Matemáticas Tema 1 - UEMC

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¿Cuándo son iguales dos matrices?. Cuando tienen el mismo número de elementos. Cuando tienen el mismo número de filas. Cuando tienen el mismo tamaño y coinciden todos los elementos situados en las mismas posiciones. Cuando tienen el mismo determinante.

¿Qué condición debe cumplir una matriz para ser simétrica?. A^T = -A. A^T = A. Todos sus elementos deben ser positivos. Su determinante debe ser distinto de cero.

¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre el producto de matrices es correcta?. Siempre es conmutativo. Siempre es conmutativo si las matrices son cuadradas. Es asociativo, pero no es conmutativo en general. El producto de dos matrices no puede ser la matriz nula.

¿Cuál es la condición para que una matriz cuadrada sea invertible?. Que todos sus elementos sean distintos de cero. Que sea simétrica. Que su determinante sea distinto de cero. Que su traza sea distinta de cero.

¿Qué ocurre con el determinante de una matriz cuadrada si dos de sus columnas son iguales?. Es igual a 1. Es igual a 0. Cambia de signo. No se puede calcular.

Si se intercambian dos filas de una matriz cuadrada, ¿qué sucede con su determinante?. No cambia. Se multiplica por 2. Cambia de signo. Se convierte siempre en cero.

Si una fila de una matriz cuadrada se multiplica por un número real k, ¿qué sucede con el determinante?. El determinante se multiplica por k. El determinante no cambia nunca. El determinante se divide por k. El determinante siempre se anula.

¿Qué sucede si a una fila de una matriz se le suma una combinación lineal de otras filas?. El determinante cambia de signo. El determinante no se altera. El determinante se multiplica por el número de filas. El determinante se convierte en cero.

¿Qué representa el rango de una matriz?. El número total de elementos de la matriz. El número de filas de la matriz, necesariamente. El número máximo de filas o columnas linealmente independientes. El valor de su determinante.

¿Cuál es la relación entre el rango, el determinante y la invertibilidad de una matriz cuadrada n x n?. Es invertible si su rango es menor que n. Es invertible si y solo si su rango es n, equivalente a que su determinante sea distinto de cero. Es invertible únicamente si su determinante es 1. El rango no tiene relación con la invertibilidad.

¿Qué es un sistema de ecuaciones lineales compatible determinado?. Un sistema que no tiene solución. Un sistema que tiene infinitas soluciones. Un sistema que tiene una única solución. Un sistema que necesariamente tiene más ecuaciones que incógnitas.

¿Qué caracteriza a un sistema compatible indeterminado?. No tiene solución. Tiene exactamente una solución. Tiene infinitas soluciones. Todas sus incógnitas son cero.

¿Qué afirmación es correcta sobre los sistemas homogéneos?. Nunca tienen solución. Siempre tienen al menos la solución trivial, en la que todas las incógnitas son cero. Siempre tienen una única solución. Siempre tienen infinitas soluciones.

¿En qué consiste el método de Gauss?. En calcular exclusivamente el determinante de la matriz de coeficientes. En transformar el sistema mediante operaciones elementales hasta obtener un sistema escalonado equivalente. En sustituir todas las incógnitas por cero. En calcular los autovalores de la matriz.

¿Cuándo se puede aplicar la regla de Cramer para obtener una solución única?. Cuando el sistema tiene más incógnitas que ecuaciones. Cuando la matriz de coeficientes es cuadrada y su determinante es distinto de cero. Cuando el determinante de la matriz de coeficientes es cero. Cuando el sistema es homogéneo, exclusivamente.

Según el teorema de Rouché-Frobenius, ¿cuándo es compatible un sistema AX=B?. Cuando el rango de la matriz de coeficientes es siempre cero. Cuando el rango de la matriz de coeficientes coincide con el de la matriz ampliada. Cuando el determinante de la matriz ampliada es distinto de cero. Cuando tiene el mismo número de filas que de columnas, necesariamente.

¿Qué es un autovalor lambda de una matriz cuadrada A?. Un número que cumple Av = lambda v para algún vector no nulo v. Un vector que siempre tiene todas sus componentes iguales. Un número que debe ser necesariamente positivo. El determinante de la matriz identidad.

¿Cuándo es diagonalizable una matriz cuadrada de orden n?. Cuando todos sus elementos son distintos de cero. Cuando puede expresarse como A = PDP^{-1}, con D diagonal y P invertible. Cuando su determinante es necesariamente cero. Cuando todos sus autovalores son iguales.

