Matemática Discreta - Parcial 2 Siglo 21 - Preguntas Studocu

¿Qué es un grafo?. Un conjunto de vértices y un conjunto de aristas que relacionan pares de vértices. Un conjunto de elementos ordenados según una relación de equivalencia entre ellos. Una estructura formada por nodos que se conectan únicamente mediante ciclos cerrados. Una colección de números enteros vinculados por operaciones binarias de suma y producto. Un arreglo de filas y columnas que representa las valencias de cada uno de sus nodos.

¿Cuántos conjuntos definen a un grafo?. Un solo conjunto: el de los vértices, ya que las aristas se deducen de las valencias. Tres conjuntos: vértices, aristas y valencias asociadas a cada uno de los vértices. Dos conjuntos: el de vértices y el de aristas que unen pares de vértices. Dos conjuntos: el de nodos y el de operaciones binarias definidas entre esos nodos. Cuatro conjuntos: vértices, aristas, caminos y ciclos que resultan de esos vértices.

En teoría de grafos, dos vértices son adyacentes cuando: Pertenecen al mismo nivel dentro de un árbol con raíz y sin ciclos dirigidos. Tienen exactamente la misma valencia dentro del grafo considerado como conexo. Son los extremos de una misma arista, es decir, están unidos por una arista. Están unidos por un camino de longitud mayor o igual que dos dentro del grafo. Forman parte de un mismo ciclo, aunque no exista una arista directa entre ellos.

¿Qué es un grafo trivial?. Aquel que no tiene ningún vértice y por lo tanto tampoco tiene aristas. Aquel que tiene todos sus vértices aislados y sin ninguna arista entre ellos. Aquel que tiene un solo vértice y ninguna arista entre sus elementos. Aquel que puede dibujarse en el plano sin que se crucen sus propias aristas. Aquel en el que cada par de vértices está unido por una única arista simple.

¿Qué es un grafo nulo?. Aquel que no tiene ninguna arista, aunque sí puede tener vértices aislados. Aquel que tiene un solo vértice y ninguna arista entre los elementos del conjunto. Aquel que no tiene vértices ni aristas y por lo tanto carece de representación. Aquel cuyas aristas forman un único ciclo que recorre todos sus vértices una vez. Aquel en el que cada par de vértices está conectado por exactamente una arista.

¿Qué es un grafo plano (planar)?. Aquel que tiene un solo vértice y ninguna arista entre los elementos del conjunto. Aquel cuyos vértices se ubican todos sobre una misma recta del plano cartesiano. Aquel que no tiene ciclos y por lo tanto puede dibujarse como un árbol con raíz. Aquel en el que cada par de vértices está unido por una única arista sin bucles. Aquel que puede dibujarse en el plano sin que sus aristas se crucen entre sí.

¿Qué es un grafo completo?. Un grafo conexo en el que cada vértice tiene exactamente la misma valencia par. Un grafo que contiene todos los ciclos posibles entre los vértices que lo forman. Un grafo en el que cada arista pertenece al menos a un ciclo de longitud impar. Un grafo simple en el que cada par de vértices está unido por una arista. Un grafo que puede recorrerse pasando por todas sus aristas exactamente una vez.

¿Qué es la valencia de un vértice en un grafo?. La cantidad de vértices que pertenecen al mismo ciclo que ese vértice. La cantidad de caminos distintos que unen ese vértice con todos los demás. La cantidad de aristas que forman el ciclo de menor longitud que lo contiene. La cantidad de aristas del grafo que inciden sobre ese vértice. La cantidad de vértices adyacentes que tienen una valencia mayor que la suya.

Un grafo simple no dirigido tiene 4 vértices. ¿Cuál es la cantidad máxima de aristas que puede tener?. 12. 6. 8. 4. 16.

¿Cuántas aristas tiene el grafo completo K7?. 14. 42. 49. 7. 21.

En un grafo completo Kn, ¿cuál es la valencia de cada uno de sus vértices?. n. n - 1. n(n - 1)/2. n + 1. n/2.

¿Qué relación cumple la suma de las valencias de todos los vértices de un grafo?. Es igual a la cantidad de aristas del grafo multiplicada por tres. Es igual a la cantidad de vértices menos la cantidad de aristas del grafo. Es igual a la cantidad de vértices multiplicada por la de aristas del grafo. Es igual al doble de la cantidad de aristas del grafo considerado. Es igual a la cantidad de aristas más la cantidad de vértices del grafo.

En todo grafo, la cantidad de vértices con valencia impar: Es siempre un número impar, cualquiera sea la cantidad de aristas del grafo. Es igual a la cantidad de vértices que tienen valencia par en el mismo grafo. Es igual a la mitad de la cantidad total de vértices que forman el grafo. Depende de si el grafo es conexo o disconexo, pero nunca puede ser cero. Es siempre un número par, cualquiera sea la cantidad de aristas del grafo.

Si se tiene un grafo con 5 vértices, ¿cuál de las siguientes listas de valencias es posible?. 1, 2, 3, 4, 5. 2, 2, 2, 3, 3. 0, 1, 2, 3, 5. 1, 1, 1, 1, 1. 5, 5, 5, 5, 5.

Un grafo tiene 5 vértices y solamente 2 aristas. ¿Qué se puede afirmar?. El grafo es necesariamente conexo porque sus dos aristas unen tres vértices. Todos los vértices del grafo tienen exactamente la misma valencia positiva. El grafo contiene necesariamente un ciclo de longitud mayor o igual que tres. La suma de las valencias de todos los vértices es un número impar de unidades. Existe al menos un vértice que no es adyacente a ningún otro vértice.

Un grafo simple no dirigido tiene 2 vértices y 5 aristas. Esto quiere decir que: No se puede dar esta situación en un grafo simple no dirigido. El grafo es completo porque cada vértice se conecta con el otro varias veces. El grafo tiene un ciclo de longitud cinco que recorre ambos vértices. La valencia de cada uno de los dos vértices es igual a cinco. El grafo es necesariamente disconexo porque tiene más aristas que vértices.

