Examen de Algebra

10. ¿Cómo se calcula el determinante de una matriz 2x2 [a b; c d]?. ad - bc. a + b + c + d. a + b + c + d. ac - bd.

10. ¿Cuál de las siguientes condiciones NO es necesaria para que un conjunto de vectores sea un espacio vectorial?. Existencia de un elemento neutro aditivo. Existencia de un elemento neutro aditivo. Existencia de un inverso multiplicativo para cada vector. Cierre bajo la multiplicación escalar.

¿Qué operación se usa para crear ceros en el método de eliminación gaussiana?. Multiplicación de una fila por un escalar. Suma de un múltiplo de una fila a otra. Intercambio de filas. Suma de una fila con otra.

Si A es 3x2 y B es 2x3, ¿cuál es la dimensión de AB?. 3x2. 2x3. 2x2. 3x3.

11. En la regla de Cramer, ¿qué indica un determinante igual a cero?. El sistema tiene infinitas soluciones. El sistema tiene una única solución. El sistema no tiene solución. El sistema es compatible determinado.

Si A = [2 4; 3 1] y B = [1 -2; 0 3], ¿cuál es el elemento en (1,2) de A+B?. 2. 1. 7. 6.

11. Si 𝑣 es un vector propio de la matriz 𝐴 asociado al valor propio 𝜆 , ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?. 𝐴𝑣=det(𝐴)𝑣. 𝐴𝑣=det(𝐴)𝑣. 𝐴𝑣=𝜆𝑣. 𝐴𝑣=𝑣+𝜆.

¿Cuál de los siguientes es necesario para aplicar la regla de Cramer?. La matriz debe ser triangular. La matriz debe ser cuadrada y su determinante distinto de cero. La matriz debe ser diagonal. La matriz debe ser diagonal.

¿Qué condición debe cumplir una matriz para ser invertible?. Ser nula. Ser cuadrada y determinante diferente de cero. Ser diagonal. Tener igual número de filas y columnas.

¿Qué representa el conjunto de todos los valores propios de una matriz?. El rango de la matriz. El determinante de la matriz. El espectro de la matriz. El espacio nulo de la matriz.

¿Cuál de los siguientes conjuntos de vectores no es un espacio vectorial?. El conjunto de vectores en ℝ3 cerrado bajo suma y multiplicación escalar. El conjunto de vectores en ℝ3 cerrado bajo suma y multiplicación escalar. Los múltiplos escalares de un vector fijo. Los vectores de longitud unitaria.

¿Cuál es el objetivo del método de Gauss-Jordan?. Encontrar el producto. Sumar filas. Forma escalonada reducida. Hallar el determinante.

¿Qué tipo de sistema se puede resolver con el método de eliminación gaussiana?. Sistemas lineales únicamente. Sistemas homogéneos únicamente. Sistemas lineales y no lineales. Sistemas incompatibles únicamente.

14. ¿Cuál de las siguientes propiedades es necesaria para que un conjunto sea un espacio vectorial?. Cierre bajo la resta de vectores. Cierre bajo la división escalar. Cierre bajo la multiplicación escalar. Que el conjunto contenga únicamente vectores unitarios.

14. ¿Qué operación es válida en Gauss-Jordan?. Añadir filas externas. Dividir una fila por otra. Multiplicar una fila por un escalar. Sumar un número a una columna.

14. ¿Qué se obtiene al resolver un sistema por el método de eliminación de Gauss?. La inversa de la matriz. La transpuesta de la matriz. El determinante de la matriz. La solución del sistema.

15. ¿Qué describe mejor un valor propio de una transformación lineal?. Un escalar que convierte la matriz en una matriz identidad. Un escalar que estira o comprime un vector en la misma dirección. Un vector que permanece fijo bajo la transformación. Un escalar que cambia la dirección de un vector.

¿Qué significa una matriz en forma escalonada?. La matriz es simétrica. Cada fila empieza con más ceros. Solo hay ceros. La matriz es cuadrada.

15. Si se tiene una matriz en forma escalonada, ¿qué método es apropiado para hallar las soluciones?. Sustitución hacia atrás. Regla de Cramer. Método de Newton. Método de Gauss.

¿Qué define la posición de un pivote en eliminación gaussiana?. La fila en la que se encuentra. Su valor más alto en la matriz. Su posición en la diagonal principal. La columna en la que se encuentra.

16. ¿Qué es una columna pivote?. Llena de ceros. Primera columna no nula en cada fila. Tiene todos sus elementos iguales a uno. Última columna.

