1) Indique cuál de los siguientes enunciados NO es una Proposición Mi email es funcion23@gmail.com Si vendo mi auto entonces pagare mi posgrado ¡Está bien! ¡pero primero márchate! Colombia y Perú son países vecinos de ecuador, pero tienen diferentes culturas.
2.Sin ningún orden en particular, seleccione cuales de los siguientes enunciados son operadores lógicos.
I. Negación.
II. Factorización.
III. Disyunción
IV. Intersección
V. Bicondicional
VI. Sucesión
VII. Condicional 𝐼,𝐼𝐼,𝐼𝑉,𝑉𝐼 𝐼,𝐼𝐼𝐼,𝑉,𝑉𝐼𝐼 𝐼𝐼,𝐼𝑉,𝐼𝐼𝐼,𝑉𝐼𝐼 𝐼𝐼𝐼,𝑉,𝑉𝐼,𝑉𝐼𝐼.
3) Dada la siguiente proposición compuesta ”Si Elizabeth cumple con sus obligaciones entonces tendrá éxito en su trabajo y tendrá un ascenso laboral”
donde:
𝑝=𝐸𝑙𝑖𝑧𝑎𝑏𝑒𝑡 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑠𝑢𝑠 𝑜𝑏𝑙𝑖𝑔𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑞=tendrá éxito en su trabajo
𝑟=tendrá un ascenso laboral
La traducción al lenguaje simbólico es: a) 𝑝→(𝑞∧𝑟) b) 𝑞∧𝑟 c) (𝑝↔𝑞)∧𝑟 d) (𝑝∧𝑟)∨𝑞.
4) Si la proposición [(𝑎∧¬𝑏)→(¬𝑐→𝑑)]∨[(¬𝑑∨𝑏)↔¬𝑎] es FALSA, ¿Cuáles son los valores de verdad de 𝑎,𝑏,𝑐 y 𝑑, respectivamente? a) 0, 0, 0, 0, 0 b) 1, 0, 0, 0, 0 c) 0, 1, 0, 0, 1 d) 1, 1, 0, 0, 0.
5) Relacione los conceptos básicos de conjuntos:
Representación Simbólica
1. Unión entre conjuntos
2. Intersección entre conjuntos
3. Diferencia entre conjuntos
a) 𝐴∪𝐵 = {𝑥/(𝑥 ∈𝐴)∨(𝑥 ∈𝐵)}
b) (𝐴∩𝐵) 𝐶 = 𝐴𝐶 ∪𝐵𝐶
c) 𝐴∩𝐵 = {𝑥/(𝑥 ∈𝐴)∧(𝑥 ∈𝐵)}
d) 𝐴−𝐵 = {𝑥/(𝑥 ∈𝐴) ∨¬(𝑥 ∈𝐵)}
e) 𝐴−𝐵 = {𝑥/(𝑥 ∈𝐴)∧¬(𝑥 ∈𝐵)}
Indique cuál de las siguientes opciones representa la relación correcta a.) 1𝑑,2𝑓,3𝑏 b.) 1𝑏,2𝑐,3𝑎 c.) 1𝑐,2𝑒,3𝑓 d.) 1𝑎,2𝑐,3𝑒.
6) Indique la opción correcta que representa el área rayada
a) (A ∩ C) U (B-C) b) (A U B) ⊆ C c) A ∩ B ∩ C d) (A ∩ B ∩ C) ∁.
7) Dado el siguiente problema de cordialidad, escoja la opción correcta
En una encuesta aplicada a 100 estudiantes se determinó que 50 practican básquet, 40 practican fútbol, 45 practican atletismo, 20 practican básquet y fútbol, 20 básquet y atletismo, 15 fútbol y atletismo, y 5 practican los tres deportes. Entonces es falso que: a) 15 no practican estos tres deportes. b) 15 sólo practican básquet. d) 35 practican fútbol o atletismo pero no básquet e) 10 practican básquet y fútbol pero no atletismo.
8) De un total de 19 estudiantes que realizan su práctica de laboratorio de química, se tiene que 10 están realizando titulación, 14 están realizando filtración al vacío, 8 están realizando decantación, 5 están realizando filtración al vacío y decantación al mismo tiempo, 4 están realizando titulación y decantación, 3 estudiantes están realizando las tres actividades al mismo tiempo, 11 están realizando titulación o filtración al vacío pero no decantación. Entonces, la cantidad de estudiantes que realizan sólo filtración al vacío es igual a: a) 3 b) 6 c) 7 d) 5.