¿A qué llamamos caminata euleriana en un grafo?. A un recorrido que utiliza todos los vértices del grafo exactamente una vez. A un recorrido que utiliza todas las aristas del grafo al menos dos veces. A un recorrido que utiliza todos los vértices del grafo sin repetir aristas. A un recorrido que utiliza todas las aristas del grafo exactamente una vez. A un recorrido que utiliza las aristas de un único ciclo del grafo dado.

¿Qué condición deben cumplir los vértices para que un grafo conexo tenga un ciclo euleriano?. Que todos los vértices del grafo tengan valencia par. Que exactamente dos vértices del grafo tengan valencia impar. Que todos los vértices del grafo tengan valencia impar y positiva. Que ningún vértice del grafo tenga valencia igual a cero ni a uno. Que exactamente un vértice del grafo tenga valencia impar y el resto par.

Para que un grafo conexo tenga una caminata euleriana abierta (sin volver al inicio) se necesita que: Exactamente dos vértices tengan valencia impar y el resto valencia par. Todos los vértices tengan valencia par, sin importar cuántas aristas existan. Exactamente un vértice tenga valencia impar y el resto valencia par. Todos los vértices tengan valencia impar, sin importar cuántas aristas existan. Ningún vértice tenga valencia impar, ya que el recorrido debe ser cerrado.

¿Qué condiciones son necesarias para que exista un ciclo hamiltoniano en un grafo?. Que el grafo sea conexo y todos sus vértices tengan valencia par positiva. Que el grafo no tenga ciclos y todos sus vértices tengan valencia distinta. Que el grafo tenga exactamente dos vértices con valencia impar y sea conexo. Que el grafo sea disconexo y tenga la misma cantidad de aristas que vértices. Que el grafo sea conexo y no tenga vértices de valencia igual a uno.

En el problema del caballo de ajedrez, que debe visitar cada casilla una sola vez y volver al inicio, se busca: Un ciclo euleriano dentro del grafo que representa el tablero. Un árbol expandido de menor peso del grafo que representa el tablero. Un recorrido euleriano abierto del grafo que representa el tablero. Un subgrafo completo de menor cantidad de aristas del tablero dado. Un ciclo hamiltoniano dentro del grafo que representa el tablero.

Un cartero sale del correo y debe recorrer todas las calles del barrio volviendo al correo. En teoría de grafos se busca: Un camino que use todos los vértices y empiece y termine en el mismo vértice. Un árbol expandido que recorra todas las calles del barrio exactamente una vez. Una caminata que use todas las aristas y empiece y termine en el mismo vértice. Un subgrafo completo que conecte todas las esquinas del barrio entre sí. Un camino que use todas las aristas y termine en un vértice distinto del inicial.

Si se tiene un 4-ciclo (un cuadrado) como grafo, ¿cuál es su número cromático?. 1. 3. 4. 2. 5.

Si T es un árbol con más de un vértice, ¿cuál es su número cromático?. 1. 2. 3. 4. n.

¿Cuándo dos grafos G1 y G2 son isomorfos?. Cuando existe una función biyectiva entre sus aristas que preserva las valencias. Cuando existe una función biyectiva entre sus vértices que preserva las aristas. Cuando ambos grafos tienen la misma cantidad de vértices y la misma de aristas. Cuando ambos grafos pueden dibujarse con la misma cantidad de cruces de aristas. Cuando existe una función inyectiva entre sus vértices que conserva las valencias.

Si G1 = (V1, E1) es isomorfo a G2 = (V2, E2), ¿qué sentencias se pueden afirmar? Seleccione las 4 (cuatro) respuestas correctas. La lista de valencias de G1 debe ser la misma lista que la de G2. Si G1 tiene un ciclo, entonces G2 también tiene un ciclo de igual longitud. El cardinal del conjunto E1 es igual al cardinal del conjunto E2. El conjunto V1 tiene la misma cantidad de elementos que el conjunto V2. La representación gráfica de G1 debe ser idéntica a la de G2 en el plano.

¿A qué llamamos camino en un grafo?. A un recorrido por las aristas del grafo que no repite ninguna arista. A un recorrido por las aristas del grafo que repite los vértices necesarios. A un recorrido por las aristas que usa todas las aristas una sola vez. A un recorrido por las aristas del grafo que no repite ningún vértice. A un recorrido cerrado que empieza y termina en el mismo vértice inicial.

¿Qué condiciones son necesarias para que un grafo sea un árbol?. Que sea disconexo y no tenga ningún ciclo entre sus vértices. Que sea conexo y tenga exactamente un ciclo que recorra todos sus vértices. Que sea disconexo y tenga tantas aristas como vértices en total. Que sea conexo y no tenga ningún ciclo entre sus vértices. Que sea conexo y tenga una cantidad de aristas mayor que la de vértices.

¿Qué condiciones debe cumplir un grafo T = (V, E) para ser un árbol? Seleccione las 4 (cuatro) respuestas correctas. T es conexo. Para cada par (x, y) de vértices existe un único camino en T de x a y. Al remover cualquier arista, el grafo resultante tiene dos componentes que son árboles. Se cumple que |E| = |V| - 1. T contiene exactamente un ciclo que pasa por todos sus vértices.

En un árbol con raíz, ¿a qué se llama nivel de un nodo?. A la cantidad de hijos que tiene ese nodo dentro del árbol considerado. A la distancia, medida en aristas, que lo separa de la raíz del árbol. A la cantidad de hojas que existen en el subárbol que tiene a ese nodo como raíz. A la cantidad de aristas que forman el camino más largo que pasa por ese nodo. A la cantidad de nodos que se encuentran en el mismo subárbol que ese nodo.

¿Qué es una hoja en un grafo tipo árbol?. Un vértice del nivel i que es adyacente a algún vértice del nivel i + 1. Un vértice que pertenece a la raíz y además tiene al menos un nodo hijo. Un vértice que tiene exactamente un solo camino hacia la raíz del árbol. Un vértice que pertenece a todos los caminos entre las hojas del árbol. Un vértice del nivel i que no es adyacente a ningún vértice del nivel i + 1.

