Matemáticas Tema 3 - UEMC

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¿Cómo se define la derivada de f en el punto a?. A. B. C. D.

¿Qué representa la derivada en un punto?. La tasa de variación media en todo el dominio. La tasa de variación instantánea en ese punto. El área bajo la gráfica. El valor máximo de la función.

¿Qué diferencia hay entre f'(a) y f'(x)?. f'(a) es una función y f'(x) es un número. Ambas expresiones representan siempre el mismo número. f'(a) es la derivada en un punto concreto y f'(x) es la función derivada. f'(a) solo se define para funciones constantes.

Si una función es derivable en a, ¿qué se puede asegurar?. Que es continua en a. Que es estrictamente creciente en todo su dominio. Que tiene un máximo relativo en a. Que su derivada es cero en a.

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?. Toda función continua es derivable. Toda función derivable es continua, pero una continua puede no ser derivable. La continuidad y la derivabilidad son equivalentes. Una función no derivable nunca es continua.

Para que una función sea derivable en un punto interior, ¿qué deben cumplir las derivadas laterales?. Deben tener signos opuestos. Deben ser iguales y finitas. Deben ser iguales a cero. Basta con que exista la derivada por la derecha.

¿Qué sucede con f(x)=|x| en x=0?. No es continua ni derivable. Es continua y derivable. Es continua, pero no derivable. Es derivable, pero no continua.

Si a es un extremo del intervalo donde está definida una función, ¿cómo se interpreta la derivada en ese extremo según el tema?. Como la derivada bilateral habitual. Como una derivada lateral. Siempre vale cero. No puede definirse en ningún caso.

¿Qué es la función derivada f'?. Una función que asigna a cada punto donde f es derivable el valor de su derivada. Una función que siempre coincide con f. Una constante igual a f(0). Una función definida exclusivamente en los máximos de f.

¿Qué es la segunda derivada f''?. La derivada de la función original sumada a ella misma. La derivada de la función derivada, cuando existe. La derivada evaluada siempre en x=2. El cuadrado de la primera derivada.

¿Qué representa geométricamente f'(a)?. La pendiente de la recta tangente a la gráfica en x=a. La ordenada en el origen. La distancia entre dos puntos de la gráfica. El área encerrada por la tangente y los ejes.

¿Cuál es la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en x=a?. y=f'(a)x. y-f(a)=f'(a)(x-a). y=f(a)+a. y-f'(a)=f(x-a).

Si f'(a)=0, ¿qué pendiente tiene la recta tangente en ese punto?. 1. -1. 0. No está definida necesariamente.

¿Qué significa que las derivadas laterales en un punto existan, pero sean distintas?. Que la función es necesariamente discontinua. Que la función no es derivable en ese punto y puede presentar un punto anguloso. Que la función tiene un máximo absoluto. Que la función es constante a ambos lados.

Según la observación del tema, si f es continua en a y el cociente incremental tiende a +∞ o -∞, ¿qué tipo de punto puede presentar la gráfica?. Un punto anguloso con derivadas laterales finitas. Un punto de inflexión de tangente vertical. Un máximo absoluto. Una discontinuidad evitable.

¿Cuál es la derivada de una función constante f(x)=k?. k. 1. x. 0.

¿Cuál es la derivada de f(x)=mx+b?. mx. m. b. m+b.

¿Cuál es la derivada de f(x)=x^n, para un exponente entero positivo n?. nx^(n-1). x^(n-1). nx^n. (n-1)x^n.

¿Cuál es la derivada de una constante por una función, (α f)'?. α+f'. α f. α f'. α'f'.

¿Cuál es la regla de derivación de una suma?. (f+g)'=f'g'. (f+g)'=f'+g'. (f+g)'=f'g+fg'. (f+g)'=f'/g'.

¿Cuál es la regla de derivación de un producto?. (fg)'=f'g'. (fg)'=f'g+fg'. (fg)'=f/g'. (fg)'=f'g-fg'.

¿Cuál es la regla de derivación de un cociente f/g, cuando g≠0?. A. B. C. D.

¿Cuál es la derivada de f(x)=e^x?. xe^(x-1). ln x. e^x. 1/e^x.