16. ¿Qué representa un sistema de ecuaciones lineales?. Un conjunto de ecuaciones cuadradas. Una matriz sin solución. Un conjunto de ecuaciones cuadráticas. Un conjunto de ecuaciones lineales que pueden o no tener solución.

17. ¿Cuál de los siguientes métodos se usa para resolver sistemas de ecuaciones lineales?. Series de Taylor. Método de Gauss-Jordan. Diferenciación. Integración.

17. En Gauss-Jordan, ¿qué valor debe tener el pivote?. 2. –1. 1. 0.

17. ¿Qué representa un sistema compatible en términos de soluciones?. No tiene solución. Tiene una única solución o varias soluciones compatibles. Tiene infinitas soluciones. Siempre tiene una única solución.

18. ¿Qué es una matriz aumentada en un sistema de ecuaciones?. Una matriz simétrica. Una matriz que incluye coeficientes y términos independientes. Una matriz cuadrada con determinante cero. Una matriz que incluye solo los coeficientes del sistema.

18. ¿Qué se obtiene con Gauss-Jordan en una matriz aumentada?. Solución del sistema. Transpuesta de la matriz. La inversa de la matriz. Identidad.

¿Qué significa que un sistema de ecuaciones sea inconsistente?. Tiene múltiples soluciones. Es un sistema dependiente. No tiene solución. Tiene una solución única.

19. En la regla de Cramer, ¿qué representa el determinante de la matriz de coeficientes?. La existencia o no de soluciones únicas. El valor de cada incógnita. El producto de los valores de las incógnitas. El inverso de la matriz aumentada.

19. ¿Qué representa la inversa de una matriz A?. A + A = 0. Una matriz cuadrada. AB = BA = I. Todos sus elementos son positivos.

¿Qué representa la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales?. La matriz de coeficientes junto con la columna de términos independientes. La transpuesta de la matriz original. La matriz original sin cambios. La inversa de la matriz original.

Para resolver un sistema de ecuaciones con el método de eliminación gaussiana, ¿cuál es el primer paso?. Usar la regla de Cramer. Determinar el determinante de la matriz. Convertir la matriz a forma escalonada. Aplicar sustitución hacia atrás.

1. ¿Qué es el determinante de una matriz cuadrada?. La suma de los elementos de la matriz. Un valor escalar que representa una propiedad de la matriz. La transposición de la matriz. La multiplicación de la matriz por un escalar.

Qué es una matriz?. Un conjunto de ecuaciones. Una tabla de números organizada en filas y columnas. Una ecuación de segundo grado. Un conjunto de vectores.

¿Qué es un valor propio de una matriz cuadrada 𝐴 ?. Un número que satisface la ecuación 𝐴𝑣=𝜆𝑣 para algún vector 𝑣≠0. Un número que hace a la matriz 𝐴 invertible. El determinante de la matriz 𝐴. Cualquier número en el determinante de la matriz.

En un sistema de 2 ecuaciones y 2 incógnitas, ¿cuántos determinantes se deben calcular con la regla de Cramer?. 3. 1. 4. 2.

¿Qué condición debe cumplir una matriz para tener inversa?. Un cero en su diagonal. Determinante diferente de cero. Igual número de filas y columnas. Ser simétrica.

Si el determinante de la matriz de coeficientes de un sistema es cero, ¿qué se puede afirmar?. El sistema no tiene solución única y puede ser inconsistente. El sistema siempre tiene una solución infinita. El sistema es inconsistente y tiene solución única. El sistema tiene una única solución.

Cuál es la inversa de la matriz identidad I?. Nula. I. No tiene. Todos negativos.

21. En el método de eliminación de Gauss, ¿qué significa si una fila de la matriz se convierte en ceros completos?. El sistema no tiene solución. El sistema es indeterminado. El sistema es determinado. No afecta al sistema.

Método común para la inversa: Método de Gauss-Jordan. Eliminación Gaussiana. Transposición de filas. Multiplicación de columnas.

22. ¿Qué se necesita calcular primero en la regla de Cramer?. El determinante de la matriz aumentada. El valor de cada incógnita. La inversa de la matriz. El determinante de la matriz de coeficientes.

En el método de eliminación Gauss-Jordan, ¿cuál es el objetivo final?. Obtener una matriz identidad en la matriz aumentada. Obtener una matriz triangular superior. Obtener una matriz triangular inferior. Calcular los determinantes.

Si A es invertible, ¿cuál es el producto de A y A⁻¹?. Simétrica. Identidad. Nula. Determinante cero.