¿Qué es un vértice interno en un árbol con raíz?. Un vértice del nivel i que no es adyacente a ningún vértice del nivel i + 1. Un vértice que no pertenece a la raíz y que tampoco tiene ningún nodo hijo. Un vértice que se encuentra en el último nivel del árbol y no tiene hijos. Un vértice que pertenece únicamente a la raíz del árbol y tiene dos hijos. Un vértice del nivel i que es adyacente a algún vértice del nivel i + 1.

En un árbol binario, ¿cuál es la cantidad máxima de vértices que puede haber en el nivel k?. k^2. 2k. k + 1. 2^k - 1. 2^k.

Un árbol tiene: una raíz (nivel 0); en el nivel 1 hay tres vértices; uno de ellos tiene 3 hijos; uno de esos hijos tiene a su vez 2 hijos. ¿Cuántas hojas tiene el árbol?. 4. 6. 5. 7. 8.

¿Qué condiciones debe cumplir T, subconjunto de aristas de un grafo conexo G, para ser un árbol expandido?. Cada arista de G pertenece a T y las aristas de T forman un árbol con raíz. Cada vértice de G pertenece a una arista de T y T contiene todos los ciclos de G. Todos los vértices de G son hojas de T y las aristas de T forman un bosque. Cada vértice de G pertenece a una arista de T y las aristas de T forman un árbol. Cada vértice de G tiene valencia par en T y T tiene |V| aristas en total.

¿Cuáles son pasos del algoritmo de construcción de un árbol expandido? Seleccione las 4 (cuatro) respuestas correctas. Inicio: se selecciona cualquier vértice del grafo G. Paso i: se elige una arista con un extremo en S y el otro en el complemento de S. Se repite el paso i n veces, agregando cada vez un vértice nuevo al conjunto S. Si no existe arista entre S y su complemento, entonces G es disconexo y contradice la hipótesis. Se repite el paso i n + 1 veces, hasta que el conjunto S quede vacío por completo.

¿Cómo se puede encontrar un árbol expandido dentro de un grafo? Seleccione las 4 (cuatro) respuestas correctas. Hay que agregar aristas que formen ciclos para asegurar que el árbol sea conexo. Se elige un vértice cualquiera del grafo G como punto de partida del árbol. A partir de ese vértice v se le agrega una arista incidente en v que no esté en el árbol. Cada arista que se añade no debe tener sus dos vértices ya utilizados en el árbol. Hay que seguir agregando aristas incidentes en vértices del árbol parcial ya construido.

El algoritmo de Kruskal permite encontrar un árbol expandido en un grafo. Esta afirmación es: VERDADERO. FALSO.

¿Para qué se utiliza el algoritmo greedy (voraz) en teoría de grafos?. Para obtener el número cromático exacto de cualquier grafo sin importar su tamaño. Para decidir si un grafo cualquiera tiene o no un ciclo hamiltoniano conocido. Para calcular la lista de valencias de todos los vértices de un grafo dirigido. Para encontrar todos los ciclos eulerianos posibles en un grafo ponderado dado. Para obtener árboles expandidos de menor peso en grafos con aristas ponderadas.

Todos los vértices de un árbol expandido T de un grafo G son vértices del grafo G. Esta afirmación es: VERDADERO. FALSO.

Si un árbol expandido de un grafo G tiene n vértices, ¿cuántas aristas tiene?. n. n - 1. n + 1. 2n. n - 2.

¿Cuándo dos números a y b son congruentes en módulo m?. Cuando a divide a la diferencia m - b, es decir, cuando a | (m - b). Cuando m divide a la diferencia a - b, es decir, cuando m | (a - b). Cuando m es múltiplo de la diferencia a - b, es decir, cuando (a - b) | m. Cuando b divide a la suma m + a, es decir, cuando b | (m + a). Cuando m divide a la suma a + b, es decir, cuando m | (a + b).

Si a ≡ b (mod m), entonces necesariamente: La suma a + b es un múltiplo del módulo m considerado. El producto a·b es un múltiplo del módulo m considerado. El cociente a/b es un múltiplo del módulo m considerado. El módulo m es un múltiplo de la diferencia a - b considerada. La diferencia a - b es un múltiplo del módulo m considerado.

¿Cuál de los siguientes enteros es congruente con el número 11 módulo 5?. 25. 27. 33. 32. 26.

El resto de dividir 2^112 entre 7 es: 1. 2. 4. 0. 6.

36^5 es congruente a ______ módulo 37. 1. 36. 0. 6. 35.

6^5 + 8 es congruente a ______ módulo 5. 4. 1. 2. 3. 0.

Solo uno de los siguientes pares de enteros es congruente módulo 5. ¿Cuál?. 23 y 97. 24 y 98. 22 y 97. 21 y 98. 23 y 98.

¿Cuál de los siguientes pares de números enteros son congruentes entre sí módulo 3?. 18 y 52. 19 y 51. 18 y 51. 17 y 52. 16 y 50.

¿Qué propiedades cumple la congruencia módulo m? Seleccione las 4 (cuatro) respuestas correctas. Es reflexiva: todo número es congruente consigo mismo módulo m. Es simétrica: si x ≡ y (mod m), entonces y ≡ x (mod m). Es transitiva: si x ≡ y e y ≡ z (mod m), entonces x ≡ z (mod m). Es antisimétrica: si x ≡ y (mod m), entonces x y y son el mismo número entero. Es compatible con la suma: si x ≡ y y c ≡ d (mod m), entonces x + c ≡ y + d (mod m).

Si a ≡ b (mod 3), entonces 3a ≡ 3b (mod 3). Esta afirmación es: VERDADERO. FALSO.

Si se sabe que x ≡ y (mod 5), entonces se puede afirmar que: El número 5 es un múltiplo de la diferencia x - y entre ambos números. El resto de dividir x por 5 es el mismo que el de dividir y por 5. El número x es un múltiplo de 5 y el número y también es múltiplo de 5. La suma x + y es un múltiplo de 5 y el producto x·y también lo es. El cociente x/y es un número entero y además es múltiplo de 5 positivo.

Si a ≡ b (mod 4) y a = 7, ¿cuál de los siguientes enteros b hace cierta esa congruencia?. 8. 11. 15. 19. 23.