¿Cuál es la derivada de f(x)=ln|x|, para x≠0?. ln|x|. 1/x. 1/|x|. e^x.

¿Cuál es la derivada de sin x?. -cos x. -sin x. cos x. sin x.

¿Cuál es la derivada de cos x?. sin x. -sin x. -cos x. cos x.

¿Cuál es la derivada de tan x, en los puntos de su dominio?. A. B. C. D.

¿Cuál es la regla de la cadena para la función compuesta g(f(x))?. g'(x)f'(x). g'(f(x))f'(x). g(f(x)). g'(f'(x)).

¿Cuál es la derivada de f(x)=[u(x)]^n?. n[u(x)]^(n-1). n[u(x)]^(n-1)u'(x). [u'(x)]^n. n[u(x)]^nu'(x).

¿Cuál es la derivada de f(x)=arctan x?. A. B. C. D.

Según el teorema de la derivada de la función inversa, ¿qué hipótesis se exige a f, además de ser estrictamente monótona y continua en el intervalo?. Que f'(a)=0. Que f sea derivable en a y que f'(a)≠0. Que f(a)=0. Que f sea constante.

Si f tiene inversa y se cumplen las condiciones del teorema, ¿cuál es la fórmula de la derivada de la inversa?. (f⁻¹)'(f(a))=f'(a). (f⁻¹)'(f(a))=1/f'(a). (f⁻¹)'(a)=f(a). (f⁻¹)'(a)=f'(a)².

¿Por qué es esencial que f'(a)≠0 en el teorema de la derivada de la inversa?. Porque si f'(a)=0, la fórmula daría una división por cero y no se puede aplicar el teorema. Porque garantiza que f(a)=0. Porque hace que la función sea constante. Porque evita que exista la función inversa.

¿Cuál es la derivada de arcsin x, para |x|<1?. A. B. C. D.

¿Cuál es la derivada de arccos x, para |x|<1?. A. B. C. D.

Si f y g son derivables y f(x)>0, ¿qué técnica utiliza el tema para derivar funciones del tipo [f(x)]^[g(x)]?. Derivar solo el exponente. Tomar logaritmos y usar ln([f(x)]^[g(x)])=g(x)ln f(x). Aplicar exclusivamente la regla del producto. Sustituir la función por una constante.

¿Cuál es la derivada de f(x)=x^x, para x>0?. x^(x-1). x^x ln x. x^x(1+ln x). x(1+ln x).

¿Qué son las derivadas sucesivas?. Las derivadas laterales de una función. Las derivadas obtenidas al derivar repetidamente la función y sus derivadas anteriores. Las derivadas de funciones inversas únicamente. Los límites de la función en distintos puntos.

¿Qué condición necesaria establece el tema para un extremo relativo en un punto interior donde la función es derivable?. f(a)=0. f'(a)=0. f''(a)=0. f(a)=f'(a).

¿Es suficiente que f'(a)=0 para asegurar que existe un extremo relativo?. Sí, siempre. No, puede ocurrir que no haya extremo relativo. Sí, siempre que la función sea continua. No, nunca.

¿Puede existir un extremo relativo en un punto donde la función no sea derivable?. No, nunca. Sí, como ocurre con f(x)=|x| en x=0. Solo si la función es constante. Solo si la segunda derivada existe.

Según el tema, ¿cuáles son los puntos candidatos a extremos relativos?. Exclusivamente los puntos donde f'(x)=0. Los puntos interiores donde f'(x)=0, los puntos interiores donde la función no es derivable y los puntos que no son interiores al dominio. Exclusivamente los puntos de inflexión. Todos los puntos donde la función es continua.

¿Cómo se caracteriza un máximo relativo mediante la monotonía?. La función pasa de decreciente a creciente. La función pasa de creciente a decreciente. La función permanece constante en todo su dominio. La segunda derivada tiene que ser positiva.

¿Cómo se caracteriza un mínimo relativo mediante la monotonía?. La función pasa de creciente a decreciente. La función pasa de decreciente a creciente. La función tiene que ser discontinua. La primera derivada tiene que ser positiva a ambos lados.