Gauss-Jordan en una matriz cuadrada con identidad: Inversa. Transpuesta. Diagonal. Nula.

24. ¿Qué ocurre si el determinante de la matriz de coeficientes es cero en la regla de Cramer?. La matriz es invertible. La matriz no tiene solución única. La matriz tiene una única solución. La matriz tiene determinante positivo.

25. ¿Cuál es el determinante de una matriz sin inversa?. Menor que 1. 1. Mayor que 1. 0.

25. ¿Cuál es el propósito del método de eliminación gaussiana?. Calcular el determinante de una matriz. Simplificar matrices no cuadradas. Encontrar la inversa de una matriz. Resolver sistemas lineales de ecuaciones.

26. ¿Cuándo es aplicable la regla de Cramer en un sistema de ecuaciones?. Cuando la matriz es triangular. Cuando el sistema es cuadrado y el determinante es distinto de cero. Cuando el sistema es homogéneo. Cuando el sistema tiene infinitas soluciones.

Multiplicar una matriz por su inversa da: La misma matriz. Nula. Identidad. Transpuesta.

27. En la eliminación gaussiana, ¿qué sucede cuando una fila se multiplica por un número?. Se modifica el determinante de la matriz. Se elimina una variable. Se crea una matriz identidad. La matriz se vuelve cuadrada.

27. Si A = [1 2; 3 4], ¿cuál es su determinante?. 5. 0. –2. –1.

28. Dada A = [2 1; 5 3], primer paso para la inversa: Resta de segunda a la primera. Pivote en primera fila. Dividir segunda fila por 5. Sumar primera a la segunda.

28. En la eliminación Gauss-Jordan, ¿qué valor deben tener los elementos de la diagonal principal?. Cero. Uno. No importa su valor. V.

29. ¿Cuál de los siguientes métodos requiere el cálculo de determinantes para resolver un sistema?. Método de eliminación de filas. Método de Cramer. Método de Gauss-Jordan. Método de sustitución hacia atrás.

29. Si el determinante de A es 4, ¿cuál es el de 2A?. 16. 4. 2. 8.

3. ¿Cuál es la propiedad de una matriz cuadrada?. Más filas que columnas. Número de filas igual a columnas. Tiene un número impar de elementos. Tiene solo un elemento.

2. ¿Cómo se denomina una matriz con una sola fila?. Matriz fila. Matriz columna. Matriz identidad. Matriz cuadrada.

¿Cuál de los siguientes es un método para resolver sistemas de ecuaciones lineales usando matrices?. Método de Euler. Método de Gauss-Jordan. Método de diferencias finitas. Método de Cramer.

¿Cuál es el determinante de una matriz identidad de orden 3x3?. –1. 0. 1. 3.

2. ¿Qué representa un vector propio de una matriz cuadrada 𝐴 ?. Cualquier vector que hace el determinante de 𝐴 cero. Un vector que no cambia de dirección al aplicar la transformación de 𝐴. Cualquier vector que satisface la ecuación 𝐴𝑣=𝑣. Un vector ortogonal a todos los vectores en 𝐴.

30. Multiplicación de dos matrices identidad 3x3: Triangular. Todos sus elementos 3. Nula. Identidad 3x3.

¿Qué tipo de matriz debe ser la matriz de coeficientes en la regla de Cramer?. Matriz escalonada. Matriz cuadrada. Matriz rectangular. Matriz identidad.

Dado un valor propio 𝜆 de una matriz 𝐴,¿cuál es la ecuación característica que se utiliza para encontrar 𝜆?. 𝐴𝑣=𝜆. 𝐴+𝜆=0. det(𝐴−𝜆𝐼)=0. 𝐴+𝜆𝐼=0.

3. ¿Qué operación no es permitida en el método de eliminación gaussiana?. Cambiar de lugar dos filas. Multiplicar una fila por un número distinto de cero. Sumar un múltiplo de una fila a otra. Multiplicar una fila por cero.

Si el determinante de una matriz es cero, ¿qué podemos afirmar?. El determinante de su traspuesta es mayor que cero. La matriz es invertible. La matriz es singular y no tiene inversa. La matriz es diagonal.

4. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera para un vector propio 𝑣 y su correspondiente valor propio 𝜆?. 𝐴𝑣=𝜆𝐼. 𝐴𝑣=𝑣. 𝐴𝑣=𝜆𝑣. 𝐴𝑣=det(𝐴)𝑣.

¿Cuál de las siguientes matrices tiene un determinante igual a cero?. Una matriz triangular con un cero en la diagonal principal. Una matriz con elementos distintos de cero en su diagonal. Una matriz ortogonal. Una matriz identidad.