Si x = 14, y = 32, z = 6, w = 5, ¿qué par de ellos verifica la congruencia a ≡ b (mod 4) con a ≠ b?. x e y. y y w. z y w. x y w. x y z.

Dado t entero, se dice que t es inversible módulo m si existe un entero h tal que t·h ≡ 1 (mod m). Esta afirmación es: VERDADERO. FALSO.

Si se tiene la ecuación de congruencia 2x ≡ -12 (mod 7), entonces x es congruente módulo 7 con: 0. 1. 2. 3. 5.

La ecuación 3x ≡ 4 (mod 9) no tiene solución porque: El MCD(3, 9) no divide al término independiente 4 de la ecuación. El MCD(3, 9) sí divide al término independiente 4 de la ecuación. El MCD(3, 4) no divide al módulo 9 que aparece en la ecuación. El MCD(4, 9) no divide al coeficiente 3 que acompaña a la incógnita. El MCD(3, 9) es igual a 1 y por eso la ecuación no admite solución entera.

Elija 4 soluciones para la ecuación 6x ≡ 10 (mod 8). Seleccione las 4 (cuatro) respuestas correctas. x = 1. x = 3. x = 7. x = -1. x = -9.

Elija 3 soluciones para la ecuación -654x ≡ 30 (mod 2406). Seleccione las 3 (tres) respuestas correctas. -688. -100. -287. 500. 114.

Se considera el sistema x ≡ 1 (mod 3) y x ≡ 1 (mod 5). Una solución de ese sistema es: 1. 6. 16. 11. 21.

¿Qué condición es necesaria y suficiente para que la ecuación ax ≡ b (mod m) tenga solución?. Que MCD(a, b) divida a m. Que MCM(a, m) divida a b. Que MCD(a, m) divida a b. Que MCM(a, b) divida a m. Que MCD(b, m) divida a a.

¿Para qué se utiliza la ecuación lineal de congruencia?. Para calcular el número cromático de un grafo de gran cantidad de vértices. Para cifrar datos dentro de un sistema criptográfico de clave pública. Para hallar el árbol expandido de menor peso en un grafo con aristas ponderadas. Para decidir si un grafo cualquiera admite un ciclo hamiltoniano conocido. Para obtener la lista de valencias de un grafo dirigido sin ciclos internos.

Dada la ecuación de congruencia 2x ≡ 3 (mod 2), ¿cuál afirmación es correcta?. La única solución de la ecuación es x = 0 dentro del conjunto Z2. Todas las soluciones de la ecuación son números pares consecutivos. Todas las soluciones de la ecuación son números impares consecutivos. La ecuación tiene exactamente dos soluciones distintas módulo dos. El conjunto solución es vacío, porque ningún entero la satisface.

Si 7^3 ≡ 1 (mod 19), entonces aplicando propiedades de congruencia se puede afirmar que: 7^5 ≡ 1 (mod 19). 7^7 ≡ 1 (mod 19). 7^12 ≡ 1 (mod 19). 7^10 ≡ 1 (mod 19). 7^15 ≡ 1 (mod 19).

Sea a^p ≡ a (mod p). ¿Qué requisito debe cumplir p para que esto se verifique siempre?. Que p sea un número compuesto positivo. Que p sea un número par mayor que dos. Que p sea un número impar no primo. Que p sea un número negativo distinto de cero. Que p sea un número primo positivo.

¿Cuál de las siguientes congruencias es un ejemplo del teorema de Fermat?. 3^7 ≡ 3 (mod 5). 3^7 ≡ 7 (mod 3). 3^5 ≡ 5 (mod 3). 3^7 ≡ 3 (mod 7). 3^7 ≡ 1 (mod 4).

Si se sabe que 2^340 ≡ 1 (mod 341), entonces se puede afirmar que: El número 2^340 es un múltiplo exacto de 341. El número 341 es un divisor exacto de 2^340 - 2. El número 341 es un número primo según el teorema de Fermat. El resto de dividir 2^340 por 341 es igual a 1. El resto de dividir 2^340 por 341 es igual a 340.

¿Qué utilidad tiene el pequeño teorema de Fermat?. Se usa como test de primalidad para decidir si un número es primo. Se usa para encontrar ternas pitagóricas con números enteros positivos. Se usa para calcular el número cromático de un grafo no dirigido dado. Se usa para encontrar árboles expandidos de menor peso en un grafo. Se usa para hallar el inverso multiplicativo de cualquier número entero.

Otra forma de expresar el teorema de Fermat es: a^p - a es divisible por p, siempre que p sea un número primo. a^p + a es divisible por p, siempre que p sea un número primo. a^p - a es divisible por a, siempre que p sea un número compuesto. a^p + p es divisible por a, siempre que a sea un número primo. p^a - p es divisible por a, siempre que a sea un número primo.

φ(n), para n ≥ 1, se define como el cardinal del conjunto de los x entre 1 y n que son coprimos con n. ¿Cuál es el valor de φ(5)?. 5. 3. 4. 2. 1.

¿Qué propiedad cumple la función de Euler φ?. φ(m + n) = φ(m) + φ(n) cuando m y n son coprimos entre sí. φ(m·n) = φ(m) + φ(n) cuando m y n son coprimos entre sí. φ(m - n) = φ(m) - φ(n) cuando m y n son coprimos entre sí. φ(m·n) = φ(m)·φ(n) para cualquier par de enteros m y n. φ(m·n) = φ(m)·φ(n) cuando m y n son coprimos entre sí.

El teorema de Euler es un caso más general que: El último teorema de Fermat. El teorema de Pitágoras. El teorema fundamental del álgebra. El pequeño teorema de Fermat. El teorema de los cuatro colores.

Si a y n son enteros coprimos (primos relativos), entonces a^φ(n) ≡ 1 (mod n). Esta afirmación es: VERDADERO. FALSO.

¿Qué dice el último teorema de Fermat?. Que x^n + y^n = z^n no tiene soluciones enteras no nulas para n = 2. Que x^n + y^n = z^n tiene infinitas soluciones enteras para n > 2. Que a^p - a es divisible por p siempre que p sea un número primo. Que x^n + y^n = z^n no tiene soluciones enteras no nulas para n > 2. Que a^φ(n) ≡ 1 (mod n) siempre que a y n sean números coprimos.

