¿Por qué es importante la imaginación en las demostraciones matemáticas? Porque las verdades matemáticas las captamos con la razón, no con los sentidos. Porque a menudo esas demostraciones requieren añadir a las figuras elementos que no están en ellas originalmente. Porque las demostraciones matemáticas requieren el uso de diagramas. Porque las verdades matemáticas las aplicamos a objetos sensibles.
¿Cuál de estas afirmaciones es FALSA? Los términos "elipse", "parábola" e "hipérbola" se deben a Apolonio. La primera "Historia de las matemáticas" cuya existencia nos consta fue escrita en el siglo IV a. C. Los pitagóricos demostraron, mediante reducción al absurdo, que no pueden existir magnitudes mutuamente inconmensurables. Arquímedes es conocido tanto por sus trabajos en matemática pura, como en mecánica.
¿Cuál de estos elementos del saber matemático diferencia la matemática griega de la de civilizaciones anteriores? La idea de demostración con validez universal. El uso de figuras. El tratamiento de problemas aritméticos. La aplicabilidad a problemas prácticos.
Según el teorema de Pitágoras... ... la longitud de la hipotenusa, comparada con la de cualquiera de los catetos, es siempre un número irracional. ... la hipotenusa es siempre más larga que cada uno de los catetos. Todas las otras respuestas son falsas. ... para todo a, b y c, a^2 + b^2 = c^2, siempre que a, b y c sean los lados de un triángulo.
Los babilonios ya sabían que había algunos triángulos rectángulos en los que el cuadrado de la hipotenusa era igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Entonces, ¿cuál de las tres siguientes frases NO indica una aportación de los matemáticos griegos en relación al Teorema de Pitágoras? Afirmar que la igualdad era válida para cualquier triángulo rectángulo. Afirmar que la igualdad era válida universalmente para cualquier triángulo, ya fuese rectángulo o no. Ofrecer una demostración abstracta, no limitada a figuras concretas. Todas las anteriores son contribuciones de los matemáticos griegos.
¿Cuál de las siguientes es una característica esencial del método axiomático de Euclides? En la demostración de un teorema no pueden usarse otros teoremas, solo los axiomas, definiciones y nociones comunes. Los axiomas o postulados son autoevidentes, mientras que los teoremas no deben serlo. Cada paso de una demostración debe indicar qué resultado previo se está aplicando. Los axiomas deben inferirse de las definiciones y de las nociones comunes.
Según el primer teorema de Tales... ... en todos los triángulos rectángulos en los que un cateto es la base, y el otro la altura, la proporción entre los dos catetos es igual. ... se puede medir la altura de una pirámide, suponiendo que esa altura es la hipotenusa de un triángulo rectángulo. ... se puede saber si dos triángulos son semejantes entre sí, sabiendo que si comparten un ángulo, y que las bases opuestas a dicho ángulo son paralelas. ... todo triángulo inscrito en un círculo, y uno de cuyos lados es igual a un diámetro del círculo, es rectángulo.
En la proposición VI.13 de los "Elementos", Euclides utiliza la noción de "media proporcional" para proporcionar un método geométrico de cálculo de una raíz cuadrada, según la imagen. ¿DE QUÉ NÚMERO es la raíz cuadrada que se puede calcular con este método? AD por CD AC (= AB + BC) AB por BC BD.
El principio geométrico representado en la imagen es utilizado en la demostración que ofrece Euclides del Teorema de Pitágoras. ¿Qué afirma dicho principio? Que si dos triángulos comparten una base, y su tercer vértice está sobre una misma recta paralela a esa base, entonces los dos tienen la misma área. Que si AB es a BC como AD es a DC, entonces las rectas L y M son necesariamente paralelas. Que AB es a BC como AD es a DC, y por tanto el ángulo ABC es igual al ángulo ACD. Los otros tres enunciados son equivalentes.
En el triángulo representado en la imagen, y que se utiliza para demostrar el Teorema de Pitágoras, ¿por qué son iguales los dos ángulos llamados "alfa"? Porque el triángulo APC es semejante al triángulo PBC. Porque ambos son ángulos rectos. Porque los dos ángulos pertenecen al mismo triángulo. No tienen por qué ser iguales.