¿Qué caracteriza a una forma cuadrática definida positiva?. Que toma valores negativos para todos los vectores no nulos. Que toma valores positivos para todos los vectores, incluido el vector nulo. Que toma valores estrictamente positivos para todo vector no nulo. Que toma necesariamente valores positivos y negativos.

Según el criterio de los autovalores, una forma cuadrática con matriz asociada simétrica es definida negativa cuando: Todos sus autovalores son positivos. Todos sus autovalores son negativos. Todos sus autovalores son cero. Tiene al menos un autovalor positivo y otro negativo.

¿Cuándo son iguales dos matrices?. Cuando tienen el mismo determinante. Cuando tienen el mismo número de filas. Cuando tienen el mismo tamaño y coinciden todos sus elementos correspondientes. Cuando tienen el mismo rango.

Una matriz cuadrada es simétrica cuando: A^T = -A. A^T = A. Su determinante es cero. Todos sus elementos son iguales.

¿Qué condición debe cumplirse para poder multiplicar una matriz A de tamaño m x n por una matriz B?. B debe tener m columnas. A y B deben ser cuadradas. A y B deben tener el mismo tamaño. El número de columnas de A debe coincidir con el número de filas de B.

En general, el producto de matrices cumple que: AB=BA siempre. AB=BA si ambas son cuadradas. Es asociativo, pero no necesariamente conmutativo. No es asociativo.

¿Cuál es la propiedad correcta de la traspuesta de un producto?. (AB)^T = A^T B^T. (AB)^T = B^T A^T. (AB)^T = AB. (AB)^T = A + B.

Si A es una matriz cuadrada, ¿qué ocurre con las potencias de A?. A^2 = A + A. A^2 = I siempre. A^m deja de ser cuadrada si m > 1. Las potencias A^m están definidas para exponentes enteros no negativos y siguen siendo cuadradas.

Si A es invertible, ¿cuál de las siguientes igualdades es correcta?. AA^{-1} = I. AA^{-1} = 0. A^{-1} = A^T siempre. A + A^{-1} = I siempre.

Si A y B son invertibles, la inversa del producto es: A^{-1}B^{-1}. AB. B^{-1}A^{-1}. A^{-1} + B^{-1}.

El determinante de una matriz cuadrada de orden 2 es: ad+bc. ab-cd. ac-bd. ad-bc.

Si una matriz cuadrada tiene dos filas iguales, su determinante es: Uno. Cero. Igual a su traza. Siempre negativo.

Si se intercambian dos filas de una matriz, el determinante: Cambia de signo. No cambia. Se eleva al cuadrado. Se convierte siempre en cero.

Si se multiplica una fila por un número real k, el determinante: Se divide entre k. No cambia. Queda multiplicado por k. Queda multiplicado por k^2, sea cual sea el orden.

¿Cuál es la propiedad del determinante de un producto de matrices cuadradas del mismo orden?. det(AB) = det(A) + det(B). det(AB) = det(A)det(B). det(AB) = det(A) - det(B). det(AB) = 0 siempre.

¿Qué relación existe entre el determinante de una matriz y el de su traspuesta?. det(A^T) = -det(A). det(A^T) = 0. det(A^T) = det(A)^2. det(A^T) = det(A).

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si: Su determinante es distinto de cero. Su determinante es igual a cero. Todos sus elementos son positivos. Su traza es distinta de cero.

El rango de una matriz es: La suma de los elementos de su diagonal. El número de filas que tiene. El máximo número de filas o columnas linealmente independientes. Su determinante.

Para que una matriz cuadrada de orden n tenga rango n, es necesario que: Todos sus elementos sean distintos de cero. Su determinante sea distinto de cero. Su traza sea igual a n. Sea necesariamente diagonal.

Si una matriz cuadrada tiene determinante cero, entonces: Siempre es la matriz nula. Su rango es necesariamente uno. Todos sus elementos son cero. No tiene inversa.

Para calcular la inversa mediante la matriz adjunta, se utiliza: A^{-1} = det(A) {Adj}(A). A^{-1} = A^T / det(A^T), siempre que A sea cuadrada. A^{-1} = {Adj}(A) / det(A), si det(A) es distinto de cero. A^{-1} = I - A.

Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes cuando: Tienen exactamente las mismas ecuaciones escritas. Tienen el mismo conjunto de soluciones. Tienen el mismo número de incógnitas, aunque sus soluciones sean diferentes. Sus matrices de coeficientes son idénticas.