¿Para qué se utiliza RSA y en qué año se sugirió emplear números primos para la clave pública?. Para ordenar grafos; se sugirió en 1736 usando los puentes de Königsberg. Para calcular valencias; se sugirió en 1977 usando grafos completos. Para cifrar datos; se sugirió en 1736 usando los puentes de Königsberg. Para cifrar datos; se sugirió en 1977 usando números primos grandes. Para ordenar grafos; se sugirió en 1977 usando árboles expandidos.

¿Qué son números coprimos?. Dos números que tienen al menos un divisor primo en común entre ellos. Dos números que son ambos primos y por eso no tienen divisores propios. Dos números consecutivos que siempre resultan ser múltiplos entre sí. Dos números que tienen la misma cantidad de divisores positivos propios. Dos números que no tienen divisores en común salvo el número uno.

¿Qué es una operación binaria en un conjunto A?. Una función que asigna a un elemento de A otro elemento del conjunto A. Una función que asigna a tres elementos de A un elemento del conjunto A. Una función que asigna a dos elementos de A un elemento fuera de A. Una función que asigna a dos elementos de A un elemento del conjunto A. Una función que asigna a cada elemento de A su elemento inverso en A.

¿Qué axiomas debe cumplir (G, *) para tener estructura de grupo? Seleccione las 4 (cuatro) respuestas correctas. La operación es cerrada: x * y pertenece a G para todo x, y de G. La operación es asociativa: (x * y) * z = x * (y * z). Existe un neutro e en G tal que x * e = e * x = x. La operación es conmutativa: x * y = y * x para todo x, y de G. Cada x de G tiene inverso y en G tal que x * y = y * x = e.

¿Cuál de los siguientes conjuntos con su operación es un grupo?. (Z, ·). (N, +). (N, ·). (Z, -). (Z, +).

¿Cuál de los siguientes conjuntos con sus dos operaciones es un anillo?. (N, +, ·). (Z, +, -). (N, +, -). (Z, +, ·). (Z, ·, +).

En un conjunto A con dos operaciones + y *, se dice que (A, +, *) es un anillo unitario si cumple ciertos axiomas. Seleccione las 3 (tres) respuestas correctas. (A, *) es un grupo abeliano respecto de la operación de producto. (A, +) es un grupo abeliano respecto de la operación de suma. (A, +) es solamente un semigrupo y no tiene elemento neutro para la suma. (A, *) es cerrado, asociativo y tiene elemento neutro respecto del producto. Se cumple la distributividad de * respecto de + para todos los elementos.

De los siguientes anillos, 3 son cuerpos. Seleccione las 3 (tres) opciones correctas. (Q, +, ·), el conjunto de los números racionales. (Z, +, ·), el conjunto de los números enteros. (R, +, ·), el conjunto de los números reales. (Zp, +, ·) con p un número primo. (Zn, +, ·) con n un número compuesto.

¿Qué propiedades debe satisfacer un grupo para llamarse campo (cuerpo)? Seleccione las 2 (dos) respuestas correctas. Todo elemento del conjunto debe tener inverso respecto de la suma. Todo elemento distinto del neutro del producto tiene inverso respecto del producto. Debe cumplir únicamente los axiomas de grupo abeliano para el producto. Debe tener una cantidad finita y par de elementos en el conjunto. Debe cumplir todas las propiedades de anillo conmutativo unitario.

Un conjunto A tiene solo dos elementos y en él está definida una operación *. Para que (A, *) tenga estructura de grupo se debe verificar que: Los dos elementos del conjunto sean inversos entre sí respecto de la operación. La operación sea conmutativa, aunque no tenga elemento neutro ni inversos. Uno de esos dos elementos sea el elemento neutro de la operación definida. Ninguno de los dos elementos sea neutro y la operación sea asociativa. La operación sea cerrada y asociativa, pero sin elemento neutro ni inversos.

El conjunto de los números naturales con las operaciones suma y producto usual es un anillo conmutativo. Esta afirmación es: VERDADERO. FALSO.

Sean A = {0, 1} y una operación * definida en A. Si (A, *) tiene estructura de grupo, entonces se puede afirmar que: 0 * 1 = 0 necesariamente, porque el cero siempre actúa como neutro. 0 * 1 = 1 necesariamente, porque el uno siempre actúa como neutro. 0 * 1 = 0 ó 0 * 1 = 1, según cuál sea el elemento neutro del grupo. 0 * 1 no está definido, porque el cero no puede operarse en un grupo. 0 * 1 = 2, porque el resultado debe quedar fuera del conjunto A dado.

Si a - b es divisible por 2, entonces se puede afirmar que: a y b tienen distinta paridad: uno par y el otro impar. a y b son ambos números primos entre sí y distintos de cero. a y b tienen la misma paridad: ambos pares o ambos impares. a y b son ambos múltiplos de 4 dentro del conjunto de los enteros. a y b son ambos números negativos dentro del conjunto de los enteros.

Si (G, +) tiene estructura de grupo y a, b son elementos de G, ¿cuál afirmación es correcta?. a + b es un elemento que no pertenece a G, salvo que a = b. a + b es un elemento del conjunto G, por la propiedad de clausura. a + b pertenece a G solamente si a y b son el elemento neutro del grupo. a + b pertenece a G únicamente si a y b tienen inversos distintos entre sí. a + b no está definido porque faltan las operaciones del conjunto dado.

Sea G = {a, b, c} con una operación binaria *. Para que (G, *) tenga estructura de grupo, la operación debe ser, entre otras cosas: Abierta en G, es decir, el resultado de operar puede quedar fuera de G. Conmutativa y sin elemento neutro, pero con inversos para cada elemento. Cerrada en G, es decir, el resultado de operar dos elementos pertenece a G. Asociativa y sin elemento neutro, pero con inversos para cada elemento. Cerrada y sin elemento neutro, pero con inversos para cada elemento.