¿En qué sentido la matemática constituye un paradigma del tipo de conocimiento que los griegos buscaban mediante la filosofía? Porque era un conocimiento susceptible de ser demostrado mediante argumentos racionales. Porque no tenía aplicación práctica. Porque podía recibir una interpretación religiosa o mística. Porque no podía recibir una interpretación religiosa o mística.
¿Cuál de estos teoremas fue demostrado por reducción al absurdo? La sección áurea. El Teorema de Pitágoras. La existencia de infinitos números primos. La duplicación del cubo.
¿Cuál de estos enunciados corresponde a la definición de la sección áurea? Todos los enunciados son equivalentes entre sí. Dividir un segmento en dos subsegmentos, de tal forma que la proporción entre el segmento original y cada uno de los dos subsegmentos sea igual a la proporción entre ambos subsegmentos. Dividir un segmento AC en dos subsegmentos, AB y BC, de tal forma que BC/AB = AB/BC. Dividir un segmento en dos subsegmentos, de tal forma que la proporción entre el subsegmento mayor y el menor sea igual a la proporción entre el segmento original y el subsegmento mayor.
¿Cuál de estos hechos NO se utiliza en la demostración del Teorema de Pitágoras basada en la semejanza de triángulos? Que AC es a AP como BP es a AB. Que el triángulo ABP es semejante al triángulo CPB. Que AP es a AC como AB es a AP. Que BP^2 es igual a AB por CB.
En una demostración por reducción al absurdo... ... comenzamos suponiendo que se da una contradicción. ... se demuestra que la tesis que queremos probar conduce a una contradicción. ... todas las otras respuestas son falsas. ... no se utilizan los axiomas, sino que se parte de una suposición.
¿En qué consiste el "método de exhaución"? En aproximar una figura curva mediante polígonos o con un número cada vez mayor de lados. En calcular el volumen de una figura, y no sólo su superficie. En usar el método de reducción al absurdo un número infinito de veces. En desarrollar la cuadratura del círculo.
El segundo teorema de Tales... Es uno de los axiomas de los "Elementos" de Euclides. Lo empleó Tales para medir la altura de la Pirámide de Keops. Permite construir con regla y compás un ángulo recto. Afirma que cualquier triángulo inscrito en un círculo tiene necesariamente un ángulo recto.
Que dos magnitudes A y B sean inconmensurables entre sí quiere decir que... ... si existen dos números naturales N y M tales que la proporción entre A y B es igual a la proporción entre N y M, entonces N y M no pueden ser pares los dos. ... no existen dos números naturales N y M tales que la proporción entre A y B sea igual a la proporción entre N y M. ... todas las otras respuestas son equivalentes. ... una de ellas es la hipotenusa de un triángulo rectángulo, y la otra el cateto.
En la demostración de que la raíz de 2 es irracional, empezamos suponiendo que la raíz de 2 es igual a N/M para dos números N y M que no tienen ningún factor común entre ellos. ¿Qué quiere decir esto último? Que N y M no pueden ser uno de ellos el cuadrado del otro. Que N y M no tienen ningún divisor en común (p. ej., no puede ocurrir que N = 3P y M = 4P, siendo P un número natural). Que N y M no son múltiplos el uno del otro (p. ej., no puede ocurrir que N = PM, siendo P un número natural). Que N y M no pueden ser pares los dos.
¿Cuál de estas cuatro respuestas contiene únicamente los nombres de matemáticos cuyos trabajos puede que estén recogidos en los "Elementos" de Euclides? Euclides, Menecmo y Eratóstenes. Apolonio, Hipócrates de Quíos y Diofanto de Alejandría. Teeteto, Eudoxo e Hipócrates de Quíos. Pitágoras, Tales de Mileto y Arquímedes.
Desde el punto de vista observacional, una diferencia entre los planetas, por un lado, y el sol y la luna por otro, es que... ...los planetas tienen movimiento de retrogradación de este a oeste, y el sol y la luna de oeste a este. ...los planetas están más lejos que el sol y que la luna, y por eso brillan menos. ...los planetas tienen movimiento de retrogradación, pero el sol y la luna no lo tienen. ...el sol y la luna tienen un movimiento celeste diario y otro anual (sol) o mensual (luna) en sentido contrario, pero los planetas solo tienen el primero.