¿Cuál es el objetivo del método de Gauss?. Transformar el sistema en otro equivalente más sencillo, mediante operaciones elementales. Calcular exclusivamente el determinante de la matriz. Obtener siempre una única solución. Convertir cualquier matriz en la matriz identidad.

La regla de Cramer se aplica directamente a un sistema cuadrado cuando: El determinante de la matriz de coeficientes es cero. El sistema tiene infinitas soluciones. Hay más incógnitas que ecuaciones. El determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero.

Según el teorema de Rouché-Frobenius, un sistema es compatible cuando: El rango de la matriz de coeficientes es cero. El determinante de la matriz ampliada es distinto de cero. El rango de la matriz de coeficientes coincide con el de la matriz ampliada. El número de ecuaciones coincide siempre con el de incógnitas.

Si un sistema tiene n incógnitas y los rangos de la matriz de coeficientes y la ampliada son iguales a r, con r=n, el sistema es: Incompatible. Compatible determinado. Compatible indeterminado. Homogéneo necesariamente.

Si los rangos de la matriz de coeficientes y de la ampliada coinciden, pero son menores que el número de incógnitas, el sistema es: Compatible indeterminado. Compatible determinado. Incompatible. Imposible de clasificar.

Un sistema homogéneo es aquel en el que: Todas las incógnitas son cero. Todas las ecuaciones tienen la misma solución. La matriz de coeficientes es necesariamente la identidad. Todos los términos independientes son cero.

¿Qué afirmación es siempre cierta para un sistema homogéneo?. Tiene una única solución no nula. Es incompatible si el determinante es cero. Tiene al menos la solución trivial, con todas las incógnitas iguales a cero. Tiene infinitas soluciones en todos los casos.

Un autovalor lambda de una matriz cuadrada A es un número que cumple: Av=0 para cualquier vector v. Existe un vector no nulo v tal que Av=lambda v. det(A)=lambda siempre. A=lambda I necesariamente.

Para calcular los autovalores de una matriz cuadrada A, se resuelve: det(A-lambda I)=0. det(A+lambda I)=1. Alambda=I. det(A)=lambda.

Un autovector asociado a un autovalor: Tiene que ser el vector nulo. Tiene que tener todos sus componentes iguales. Es siempre único. Es un vector no nulo que cumple Av=lambda v.

Una matriz cuadrada A es diagonalizable si: Todos sus elementos son distintos de cero. Su determinante es igual a uno. Existe una matriz invertible P tal que P^{-1}AP es diagonal. Es necesariamente una matriz diagonal desde el principio.

Para construir la matriz P de una diagonalización, sus columnas deben ser: Los autovalores de A. Autovectores linealmente independientes de A. Las filas de A ordenadas. Los elementos de la diagonal principal de A.

Si una matriz cuadrada de orden n tiene n autovalores distintos, entonces: Es diagonalizable. No puede ser invertible. Todos sus autovalores son cero. Es necesariamente simétrica.

Para un autovalor de multiplicidad algebraica m, ¿qué condición debe cumplir su multiplicidad geométrica para que la matriz sea diagonalizable?. Debe ser siempre uno. Debe ser mayor que m. Debe ser cero. Debe coincidir con m.

Si A es diagonalizable y A=PDP^{-1}, una ventaja importante es que: Todas las potencias de A son la matriz identidad. El determinante de A es siempre cero. Se pueden calcular sus potencias usando A^k=PD^kP^{-1}. La matriz P no necesita ser invertible.

Una forma cuadrática en variables reales puede expresarse como: Q(X)=AX. Q(X)=X^TAX. Q(X)=A+X. Q(X)=det(X).

Si la matriz B que representa una forma cuadrática no es simétrica, se puede obtener una matriz simétrica que represente la misma forma mediante: A=B-B^T. A=BB^T. A=B^{-1}, siempre. A=frac12(B+B^T).

Una forma cuadrática es definida positiva cuando: Todos los autovalores de su matriz simétrica asociada son positivos. Todos los autovalores son negativos. Tiene al menos un autovalor positivo y otro negativo. Todos sus autovalores son cero.

Una forma cuadrática es definida negativa cuando: Todos los autovalores son positivos. Tiene autovalores positivos y negativos. Todos los autovalores de su matriz simétrica asociada son negativos. Todos los autovalores son no negativos.

Si una forma cuadrática tiene autovalores positivos y negativos, se clasifica como: Definida positiva. Indefinida. Definida negativa. Nula.

Una forma cuadrática es semidefinida positiva cuando: Todos sus autovalores son estrictamente positivos. Todos sus autovalores son estrictamente negativos. Tiene necesariamente autovalores positivos y negativos. Todos sus autovalores son no negativos y al menos uno es cero.