9)Si los conjuntos 𝐴, 𝐵 y 𝐶 son conjuntos cualesquiera de un conjunto referencial 𝑅𝑒, entonces es VERDAD que: a) Si 𝐴={−1,{1,0}}, entonces −1∈𝑃(𝐴) b) Si 𝐴 y 𝐵 son conjuntos disjuntos, 𝑁(𝐴)=2 y 𝑁(𝐵)=3, entonces 𝑁(𝐴∪𝐵)=5. c) Si 𝐴={𝑥𝑥⁄𝑒𝑠 𝑢𝑎 𝑣𝑜𝑐𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑙𝑎𝑏𝑟𝑎 𝑓𝑖𝑠𝑖𝑐𝑎}, 𝐵={𝑥𝑥⁄𝑒𝑠 𝑢𝑎 𝑣𝑜𝑐𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑙𝑎𝑏𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑖𝑚𝑖𝑐𝑎} y 𝐶=𝐵∩𝐴, entonces 𝐶=𝐴−𝐵 d) El conjunto 𝐴−(𝐵∩𝐶)=(𝐴∩𝐵)−𝐶.
10) El resultado correcto al resolver el siguiente binomio conjugado es:
(2+3𝑦)(2−3𝑦) a) 4^2−9𝑦^2 b) 2^2−5^2 c) 𝑦−3𝑦4 d) 43+12𝑦2.
11) El resultado correcto al factorizar el siguiente trinomio cuadrado perfecto seria:
𝑥^2−6𝑥+9 a) (2+3𝑦) b) (𝑥−3)2 c) (2/3+2𝑦3) d) (𝑥+3)2.
12) La respuesta correcta al resolver la siguiente inecuación seria:
4x + 16 > 0 a) 𝑥 > − 4 b) 𝑥 = 5 c) 𝑥 < 4 d) 𝑥≥−4.
13) La respuesta correcta de la simplificación de la siguiente expresión algebraica es:
[(𝑥2+𝑦2)1/2 . (𝑥2+𝑦2)−3/4]4
______________________
(𝑥2+𝑦2)−2 a) 𝑥^2+𝑦^2 b) 2𝑥2+𝑦2 c) 𝑥2+2𝑦2 d) 2𝑥^2 + 3𝑥2
____
4𝑦.
14) Dado el triángulo tal y como se muestra en la figura, si se conoce que 𝐶𝐷̅̅̅̅=𝐵𝐶̅̅̅̅=𝐴𝐵̅̅̅̅, cual es el valor del ángulo ≮𝐴𝐵𝐶, el cual está representado con una 𝑥 a) 45° b) 30° c) 25° d) 40°.
15) Determinar el valor del angulo 𝑥, si se conoce que 𝐵𝐷=𝐷𝐶=𝐸𝐶. Ver figura adjunta a) 40° b) 20° c) 35° d) 41°.
16) Determine verdadero o falso:
Un razonamiento es válido si y sólo si su estructura lógica es una forma proposicional tautológica.
a) Verdadero b) Falso.
17) La Ley de la Doble Negación establece que: una proposición negada dos veces vuelve a tomar su valor de verdad original. a) Verdadero b) Falso.
18) En las leyes de los operadores lógicos, una de las leyes de la Implicación es: a) [(𝑝→𝑟)∧(𝑞→𝑟)] ≡ [(𝑝∨𝑞)→𝑟] b) [(𝑝→𝑞)∧(𝑠→𝑟)] ≡ [(𝑞∨𝑞)→𝑟] c) [(𝑝→𝑟)∧(𝑞→𝑟)] ≡ ∼[(𝑝∨𝑞)] d) [(𝑝→𝑟)∧𝑟] ≡ [∼(𝑝∨𝑞)→𝑟].
19) El dominio de la siguiente función
𝑓(𝑥)= 1
____
𝑥2−9 a) (−∞,−3)∪(−3,+∞) b) (−∞,−3)∪[−3,3]∪(−3,+∞) c) ℝ−{−3,3} d) [(−∞,−3)(−3,+∞)].
20) El domino de la siguiente función 𝑓(𝑥)=√𝑥+2 a) [-2, +∞) b) [-2, 2) c) (-2, +∞) ˅ (2, -3) d) (-2, ∞+).
21) El dominio de 𝑓(𝑥)=𝑥2−5𝑥+6 a) (−∞,+∞) b) (−2,+∞) c) (−2,5) d) [−∞,−2]∪(2,+∞).
22) En la siguiente grafica de una función racional, seleccione la opción correcta
El dominio de la función 𝑓(𝑥)= 4𝑥+8
____
𝑥2−4 a) (−∞,−2)∪[−2,2]∪(2,∞+) b) (−∞,−2)∪(−2,2)∪(2,∞+) c) (−∞,−2)∩(2,∞+) d) (−∞,∞+).