¿A qué se conoce en astronomía como "el problema de Platón"? A "salvar las apariencias" A explicar los movimientos de los astros empleando movimiento uniformes de esferas homocéntricas. A explicar los movimientos de los astros empleando únicamente movimientos circulares uniformes. A utilizar hipótesis para explicar los movimientos de los astros, en particular de los planetas.
¿Cuál de estos enunciados es FALSO? El sistema de epiciclos lo propuso Apolonio y lo desarrolló Ptolomeo. En el sistema de epiciclos, el planeta no está situado directamente sobre la órbita, sino en un círculo cuyo centro sí que está situado en la órbita. El sistema de epiciclos permite explicar por qué los planetas brillan más cuando retrogradan. El sistema de epiciclos permitió explicar por primera vez la retrogradación.
Las estrellas fijas se llaman así porque... ... en el modelo geoestacionario, su esfera se supone que no se mueve. ... vistas desde la Tierra, siempre están en la misma posición en el cielo. ... siempre guardan la misma distancia unas respecto a otras. ... no tienen retrogradaciones.
¿Cuál de estos enunciados es FALSO? La eclíptica... ... es atravesada por la Luna solo en los momentos en los que hay un eclipse de Sol o de Luna. ... es la línea en el firmamento que atraviesa las constelaciones del Zodíaco. ... es la línea en el firmamento que marca la trayectoria anual aparente del Sol. ... no puede sufrir retrogradaciones.
Identifique correctamente tres elementos del sistema de Ptolomeo en esta imagen: A: ecuante. B: excéntrica. F: epiciclo. A: centro del cosmos. D: epiciclo. F: planeta. A: excéntrica. C: ecuante. D: deferente. A: Tierra. E: deferente. F: Planeta.
Uno de los principales problemas del modelo de Eudoxo era que... ... incluía hipótesis incompatibles con la cosmología de Aristóteles. ... la distancia de un planeta a la Tierra siempre era constante. ... solo se aplicaba a los planetas, no al Sol ni a la Luna. ... no permitía explicar las retrogradaciones, pues las esferas eran homocéntricas.
Señale la respuesta FALSA. En esta imagen, relativa a la medición que hizo Aristarco del tamaño de la Luna... ... se asume que la Luna se desplaza con velocidad constante. ... se intenta comparar el diámetro de la Luna con el tamaño de la sombra de la Tierra. ... se está produciendo un eclipse de Sol. ... es irrelevante si se asume el modelo geocéntrico o el heliocéntrico.
¿Por qué seleccionó Eratóstenes una ciudad situada en el Trópico de Cáncer para medir el tamaño de la Tierra? Porque en el Trópico de Cáncer, a medianoche en el solsticio de verano, el Sol puede verse desde el fondo de un pozo. Porque en el Trópico de Cáncer, a mediodía en el solsticio de invierno, el Sol está justo en la vertical del cielo. Porque en el Trópico de Cáncer, a mediodía en el solsticio de verano, el sol está justo en la vertical del cielo. Porque en el Trópico de Cáncer, a mediodía del equinoccio, los objetos no proyectan sombras.
Sin considerar la retrogradación, los movimientos aparentes de Marte son: A lo largo del día, de Este a Oeste. A lo largo de varios días, de Oeste a Este. A lo largo del día, de Oeste a Este. A lo largo de varios días, de Este a Oeste. A lo largo del día, en el mismo sentido que el Sol. A lo largo de varios días, en sentido opuesto al Sol. A lo largo del día, en sentido opuesto al Sol. A lo largo de varios días, en el mismo sentido que el Sol. .
¿Cuál de estos enunciados es FALSO? Ni Platón ni Aristóteles utilizaban epiciclos en su modelo cosmológico. Los epiciclos permiten explicar por qué los planetas retrogradan. Los epiciclos permiten explicar por qué los planetas brillan más cuando retrogradan. La hipótesis de los epiciclos fue introducida por Ptolomeo.
Señala la respuesta FALSA. Un ecuante... ... es una hipótesis que contradice la cosmología de Aristóteles. ... puede coincidir con el centro de la órbita. ... puede combinarse con una órbita excéntrica. ... permite explicar por qué los astros no orbitan aparentemente con velocidad constante.