Al estudiar una forma cuadrática restringida mediante una restricción lineal, una estrategia del tema es: Despejar una variable en la restricción, sustituirla en la forma y estudiar la forma resultante. Ignorar la restricción y clasificar directamente la forma original. Calcular únicamente la traza de la matriz original. Convertir necesariamente la matriz asociada en la identidad.

¿Cómo se denomina una matriz cuadrada cuyos elementos fuera de la diagonal principal son todos cero?. Matriz simétrica. Matriz diagonal. Matriz antisimétrica. Matriz fila.

¿Qué es la matriz identidad de orden n?. Una matriz con todos sus elementos iguales a uno. Una matriz cuadrada con todos los elementos de la diagonal iguales a cero. Una matriz cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en el resto. Una matriz que necesariamente tiene determinante cero.

Si A es una matriz invertible y lambda es distinto de cero, ¿cuál es la inversa de lambda por A?. (lambda A)^{-1} = lambda A^{-1}. (lambda A)^{-1} = (A^{-1}) - lambda. (lambda A)^{-1} = (lambda^{-1})A. (lambda A)^{-1} = (lambda^{-1})A^{-1}.

Si una columna de una matriz cuadrada es combinación lineal de las demás columnas, ¿qué se puede afirmar sobre su determinante?. Es cero. Es uno. Es igual al rango. Es distinto de cero necesariamente.

¿Cómo se determina el rango de una matriz mediante menores?. Sumando todos los menores de orden uno. Buscando el menor orden cuyo determinante sea distinto de cero. Buscando el mayor orden para el que exista al menos un menor con determinante distinto de cero. Calculando únicamente el determinante de la matriz completa, aunque no sea cuadrada.

Si a una fila de una matriz se le suma un múltiplo de otra fila, ¿qué ocurre con el determinante?. Se multiplica por ese múltiplo. No cambia. Cambia siempre de signo. Se convierte en cero.

Si un sistema cuadrado depende de un parámetro y el determinante de su matriz de coeficientes es distinto de cero para un valor del parámetro, entonces: El sistema es incompatible. El sistema tiene infinitas soluciones. No se puede aplicar la regla de Cramer. El sistema tiene una única solución.

¿Qué debe hacerse al discutir un sistema de ecuaciones que depende de un parámetro?. Estudiar los valores del parámetro que pueden modificar los rangos de la matriz de coeficientes y de la ampliada. Suponer que siempre existe una única solución. Eliminar el parámetro sin comprobar sus posibles valores. Aplicar Cramer en todos los casos, incluso si el determinante es cero.

Si un sistema tiene tres incógnitas y se cumple que el rango de la matriz de coeficientes es 2 y el de la ampliada es 3, el sistema es: Compatible determinado. Compatible indeterminado. Incompatible. Homogéneo compatible determinado.

¿Qué representa el polinomio característico de una matriz cuadrada A?. El polinomio obtenido sumando todos los elementos de A. El polinomio obtenido al desarrollar el determinante det(A-lambda I), según la convención empleada en el tema. El polinomio que se obtiene calculando exclusivamente la traza. El polinomio que siempre tiene todas sus raíces iguales a cero.

¿Qué se entiende por multiplicidad algebraica de un autovalor?. La dimensión de la matriz. El número de elementos no nulos del autovector. El número de autovectores que se han elegido. El número de veces que aparece como raíz del polinomio característico, contando su multiplicidad.

¿Qué representa la multiplicidad geométrica de un autovalor?. La dimensión del espacio de autovectores asociado a ese autovalor. El número de filas de la matriz original. El determinante de la matriz. La suma de todos los autovalores.

¿Qué relación existe entre la multiplicidad geométrica y la algebraica de un autovalor?. La geométrica siempre es mayor. Siempre son diferentes. La multiplicidad geométrica es menor o igual que la algebraica. La algebraica siempre es uno.

Una forma cuadrática es semidefinida negativa cuando: Todos sus autovalores son estrictamente positivos. Todos sus autovalores son no positivos y al menos uno es cero. Tiene necesariamente autovalores positivos y negativos. Todos sus autovalores son estrictamente negativos.

Si una forma cuadrática definida positiva se restringe a un subespacio, ¿qué puede afirmarse sobre la forma restringida?. Siempre pasa a ser indefinida. Siempre se convierte en nula. Necesariamente pasa a ser semidefinida positiva, pero nunca definida positiva. Sigue siendo definida positiva en el subespacio considerado, siempre que este contenga vectores no nulos.