Sea A un conjunto de enteros que contiene al 0, con dos operaciones * y +. Si (A, *, +) tiene estructura de anillo, se debe verificar que: 0 * a no pertenece a A porque el cero no puede operarse en un anillo. 0 * a pertenece a A solamente cuando a es también igual a cero. 0 + a no pertenece a A porque el cero es el neutro de la suma. 0 * a es un elemento de A para cualquier elemento a que pertenezca a A. 0 * a pertenece a A únicamente cuando a tiene inverso multiplicativo.

¿Cuál fue el primer artículo científico publicado sobre grafos y por qué motivo?. Lo escribió Euler en 1736 a partir del problema de los puentes de Königsberg. Lo escribió Euler en 1836 a partir del problema de los puentes de Königsberg. Lo escribió Euler en 1735 a partir del problema de los puentes de Königsberg. Lo escribió Galois en 1736 a partir del problema de los puentes de Königsberg. Lo escribió Fermat en 1736 a partir del problema de los puentes de Königsberg.

El grafo complementario de un grafo G con vértices a, b y c y aristas {a,b}, {b,c} y {a,c} es: Un grafo con los mismos vértices y ninguna arista entre ellos. Un grafo con los mismos vértices y las mismas tres aristas del original. Un grafo con los mismos vértices y una sola arista entre a y b. Un grafo con dos vértices y las tres aristas del grafo original dado. Un grafo con los mismos vértices y dos aristas entre los tres nodos.

¿Cuál es una representación correcta de un grafo?. G = {a, b, c, d, e} con V = { {a,b}, {a,c}, {a,e}, {b,c}, {c,d}, {a,b} }. G = {a, b, c, d, e} con V = { {a,b}, {a,c}, {a,e}, {b,c}, {c,d} }. G = {a, b, c, d, e} con V = { {a,a}, {a,c}, {a,e}, {b,c}, {c,d} }. G = {a, b, c, d, e} con V = { {a,b,c}, {a,c,e}, {b,c}, {c,d} }. G = {a, b, c, d, e} con V = { {a,b}, {a,c}, {a,e}, {b,c} }.

Una telenovela tiene 7 personajes centrales y cada uno se enamora de al menos otras dos personas distintas. Si se modela como grafo (vértices = personajes, aristas = relación amorosa), la situación se describe como un grafo: Con 7 vértices donde cada uno tiene valencia mayor o igual que 2. Con 7 vértices donde cada uno tiene valencia exactamente igual a 7. Con 2 vértices donde cada uno tiene valencia mayor o igual que 7. Con 7 vértices donde la suma de valencias es un número impar. Con 7 vértices aislados y sin ninguna arista entre los personajes.

Para probar que dos grafos G1 y G2 son isomorfos se debe definir una función f entre sus vértices que cumpla que: {f(x), f(y)} es arista de G2 si y solo si {x, y} no es arista de G1. {f(x), f(y)} es vértice de G2 si y solo si {x, y} es vértice de G1. {f(x), f(y)} es arista de G1 si y solo si {x, y} es arista de G2. {f(x), f(y)} es arista de G2 solamente cuando f(x) y f(y) son iguales. {f(x), f(y)} es arista de G2 si y solo si {x, y} es arista de G1.

¿Qué es un árbol binario?. Un grafo tipo árbol en el que cada vértice tiene como máximo dos hijos. Un grafo tipo árbol en el que cada vértice tiene exactamente dos hijos. Un grafo tipo árbol en el que cada vértice tiene como máximo dos raíces. Un grafo tipo árbol en el que cada vértice tiene como máximo dos hojas. Un grafo tipo árbol en el que cada vértice tiene como mínimo dos hijos.

Dado un árbol con raíz, se pide contar los vértices que son padres sin contar la raíz. ¿A qué vértices se cuentan?. A los vértices que no tienen ningún hijo y no son la raíz del árbol. A los vértices que tienen al menos un hijo incluyendo a la raíz del árbol. A los vértices que tienen al menos un hijo y no son la raíz del árbol. A los vértices que pertenecen al último nivel del árbol con raíz. A los vértices que tienen exactamente un solo hijo en todo el árbol.

El conjunto de los enteros Zn con la suma y el producto módulo n, cuando n es primo: Forma un anillo, pero no un cuerpo, porque n es un número primo positivo. Forma un grupo, pero no un anillo, porque la suma módulo n es cerrada. Forma un semigrupo sin elemento neutro para el producto definido. Forma un cuerpo, porque todo elemento no nulo tiene inverso multiplicativo. Forma un cuerpo solamente cuando n es un número compuesto positivo.

El conjunto de los enteros Zn con la suma módulo n: Forma un cuerpo conmutativo con unidad respecto de suma y producto. Forma un grupo abeliano respecto del producto módulo n definido. Forma un anillo conmutativo con unidad respecto de suma y producto. Forma un semigrupo sin neutro respecto de la suma módulo n definida. Forma un anillo sin unidad respecto de la suma y el producto módulo n.

Consideremos los enteros módulo n, donde se suma y se multiplica y luego se calcula el resto módulo n. ¿Qué operación NO se puede realizar siempre?. Simplificar un factor común sin verificar que sea coprimo con n. Sumar dos enteros módulo n y calcular luego el resto módulo n. Multiplicar dos enteros módulo n y calcular luego el resto módulo n. Asociar tres enteros módulo n al sumarlos o al multiplicarlos. Conmutar dos enteros módulo n al sumarlos o al multiplicarlos.

¿Cuántos elementos tiene el conjunto de los enteros módulo n, es decir, Zn?. n + 1 elementos, que van desde el 0 hasta el n inclusive. n - 1 elementos, que van desde el 1 hasta el n - 1 inclusive. n elementos, que van desde el 0 hasta el n - 1 inclusive. 2n elementos, que van desde el 0 hasta el 2n - 1 inclusive. Infinitos elementos, porque los enteros no tienen cota superior.

El conjunto Z7 de los enteros módulo 7 tiene cardinal igual a: 6. 8. 14. 7. 49.