23) El resultado de la resolución del siguiente ejercicio es: a) 25° b) 40° c) 45° d) 20°.
24) ¿Las siguientes rectas son paralelas?
𝐿1: 2𝑥−6𝑦=1 𝐿2: 𝑥−3𝑦=3 a) Verdadero b) Falso.
25) ¿Las siguientes rectas son paralelas?
𝐿1: 6𝑥−12𝑦=5
𝐿2: 𝑥+2𝑦=−3 a) Verdadero b) Falso.
26) ¿las siguientes rectas son perpendiculares? a) Verdadero b) Falso.
27) El resultado correcto de la operación suma de estas matrices es:
𝐴=[−31]
[02]
𝐵=[−31]
[ 02] es: a) [00
00] b) [9 2
0 16] c) [−3 1
0 12] d) [−6 2
0 4].
28) El resultado correcto de la siguiente operación 4A - 3B, de matrices
𝐴=[2 0 1] y la matriz 𝐵=[−6 7 3] es: a) [26 −2 −5] b) [−36 21 −5] c) [26 −21 −5] d) [5− 11 −15].
29) El resultado correcto de la operación de multiplicación 𝐴𝑥𝐵 entre las matrices
𝐴=[2 3
5 4]
𝐵=[2 0 3
−1 1 5] a) [1 3 21
6 4 35] b) [12 32 11
65 4 45] c) [10 0 1
6 0 55] d) [0 0 1
0 1 5].
30) La forma correcta de representar un numero complejo en su forma binomial es: a) 𝑥+𝑦2 b) 𝑎+𝑏2 c) 𝑎+𝑏𝑖 d) 𝑟𝛼.
31) ¿cuál es la fórmula para encontrar la pendiente de una recta? a) 𝑚=𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1 b) 𝑥=𝑚2−𝑚1
𝑥2−𝑥1 c) 𝑚=2𝑦2−2𝑦1
𝑥2−𝑥1 d) 𝛽=𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1 (𝑥−𝑦).
32) ¿Cuál es la fórmula para encontrar la distancia entre dos puntos? a) 𝑑 (𝑝1,𝑝2)=√(𝑥2−𝑥1) 2+ (𝑦2−𝑦1)2 b) ℎ=𝑎2+𝑏2 c) ℎ=√𝑎𝑥2+𝑏𝑦2 d) 𝑚=𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1.
33) Determine verdadero o falso si la siguiente expresión corresponde a la representación de un numero complejo en su forma binomial
5+√3 𝑖 a) Verdadero b) Falso.
34) El resultado de multiplicar BxA en las matrices es:
A= [4 −1
1 0
−3 2]
B=[0 −1 −2
−2 0 −1
−1 −2 0] a) [ 5 −4
−5 0
−6 1] b) [45 −4
−1 0
−3 1]
c) [ 6 0
−5 0
−10] d) [ 0 −4
−5 0
0 1].
35) El resultado de la operación AxB de las matrices:
A=[1 2 3
3 2 1]
B=[0 −1 −2
−2 0 −1
−1 −2 0] a) [7 7 4
5 5 8 b) [−7 −7 −4
−5 −5 −8] c) [ 0 0 0
5 1 2] d) [−8 −8 −7
−8 −5 −5].
36) El valor en radianes de 30° es: a) 𝜋
__
3 b) 𝜋
__
2 c) 𝜋
------
6 d) 2𝜋
__
6.
37) La ley del coseno es útil para resolver triángulos cuando se conoce. a) cuando se conocen el ángulo interno de 90° y los otros 3 lados b) cuando no se conocen los ángulos, pero si los lados c) cuando se conocen los tres lados d) cuando se conocen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.
38) El seno de un ángulo de 60° es. a) √2 /2 b) √1/2 c) √3
__
2 d) 1/2.
39) Determine la solución del siguiente sistema de ecuación por cualquier método.
{2𝑥 +𝑦=−10𝑥 −3𝑦=2 a) 𝑥=4 𝑦= 2 b) 𝑥=−4 𝑦= 0 c) 𝑥=−4 𝑦= −2 d) 𝑥=0 𝑦= −2.
40) Determine la solución del siguiente sistema de ecuación por cualquier método.
{𝑥 −2𝑦=11
𝑥 + 5𝑦=−17 a) 𝑥=3 𝑦= −4 b) 𝑥=−3 𝑦= −4 c) 𝑥=−2 𝑦= 0 d) 𝑥=0 𝑦= 1.