¿Cuáles son las hipótesis del teorema de Rolle?. Continuidad en [a,b], derivabilidad en (a,b) e igualdad f(a)=f(b). Derivabilidad en [a,b] e igualdad f'(a)=f'(b). Continuidad en (a,b) y f(a)=0. Monotonía estricta y continuidad en [a,b].

¿Qué garantiza el teorema de Rolle?. Que f'(x)=0 en todo el intervalo. Que existe al menos un c∈(a,b) con f'(c)=0. Que existe un máximo absoluto en a. Que f es constante.

¿Qué interpretación geométrica tiene el teorema de Rolle?. Existe una tangente vertical en el intervalo. Existe al menos una tangente horizontal entre los extremos. La gráfica es una recta. La función tiene que ser creciente.

¿Cuáles son las hipótesis del teorema del valor medio de Lagrange?. f(a)=f(b) y f'(a)=f'(b). Continuidad en [a,b] y derivabilidad en (a,b). Derivabilidad en [a,b] y continuidad solo en (a). La función tiene que ser estrictamente creciente.

¿Qué igualdad establece el teorema del valor medio?. A. B. C. D.

¿Qué relación existe entre Rolle y Lagrange?. Rolle es un caso particular de Lagrange cuando f(a)=f(b). Lagrange solo se puede aplicar si f(a)=f(b). Rolle no exige continuidad. Son teoremas sin relación.

Según el tema, ¿el punto c del teorema de Lagrange tiene que ser único?. Sí, siempre. No, puede haber más de un punto que cumpla la igualdad. Sí, si la función es continua. Sí, si los extremos son distintos.

¿Para qué se utiliza la regla de L'Hôpital?. Para hallar la función inversa. Para calcular determinados límites indeterminados mediante las derivadas del numerador y del denominador. Para calcular máximos relativos sin derivar. Para estudiar exclusivamente la continuidad.

¿Qué formas indeterminadas permiten plantear directamente la regla de L'Hôpital, si se cumplen sus hipótesis?. 0/0 y ∞/∞. 1/0 y 0/1. 0+∞ y 1+∞. 0⋅1 y 1/1.

Al aplicar L'Hôpital a un cociente, ¿qué operación se realiza?. Se deriva el cociente original mediante la regla del cociente. Se deriva el numerador y el denominador por separado y se estudia el límite del nuevo cociente. Se integra el numerador. Se sustituye cada función por su derivada segunda obligatoriamente.

Si f'(x)>0 en un intervalo, ¿qué se puede afirmar?. f es estrictamente creciente en ese intervalo. f es estrictamente decreciente. f es constante. f tiene necesariamente un máximo.

Si f'(x)<0 en un intervalo, ¿qué se puede afirmar?. f es estrictamente creciente. f es estrictamente decreciente. f es constante. f tiene necesariamente un mínimo absoluto.

¿Qué afirma el teorema de Darboux para la derivada, según el documento?. Toda derivada es continua. La derivada tiene la propiedad del valor intermedio: toma los valores intermedios entre sus valores laterales en los extremos, bajo las hipótesis del teorema. Toda derivada es estrictamente creciente. La derivada siempre alcanza un máximo absoluto.

¿Qué significa que una función sea convexa en un intervalo, según la definición del tema?. Que su gráfica queda por encima de cualquier recta secante que une dos puntos de la gráfica. Que su gráfica queda por debajo de cualquier recta secante. Que es necesariamente creciente. Que tiene un máximo relativo en cada punto.

¿Qué caracteriza a un punto de inflexión?. Que la función alcanza siempre un máximo absoluto. Que la función cambia de concavidad a convexidad o viceversa. Que la primera derivada tiene que ser cero en todos los casos. Que la función deja de ser continua.

¿Cuál es la finalidad de aplicar derivadas en un problema de optimización?. Calcular únicamente el dominio de una función. Encontrar valores que maximicen o minimicen una magnitud, como el beneficio, el coste o el volumen, teniendo en cuenta las restricciones. Demostrar que toda función tiene un máximo absoluto. Calcular exclusivamente la pendiente de una recta secante.