciones relativas entre las partículas a través respectivamente de los tensores Eij y ej: se hacen prácticamente coincidentes cuando se dan las hipótesis de pequeños desplazamientos у pequeñas deformaciones. ídem que a), pero solo pequeños desplazamientos. idem que a), pero solo pequeñas deformaciones. nunca coinciden, ni siquiera se hacen prácticamente coincidentes.

El límite elástico de un material: puede verse afectado por la historia de carga que haya tenido el material. es una propiedad inalterable del material. si se modifica, conlleva la variación del módulo de Elasticidad y de la tensión de rotura. es función de la deformación plástica que tenga el material.

En la ley de Hooke generalizada en ejes cualesquiera para un material isótropo: están acopladas, como la ley indica, todas las tensiones con todas las deformaciones. están acopladas todos los electos tangenciales entre si por un lado y todos los normales entre si por otro lado. los normales sí están todos acoplados entre sí, pero los tangenciales no. los acoplamientos dependen en cada caso de los valores de las constantes.

La simetría geométrica y de cargas de un sólido: permite reducir el número de constantes que definen el comportamiento del sólido. establece los valores de todas las variables del problema elástico en el eje o plano de simetria. permite relacionar variables asociadas a puntos situados a la misma distancia a ambos lados del eje o plano de simetría. establece que la tensión tangencial es nula en todos los planos de los puntos situados en el eje o plano de simetría.

Un campo de deformaciones puede ser solución de un problema elástico, a expensas sólo de cumplir las condiciones de contorno del problema, si: se cumple el Principio de Saint-Venant. las tensiones a él asociadas, mediante la ley de comportamiento, cumplen equilibrio y compatibilidad en tensiones. las tensiones a él asociadas mediante la ley de comportamiento cumplen Beltrami-Michell. admite ser integrado para obtener un campo de desplazamientos univaluado y continuo y este satisface las ecuaciones de Navier.

Las ecuaciones de Navier representan en la formulación del Problema Elástico en desplazamientos: algo equivalente a lo que representan las ecuaciones de Beltrami-Michel en la formulación del problema en tensiones. la condición necesaria pero no suficiente que debe cumplir un campo de desplazamientos para que sea solucion de un problema elástico, a expensas de satisfacer las condiciones de contorno del problema. idem que b), debiendo cumplirse además las ecuaciones de compatibilidad de Saint-Venant, para que sea suficiente. representan ecuaciones de equilibrio, pero escritas en función de los desplazamientos.

La deformación plana implica: la presencia de infinitos planos de simetría. ε3 igual a cero pero sólo en el plano central de simetría del sólido. ε3 y σ3 igual a cero en todo el solido. ε3 igual a cero en todo el solido y σ3 invariable con la direccion 3.

El vector tensión T^n(P): representa el estado tensional en el punto P. representa la interacción entre dos subdominios cualesquiera en el punto P. idem que b) pero solamente a través del plano de normal n que separa dos subdominios en P. tiene unidades de fuerza por unidad de volumen.

En un estado tridimensional de tensiones, una tensión tangencial positiva asociada en un punto a un plano cuya normal coincide con un eje del sistema de referencia, indica para un material isótropo que: hay un desplazamiento positivo en el plano en la dirección de la tensión. la componente tangencial del vector tensión asociada a ese plano lleva la dirección positiva según el sistema de referencia fijado. la componente tangencial del vector deformación asociada a ese plano lleva la dirección positiva según el sistema de referencia fijado. dos planos perpendiculares al dado y a la dirección de la tensión tangencial se separan.

Las componentes εij (i distinto de j) del tensor de deformaciones representan: la distorsión que sufre el ángulo recto orientado según los ejes i y j. Idem. que a) pero la mitad de la distorsión. La variación unitaria de los desplazamientos ui, en relación al eje j. La semisuma de las variaciones unitarias de los desplazamientos ui, uj con respecto a los ejes j e i respectivamente.

La hipótesis de pequeñas deformaciones: supone que los desplazamientos son pequeños. supone que los desplazamientos son tales que sus derivadas toman valores pequeños que permiten despreciar sus productos frente a ellas mismas. en ningún caso requiere ser comprobada al finalizar la resolución de un problema elástico. se cumple automáticamente al utilizarse la hipótesis de comportamiento elástico puesto que si las delormaciones son grandes el material no puede comportarse elásticamente.

El Módulo de Elasticidad o módulo de Young E: es el cociente entre una tensión normal y la deformación normal en esa misma dirección, independientemente del estado de carga. es el cociente entre la deformación normal según x y la deformación normal según y cuando actúa solo una tensión normal según x. es una característica del material independiente de la historia de carga. disminuye su valor al ser el material más rígido.

En la ley de Hooke generalizada en ejes cualesquiera para un material isótropo: están acopladas, como la ley indica, todas las tensiones con todas las deformaciones. están acoplados todos los efectos tangenciales entre sí por un lado y todos los normales entre sí por otro lado. las tensiones y deformaciones normales sí están todas acopladas entre sí, pero las tangenciales no. los acoplamientos dependen en cada caso de los valores de las constantes.

Un muelle: es una condición de contorno no lineal que requiere la aplicación de la carga de manera incremental. es una condición de contorno no lineal que puede requerir la repetición del problema hasta encontrar una solución compatible. genera una condición de contorno en que se desconoce un desplazamiento y una reacción pero se conoce una relación entre ambos. es una condición de contorno lineal.

Si una cara está libre de tensiones, es correcto decir que: todos los puntos de la cara están libres de tensiones. las tensiones normales y tangenciales de los puntos de la cara son nulas. los vectores tension en los puntos de la cara asociados a la normal a la cara son nulos. los vectores tensión asociados a los puntos de esa cara son nulos.

En un problema con condiciones de contorno mixtas, un campo de desplazamientos es solución cuando (las respuestas que incluyen condiciones superfluas o repetitivas se consideran incorrectas): umple las ecuaciones de Navier, las condiciones de contorno en desplazamientos y las tensiones obtenidas via ε-u y σ-e satisfacen las condiciones de contorno en tensiones. Idem que a) pero las tensiones tienen que cumplir compatibilidad en tensiones. Idem que a) pero las tensiones tienen que cumplir equilibrio. umple las condiciones de contorno en desplazamientos y las tensiones obtenidas via ε-u y σ-e satisfacen las condiciones de contorno en tensiones y cumplen las ecuaciones de equilibrio.

Las ecuaciones de Beltrami-Michell son ecuaciones de compatibilidad en tensiones: siempre. siempre, pero para el caso de fuerzas de volumen nulas. para un campo de tensiones en equilibrio. nunca.

La función de Airy, que se obtiene de una función biarmónica, permite calcular, para un problema solo con condiciones de contorno en tensiones, las tensiones. Para que éstas sean la solución del problema elástico: deben posteriormente forzarse las ecuaciones de equilibrio y las condiciones de contorno. deben posteriormente forzarse la compatibilidad en tensiones y las condiciones de contorno. sólo deben cumplir las condiciones de contorno. ídem que c) pero sólo para tensión plana.

El tensor de deformaciones de un sólido en el que podemos asumir la hipótesis de deformación plana: sólo tiene dos deformaciones principales y dos direcciones principales, no existiendo ninguna variable del problema elastico que sea signiticativa en la dirección perpendicular a estas dos. siempre tiene asociado una tensión principal cuyo valor es función de las otras tensiones principales. siempre tiene una deformación principal distinta de cero que es función de las otras dos deformaciones prncipales. tiene tres tensiones principales independientes asociadas.