La medición del tamaño de la tierra por parte de Eratóstenes... ... requirió medir la distancia entre dos puntos diferentes en el mismo meridiano. ... asumía el modelo geocéntrico, aunque Eratóstenes defendía el modelo heliocéntrico. ... asumía que el ángulo que formaba la sombra de un objeto era la misma en dos latitudes diferentes. ... utiliza el segundo teorema de Tales.
Indica la respuesta FALSA. Aristarco midió la distancia entre la Tierra y el Sol... ... comparando el diámetro aparente de la Luna con el diámetro aparente del Sol. ... midiendo el ángulo que forma la Tierra con la Luna y el Sol cuando la Luna está en cuarto creciente. ... en términos de la distancia entre la Tierra y la Luna. ... con un error mucho mayor que sus otras mediciones astronómicas.
Los descubrimientos geográficos de los siglos XV-XVI influyeron en el desarrollo de la astronomía... ... mostrando que algunas teorías aceptadas por los científicos y filósofos de la Antigüedad se basaban en razonamientos especulativos y eran contrarias a la experiencia. No influyeron de modo alguno, pues solo afectan a la geografía, no a la astronomía. ... al mostrar que las mediciones de la Tierra y el sistema solar echas por Eratóstenes y Aristarco tenían errores mucho más grandes de lo que se pensaba durante la Edad Media. ... al mostrar que la Tierra no era el centro del cosmos.
¿Cuál de estos hechos NO fue uno de los argumentos que se usaron contra el sistema copernicano? El sistema copernicano era demasiado complejo matemáticamente, como para poder ser empleado para medir y predecir los fenómenos astronómicos. El modelo copernicano implica que debería observarse un paralaje en las estrellas fijas, paralaje que no se observa. El movimiento de la Tierra debería producir efectos observables a simple vista. El modelo copernicano no explicaba por qué caen los cuerpos hacia la Tierra, si no está en el centro del cosmos. .
La observación telescópica de la Luna por Galileo permitió descubrir que... ... la superficie de la Luna no era perfectamente lisa. ... existía al menos un astro que no giraba en torno al Sol, sino en torno a la Tierra. ... la Luna tenía un movimiento de rotación, además del de traslación. ... la órbita de la Luna no era una circunferencia perfecta. .
Los descubrimientos geográficos del siglo XV-XVI influyeron en el desarrollo de la astronomía... ... demostrando que la Tierra era mucho más grande que lo que había medido Eratóstenes. ... mostrando que los científicos de la Antigüedad no conocían algunos hechos fundamentales sobre el mundo. ... al demostrar por primera vez que la Tierra era esférica. ... al mostrar que la Tierra no era el centro del universo.
¿En qué consiste el paralaje? En que el brillo aparente de un astro cambia con la distancia desde la cual lo observamos. En el desplazamiento diario de las estrellas fijas y el resto de los astros. En que el tamaño aparente de un objeto cambia con la distancia desde la que lo observamos. En que la posición aparente de un objeto es distinta cuando se lo observa desde dos lugares diferentes.
¿Cómo descubrió Kepler su tercera ley? Al medir en términos de logaritmos la fuerza magnética que el Sol ejercía sobre los planetas. Al ver que la relación entre el periodo de los planetas y su distancia al Sol, expresadas en términos de logaritmos, era lineal. Mediante el paralaje, utilizando los datos observacionales acumulados por Tycho Brahe. Las otras tres respuestas son falsas.
¿Por qué fue importante el descubrimiento de las manchas solares? Porque mostraba que la Tierra no era el centro del universo. Porque debilitaba la idea aristotélica de que los cuerpos celestes obedecen principios físicos diferentes a los terrestres. Porque era incompatible con el modelo de Ptolomeo. Porque mostraba que el Sol no era el centro del universo, sino una estrella como las demás, cuyo brillo también cambia.
Los planetas exteriores retrogradan cuando están en oposición al Sol (o sea, en direcciones exactamente opuestas en el firmamento). ¿Por qué este hecho es más favorable para la teoría heliocéntrica que para la geocéntrica? Porque en el modelo de Ptolomeo solo puede explicarse suponiendo que el Sol está siempre sobre la línea recta que une la Tierra con el centro del epiciclo del otro planeta. Porque es una consecuencia trivial del hecho de que los planetas exteriores están más lejos del Sol que la Tierra. Porque es incompatible con el modelo de Ptolomeo. Ninguna de las otras tres respuestas es correcta.