4. En el método de eliminación gaussiana, ¿qué se busca obtener al final del proceso?. Matriz identidad. Matriz triangular superior. Matriz inversa. Matriz diagonal.

4. ¿Qué tipo de matriz tiene ceros excepto en la diagonal principal?. Matriz columna. Matriz diagonal. Matriz nula. Matriz cuadrada.

¿Cómo se llama la matriz con solo ceros?. Matriz fila. Matriz nula. Matriz triangular. Matriz identidad.

5. ¿Cuál de los siguientes pasos es necesario en el método de eliminación de Gauss?. Resolver una integral. Obtener la inversa de la matriz. Realizar operaciones fila. Calcular el determinante.

Si A es una matriz 2x2 con un determinante de 5, ¿cuál es el determinante de 3A?. 9. 15. 5. 45.

Si 𝜆=3 es un valor propio de una matriz 𝐴, ¿qué significa esto para la matriz?. Que 𝐴−3𝐼 es singular. Que todos los valores de 𝐴 son múltiplos de 3. Que 𝐴 tiene un determinante igual a 3. Que 𝐴 es invertible.

6. ¿Cuál de los siguientes no es un requisito para que un conjunto sea considerado un espacio vectorial?. Existencia de un vector nulo. Cierre bajo la suma de vectores. Que todos los vectores sean ortogonales entre sí. Cierre bajo la multiplicación escalar.

6. ¿Qué ocurre con el determinante de una matriz si se intercambian dos filas?. Permanece igual. Se multiplica por -1. Se divide por 2. Se vuelve cero.

6. ¿Qué representa el término "pivote" en el método de eliminación gaussiana?. La última fila de la matriz. La suma de los valores de la matriz. El elemento usado para eliminar los valores de su columna. El valor más pequeño de la matriz.

6. Si A es una matriz y AT su transpuesta, ¿qué cumple una matriz simétrica?. A = AT. A solo tiene ceros. A tiene solo un elemento. A ≠ AT.

7. ¿Cuál es una propiedad importante del determinante de la matriz transpuesta?. Es el doble del determinante de la matriz original. Es igual al determinante de la matriz original. Es siempre cero. Es el opuesto del determinante de la matriz original.

¿Cuál es un ejemplo de una matriz identidad 2x2?. [1 1; 1 1]. [0 0; 0 0]. [0 1; 1 0]. [1 0; 0 1].

7. Para un sistema de ecuaciones 3x3, ¿cuántas matrices adicionales se deben calcular para usar la regla de Cramer?. 1. 4. 3. 2.

7. ¿Qué propiedad debe tener una matriz para que se puedan definir valores y vectores propios?. Debe ser diagonalizable. Debe ser cuadrada. Debe ser simétrica. Debe ser invertible.

8. ¿Cuál es el resultado de sumar matrices de diferentes dimensiones?. Una matriz cuadrada. Una matriz nula. Una nueva matriz. Error, solo matrices de igual dimensión.

8. ¿Qué condición debe cumplirse para que la regla de Cramer sea aplicable?. La matriz debe ser triangular. La matriz debe ser cuadrada y su determinante no debe ser cero. La matriz debe ser simétrica. La matriz debe tener filas idénticas.

¿Qué representa el espacio generado por los vectores propios correspondientes a un mismo valor propio 𝜆?. El determinante de la matriz. El rango de la matriz. El espacio propio asociado a 𝜆. La diagonal de la matriz.

8. ¿Qué valor tiene el determinante de una matriz diagonal?. El producto de los elementos de la diagonal. Uno. La suma de los elementos de la diagonal. Cero.

9. ¿Cuál es el resultado de aplicar la regla de Cramer?. La matriz inversa del sistema. El valor del determinante de la matriz. Los valores de las incógnitas del sistema. La matriz transpuesta del sistema.

9. ¿Qué corresponde a multiplicar cada elemento por un escalar?. Suma de matrices. Multiplicación escalar. Transposición. Resta de matrices.

9. ¿Qué significa que un conjunto de vectores es un espacio vectorial?. Que todos los vectores tienen longitud unitaria. Que los vectores son linealmente independientes. Que todos los vectores son ortogonales entre sí. Que los vectores cumplen con propiedades como cierre bajo suma y existencia de inversos aditivos.

Si una fila de una matriz cuadrada es un múltiplo de otra fila, ¿qué valor tiene su determinante?. Uno. Dos. Igual al determinante de la matriz transpuesta. Cero.