El conjunto Z2 de los enteros módulo 2 verifica que: Tiene solamente 1 elemento y es un cuerpo conmutativo con unidad. Tiene 2 elementos y no es un anillo porque falta el elemento neutro. Tiene solamente 2 elementos y es un anillo conmutativo con unidad. Tiene infinitos elementos porque los enteros no tienen cota superior. Tiene 3 elementos y forma un grupo abeliano respecto del producto.

Si 312 ≡ 124 (mod m), ¿cuál de los siguientes valores de m hace cierta esa congruencia?. 45. 13. 47. 7. 23.

¿Qué valor de x satisface la congruencia 3x ≡ 7 (mod 11)?. 6. 2. 4. 7. 9.

Para calcular el resto de dividir 7^44 por 13 se empieza por plantear que: 7^13 ≡ 1 (mod 13), y luego se usan propiedades hasta obtener 7^44. 7^44 ≡ 1 (mod 13), y luego se usan propiedades hasta obtener el resto. 7^6 ≡ 1 (mod 13), y luego se usan propiedades hasta obtener 7^44. 7^11 ≡ 1 (mod 13), y luego se usan propiedades hasta obtener 7^44. 7^12 ≡ 1 (mod 13), y luego se usan propiedades hasta obtener 7^44.

Si a ≡ b (mod m), entonces se puede afirmar que: a + b ≡ 0 (mod m), porque m divide a la suma entre ambos números. a·b ≡ 0 (mod m), porque m divide al producto entre ambos números. a/b ≡ 0 (mod m), porque m divide al cociente entre ambos números. b - a ≡ 1 (mod m), porque m divide a la diferencia entre ambos números. a - b ≡ 0 (mod m), porque m divide a la diferencia entre ambos números.

¿Qué números son congruentes entre sí? Seleccione las 4 (cuatro) respuestas correctas. 15 y 3 (mod 12). 3.231.567 y 19.123 (mod 10). 15 y 4 (mod 12). 35 y 11 (mod 12). 24 y 12 (mod 6).

Sea m un entero positivo y x1, x2, y1, y2 enteros tales que x1 ≡ x2 (mod m) e y1 ≡ y2 (mod m). ¿Qué propiedades se cumplen? Seleccione las 4 (cuatro) respuestas correctas. x1 + y1 ≡ x2 + y2 (mod m). x1 - y1 ≡ x2 + y2 (mod m). x2 + y2 ≡ x1 + y1 (mod m). x1·y1 ≡ x2·y2 (mod m). x2·y2 ≡ x1·y1 (mod m).

Si se afirma que a ≡ b (mod 7), ¿qué otras afirmaciones se pueden hacer? Seleccione las 4 (cuatro) respuestas correctas. 7a ≡ b (mod 7). a + 2 ≡ b + 2 (mod 7). 2a ≡ 2b (mod 7). 7a ≡ 7b (mod 7). a^2 ≡ b^2 (mod 7).

Lo primero que hay que hacer para resolver una ecuación del tipo a ≡ b (mod m) es: Verificar que el MCM(a, m) divida al número b de la ecuación. Verificar que el MCD(a, m) divida al número b de la ecuación. Verificar que el MCD(a, b) divida al módulo m de la ecuación. Verificar que el MCM(a, b) divida al módulo m de la ecuación. Verificar que el MCD(b, m) divida al número a de la ecuación.

Si se enuncia el teorema de Fermat de la forma x^y ≡ x (mod ...), ¿qué completa mejor los puntos suspensivos?. x, siendo x un número primo positivo, para todo entero y. y, siendo y un número primo positivo, para todo entero x. y, siendo y un número compuesto positivo, para todo entero x. x, siendo x un número compuesto positivo, para todo entero y. y, siendo y un número impar positivo, para todo entero x.

En el teorema de Fermat se enuncia que a^p ≡ a (mod p). Si a = 2, ¿cuál de los siguientes valores podría tomar p?. 43. 44. 45. 46. 48.

¿Para qué sirven las reglas de divisibilidad?. Para verificar si un número grande es primo sin aplicar ningún teorema. Para calcular el inverso multiplicativo de un número dentro de un anillo. Para verificar si un número grande es divisible por otro sin hacer la división. Para calcular el número cromático de un grafo de muchos vértices. Para calcular el árbol expandido de menor peso de un grafo ponderado.

Los temas de álgebra moderna, como grupos, anillos y cuerpos, tienen aplicación principal en: La teoría de grafos, con el cálculo de caminos y ciclos eulerianos. La geometría euclidiana, con la construcción de figuras con regla y compás. El análisis matemático, con el cálculo de límites y derivadas sucesivas. La teoría de la información, con códigos y sistemas de cifrado de datos. La estadística inferencial, con la estimación de parámetros poblacionales.

¿Cuál fue la aportación del matemático francés Evariste Galois?. Encontró un método para calcular el número cromático de cualquier grafo plano. Encontró un método para hallar el árbol expandido de menor peso de un grafo. Encontró un método para determinar si una ecuación general se resuelve por radicales. Encontró un método para calcular el resto de una potencia con exponente grande. Encontró un método para decidir si un número natural grande es un número primo.

Sean p un número primo y a un número entero. ¿Qué sugiere el teorema de Fermat?. Que a elevado a la p es congruente con a módulo p, para todo entero a. Que a elevado a la p es congruente con 1 módulo p, para todo entero a. Que a elevado a la p es congruente con 0 módulo p, para todo entero a. Que p elevado a la a es congruente con a módulo p, para todo entero a. Que a elevado a la p es congruente con p módulo a, para todo entero a.

Si se considera la suma y el producto usuales de números, ¿cuál de los siguientes conjuntos podría ser A para que (A, +, ·) tenga estructura de anillo?. Los números enteros Z, con la suma y el producto usuales definidos. Los números naturales N, con la suma y el producto usuales definidos. Los números irracionales, con la suma y el producto usuales definidos. Los números primos, con la suma y el producto usuales definidos. Los números impares, con la suma y el producto usuales definidos.

Kn es un grafo completo de n vértices. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas? Seleccione las 4 (cuatro) respuestas correctas. Si n = 10, la cantidad de aristas del grafo es 45. La valencia de cada uno de los vértices es n - 1. Si n = 10, la cantidad de aristas del grafo es 90. K100 tiene 4950 aristas en total. Si n = 3, su representación gráfica es un simple triángulo.