¿Qué principio utilizó Kepler para medir la posición real de la Tierra en varios puntos de su órbita? El hecho de que la posición aparente de Marte tras un año marciano (687 días) era la misma, pero su posición real no. El hecho de que la posición real de Marte tras un año marciano (687 días) era la misma, pero su posición aparente no. El hecho de que la posición aparente de la Tierra tras un año marciano (687 días) era diferente. El hecho de que tanto la posición real como la posición aparente de Marte era la misma cuando había pasado justamente un año marciano (687 días).
¿Qué significa la siguiente afirmación? "En el sistema geocéntrico, los tamaños de las órbitas de los planetas eran arbitrarios". Que los fenómenos astronómicos observados serían los mismos, aunque cada planeta estuviese a una distancia diferente de la Tierra, simplemente con ajustar la velocidad con la que se supone que giran. Que el brillo de los planetas depende de cómo de cerca o de lejos se encuentren del Sol, no de la Tierrra. Que, al contrario del sistema heliocéntrico, en el sistema geocéntrico no hay ninguna explicación satisfactoria de por qué los planetas giran todos ellos en la misma dirección. Las otras respuestas son todas incorrectas.
¿Cuál de estos descubrimientos astronómicos se basó en la técnica del paralaje? La determinación de las órbitas reales de los planetas, por Kepler. El descubrimiento de que las estrellas están mucho más lejos que los planetas, por Galileo. La distancia de la Tierra a la Luna, por Eratóstenes. El descubrimiento de los satélites de Júpiter, por Galileo.
¿De qué modo demostró el descubrimiento de América la falsedad de la cosmología de Sacrobosco? Porque en el modelo de Sacrobosco solo podía haber una gran masa continental, y el resto de la Tierra estaba cubierto por océnao. Porque en el modelo de Sacrobosco el tamaño de la Tierra es mucho más grande de lo que pensaba Colón. Porque en el modelo de Sacrobosco, aceptado durante la Edad Media, se suponía que la Tierra era plana. Porque el modelo de Sacrobosco se basaba en la Biblia.
¿Por qué el descubrimiento galileano de las fases de Venus constituyó un argumento muy concluyente contra el modelo astronómico de Ptolomeo? Porque en el sistema de Ptolomeo, Venus no podía tener una fase como la de "luna nueva". Porque en el sistema de Ptolomeo, Venus tendría todas las fases que observó Galileo, pero en un orden distinto. Porque en el sistema de Ptolomeo, Venus no podía tener una fase como la de "luna llena". Porque en el sistema de Ptolomeo, Venus no podía tener fases.
Indique la respuesta FALSA. Tras medir cuatro posiciones reales de la Tierra en su órbita, Kepler pudo determinar... ... que solo con tres observaciones, la órbita de la Tierra habría podido encajar en un círculo. ... que la posición del Sol no coincidía con el centro de la órbita. ... que la órbita terrestre encajaba en una circunferencia con suficiente aproximación, dado el margen de error de sus observaciones. ... que la órbita terrestre no encajaba en un círculo, ni siquiera teniendo en cuenta el margen de error, sino en una elipse.
¿Cuál de estos enunciados NO es una de las leyes de Kepler? Las órbitas de los planetas son elípticas. El período de un planeta al cuadrado, dividido por el radio medio de su órbita al cubo, es un valor constante, igual para todos los planetas. La línea recta que une un planeta con el centro de la Tierra barre áreas iguales en tiempos iguales. El radio medio de la órbita de un planeta al cubo, dividido por su período al cuadrado, es un valor constante, igual para todos los planetas.
Una de las principales contribuciones de la física de Galileo fue... ... descubrir que el movimiento de los cuerpos puede analizarse matemáticamente. ... descubrir que en el movimiento uniformemente acelerado, la velocidad depende directamente de la distancia recorrida. ... descubrir que en el movimiento uniformemente acelerado, la velocidad depende inversamente de la distancia recorrida. ... enfocar el movimiento de caída libre como un problema de hidrostática (aplicando el principio de Arquímedes).
El concepto newtoniano de masa... Es una conjetura contraria a la identificación cartesiana entre "materia" y "extensión". Está conceptualmente unido al de "fuerza" a través de la "segunda ley de Newton", pues solo aplicando una fuerza pueden medirse las masas. Tiene un aspecto "pasivo" (la "inercia") y otro activo (la "gravedad"). Todas las respuestas son correctas.