¿Qué tupla de números verifica una congruencia verdadera?. 225 ≡ 10 (mod 4). 225 ≡ 15 (mod 2). 226 ≡ 15 (mod 2). 225 ≡ 20 (mod 6). 224 ≡ 15 (mod 2).

¿Cuál es la cantidad máxima de columnas que puede tener la lista de adyacencia de un grafo simple con 5 vértices?. 5. 3. 10. 4. 25.

Para ir de un punto A a un punto B en una cuadrícula moviéndose sólo a la derecha y hacia arriba, la cantidad de caminos distintos se calcula con: Una potencia de base 2 elevada a la cantidad total de pasos dados. El producto entre la cantidad de pasos horizontales y verticales. Un número combinatorio C(n + k, k) sobre los pasos totales dados. La suma entre la cantidad de pasos horizontales y verticales dados. El factorial de la cantidad total de pasos que se deben recorrer.

¿Cuál es la diferencia entre una caminata y un camino en un grafo?. La caminata no puede repetir vértices y aristas, mientras que el camino sí las repite. La caminata puede repetir vértices y aristas, mientras que el camino no las repite. La caminata recorre todos los vértices y el camino recorre todas las aristas del grafo. La caminata recorre todas las aristas y el camino recorre todos los vértices del grafo. La caminata es siempre cerrada y el camino es siempre abierto dentro del grafo.

En un árbol ternario, ¿cuál es la cantidad máxima de hijos que puede tener cada vértice?. 2. 4. 1. 3. 6.

¿Cómo se define la valencia (o grado) de un vértice en un grafo?. La cantidad de vértices que son adyacentes a ese vértice en el grafo. La cantidad de caminos distintos que pasan por ese vértice en el grafo. La cantidad de aristas del grafo que inciden sobre ese vértice. La cantidad de ciclos diferentes que contienen a ese vértice en el grafo. La cantidad total de aristas que tiene el grafo en el que está el vértice.

La valencia de un vértice v en un grafo G = (V, E) es: El número de vértices de G que tienen valencia mayor que la de v. El número de ciclos de G que contienen a v entre sus vértices. El número de caminos de G que empiezan y terminan en el vértice v. El número total de vértices de G que resultan adyacentes a v. El número de aristas de G que contienen a v como uno de sus extremos.

En un grafo no dirigido, a está unido a b y c; b está unido sólo a a; c está unido a a y d; d está unido sólo a c. ¿Cuál es la lista de valencias?. 1, 2, 1, 2. 2, 1, 2, 1. 2, 2, 1, 1. 1, 1, 2, 2. 3, 1, 2, 1.

Un grafo tiene vértices a, b, c y d, y sus aristas son a-b, a-d, b-d y b-c. ¿Cuál es su conjunto de aristas?. { {a,b}, {a,d}, {b,c}, {a,b} }. { {a,b}, {a,d}, {b,c}, {c,d} }. { {a,b}, {a,d}, {b,d}, {b,c} }. { {a,b}, {a,d}, {b,d}, {a,c} }. { {a,b}, {a,c}, {b,c}, {b,d} }.

¿Cuál es la característica principal de un ciclo hamiltoniano?. Pasa por todas las aristas del grafo exactamente una sola vez. Pasa por todos los vértices del grafo exactamente una sola vez. Pasa por el mayor número de aristas posible sin repetir ninguna. Empieza y termina en el mismo vértice sin recorrer todos los demás. Recorre todas las aristas del grafo al menos una vez en su recorrido.

Si se sabe que T es un árbol y que a y b son dos vértices de él, ¿qué se puede afirmar?. Existen exactamente dos caminos en T que unen a con b en el árbol. No existe ningún camino en T que una a con b dentro del árbol. Existen tantos caminos entre a y b como aristas tiene el árbol T. Existe un único camino en T que une el vértice a con el vértice b. Existe un único ciclo en T que contiene a los vértices a y b.

En un grafo cualquiera, la cantidad de vértices que tienen valencia impar: Es siempre un número impar, sin importar cuántas aristas tenga el grafo. Es siempre igual a la cantidad de aristas que tiene el grafo dado. Es siempre igual a la cantidad de vértices que tiene el grafo dado. Es siempre igual a cero en cualquier grafo conexo o disconexo. Es siempre un número par, sin importar cuántas aristas tenga el grafo.

La suma de las valencias de todos los vértices de un grafo debe dar por resultado: VERDADERO. FALSO.

En un grafo no dirigido las valencias de sus cinco vértices son 2, 2, 3, 3 y 2. ¿Cuántas aristas tiene el grafo?. 5. 12. 10. 6. 3.

En un grafo, un camino de longitud 6 es un camino que: Recorre exactamente 6 vértices sin repetir ninguna arista del grafo. Recorre exactamente 6 vértices y además 6 aristas del grafo dado. Recorre exactamente 6 aristas sin repetir ningún vértice del grafo. Contiene exactamente 6 ciclos diferentes dentro del grafo dado. Recorre todas las aristas del grafo en exactamente 6 pasos dados.

¿Cuál es la condición necesaria y suficiente para que un grafo posea una caminata euleriana?. Que todos sus vértices tengan valencia impar y ninguna valencia par. Que tenga a lo sumo dos vértices de valencia impar, contando el cero. Que tenga exactamente un vértice de valencia impar y el resto pares. Que no contenga ningún ciclo y que además sea un grafo conexo. Que sea un grafo completo y que tenga una cantidad par de vértices.

Un grafo no dirigido tiene vértices a, b, c y d y aristas a-b, b-c, c-d, d-a y a-c. ¿Qué sentencias son correctas? Seleccione las 4 (cuatro) respuestas correctas. El grafo posee un camino euleriano entre dos de sus vértices. El grafo posee un ciclo euleriano que recorre todas sus aristas. El grafo posee un ciclo hamiltoniano que recorre sus cuatro vértices. La lista de valencias del grafo es 3, 2, 3, 2 en algún orden dado. El recorrido a, c, b, a, c es una caminata que no es un camino del grafo.