¿En qué consiste la "teoria de los vórtices" cartesiana? Es una versión matemática de la teoría de Kepler sobre la fuerza magnética que ejerce el sol sobre los planetas. Es una aplicación del principio de inercia. Es un intento de explicar el movimiento orbital de los astros por analogía con el giro del agua en un remolino. Todas las anteriores son correctas.
¿A qué físico se debe la demostración de que la fuerza que ejerce el sol sobre los planetas depende del inverso del cuadrado de la distancia? Huygens Kepler Galileo Newton.
¿Cuál es la principal diferencia entre la noción de "movimiento inercial" en Galileo y en Descartes? Para Galileo, el movimiento inercial es relativo. Para Descartes, es un movimiento en el espacio absoluto. Para Galileo, el movimiento inercial es circular. Para Descartes, es rectilíneo. Para Galileo, el movimiento inercial es solo el de caída libre. Para Descartes, puede ser cualquier otro movimiento. Todas las respuestas son correctas.
En esta imagen se representa el argumento de Newton para demostrar la segunda ley de Kepler. Indique el enunciado que NO corresponde a un paso de dicha demostración. El área del triángulo SAB es igual al área del triángulo SBc. El área del triángulo SBc es igual a la del triángulo SBC. Si sobre el cuerpo no se ejerciera ninguna fuerza, cuando llegara desde A a B en una unidad de tiempo, continuaría hasta c en la siguiente unidad de tiempo. Suponemos que, sobre el cuerpo representado por el círculo rosa, se está ejerciendo una fuerza inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que lo separa del cuerpo S.
¿Cuál de estos fenómenos NO se observa en el experimento del plano inclinado, según Galileo? Una bola cayendo por un plano inclinado recorre un espacio total igual a 2n-1 unidades de distancia (o sea, 1, 3, 5, 7...), cuando lleve cayendo n unidades de tiempo (o sea, 1, 2, 3, 4...). Si una bola empieza a caer por el plano inclinado desde una altura mayor que otra, la primera alcanza una velocidad mayor. Si dos bolas caen desde la misma altura en planos con diferente inclinación, alcanzan ambas la misma velocidad. Se observan todos los fenómenos anteriores.
Señale la respuesta INCORRECTA. En esta imagen (que ilustra la llamada "regla de Merton"): B representa una distancia doble que G. C representa una velocidad doble que E. La línea DE representa un movimiento con velocidad uniforme. La línea AC representa un movimiento uniformemente acelerado.
¿Cómo demuestra Newton que de la Ley de la Gravedad se sigue necesariamente la Ley de Caída de los Graves de Galileo? Demostrando que la fuerza con la que la tierra atrae a un cuerpo es inversamente proporcional a la masa de dicho cuerpo. Demostrando que la fuerza con la que la tierra atrae a un cuerpo es universal, es decir, es la misma para todos los objetos. Demostrando que la fuerza con la que la tierra atrae a un cuerpo depende de la masa de este cuerpo. Demostrando que la fuerza de gravedad solo depende inversamente del cuadrado de la distancia, y no de la masa.
Según Newton, si disparásemos una bala de cañón horizontalmente (en dirección paralela al suelo) desde lo alto de una montaña (punto V)... ... caerá inevitablemente en algún punto de la superficie terrestre, independientemente de la velocidad con que lo lancemos, a causa del rozamiento del aire. ... caerá, como máximo, en el punto G, y si lo lanzamos aún más deprisa, quedará en órbita. ... dejará de experimentar la atracción de la gravedad terrestre si se dispara con una velocidad que le permita volver al punto de partida. ... las otras tres respuestas son falsas.
Según la física de Newton, ¿por qué la Luna no cae a la Tierra? Porque su velocidad orbital compensa exactamente la atracción gravitatoria que se da entre la Tierra y la Luna. La Luna sí que cae, pero con una velocidad tan pequeña que la Tierra, mientras orbita alrededor del Sol, ya se ha alejado de su posición cuando la Luna se acerca. Las otras tres respuestas son falsas. La Luna sí que cae hacia la Tierra, pero en un movimiento parabólico.
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