41) El resultado de la siguiente operación de números complejos es.
2/3 + 1/6 √−45 a) 12√5 𝑖 b) 23+√5 𝑖 c) 23+12√5 d) 2 1
__ + ___ √5 𝑖
3 2.
42) Al resolver la siguiente operación √−8−√−64 se obtiene como resultado
________
√−4 a) 2−1 b) √2−4 c) √8+4 d) √2𝑖−4.
43) Al resolver la siguiente operación 1/8 √−16√−9 + 1/4 √−25 se obtiene como resultado a) −3 5
___ + ___ 𝑖
2 4 b) 3 /2 __ −5/4 𝑖 c) −2 +5/4 𝑖 d) 8 / 6 𝑖.
44) Al resolver la inecuación 12𝑥−4>7𝑥+11 el resultado es: a) (1,+∞) b) (3,9) c) (3,+∞) d) (−3,9).
45) Al resolver la inecuación 8𝑥+7−2𝑥>4𝑥−3+2𝑥 el resultado es: a) (2,+∞) b) (−∞,3) c) (−∞,+∞) d) (−1,2).
46) Sea f una función de variable real tal que f (𝑥)=|𝑥|−3 , entonces es verdad que: a) f es creciente en todo su dominio b) f es inyectiva c) f es par d) f es decreciente en todo su dominio.
47) Sea f una función de Reales en reales
𝑓(𝑥)+𝑓(−𝑥) 𝑓(𝑥)−𝑓(−𝑥)
Si 𝑔(𝑥)= _______ y ℎ(𝑥) = ______
2 2
Es falso que: a) ∀𝑥∈ℝ[𝑔 (𝑥)=ℎ (−𝑥)] b) ℎ (𝑥) es impar c) 𝑓(𝑎) = 𝑔 (𝑎) + ℎ (𝑎) d) −𝑔 (𝑥) es par.
48) Al simplificar la siguiente expresión
2 2
___ + ___
1−𝑎 1+𝑎
_____________ =
2 2
___ - ___
1+𝑎 1−𝑎 a) 1/2 b) 2−𝑎 /𝑎 c) −𝑎−1 d) 1/𝑎.
49) Sea f una función de Reales en reales tal que
𝑓(𝑥)={|𝑥|−4; |𝑥|≤6 2; 𝑥>6
Una de las siguientes proposiciones es falsa identifíquela. a) f es par b) [0,2] ⊆ Rang f c) ∃𝑥∈ℝ,𝑓 (𝑥)=−5 d) ∀ 𝑥1 1 𝑥2 ∈[0,∞], [(𝑥1 < 𝑥 2 ) → (𝑓 (𝑥1 )≤𝑓 (𝑥2 ))].
50) Dada la gráfica de la función f (x), tal como se muestra a continuación: a) 2𝑓(𝑥 − 1) − 1 b) −2𝑓(𝑥 − 1) c) −2𝑓(𝑥) + 1 d) −2𝑓(𝑥) − 1.
51) Sea C = {𝑎, 𝑏, 𝑐}, si sobre el conjunto se define la operación binaria que se representa en la
siguiente tabla
Identifique cuál de las siguientes proposiciones es falsa:
𝛻 a b c
a b a a
b b c b
c a b c a) La operación binaria ∇ es conmutativa b) La operación binaria ∇ es asociativa c) (a ∇ a) = [(𝑏 ∇𝑐)∇𝑎] d) La operación binaria ∇ posee elemento neutro.
52) Dado el conjunto S= {1,2,3,4} y la operación binaria en S definida como
𝑎∗𝑏={𝑎; 𝑎≥𝑏 𝑏; 𝑎<𝑏 a) La operación no es conmutativa. b) El elemento neutro es 1. c) ∀ 𝑎,𝑏∈𝑆, (3*a) = (b*3) d) (1∗3)∗2=( 2∗1)∗(3∗4).
53) El valor de X que satisface la siguiente ecuación 41−𝑥16𝑥+2 =23𝑥−1 es: a) 4 b) - 5
__
9 c) −1 d) 1.
54) Al simplificar la expresión:
𝑎2 𝑏2 /𝑐 ÷ [(𝑎2 𝑐2 /𝑏 ÷ (𝑏2 𝑐2 / 𝑎 𝑥 𝑎𝑐 /𝑏2) ) ÷ (𝑎 / 𝑐2 ÷ 𝑏𝑐 / 𝑎2) ]
Queda: a) 𝑎𝑏 /𝑐2 b) 𝑐 /(𝑎𝑏)2 c) (𝑎𝑏/𝑐)3 d) 𝑎3 𝑏2
___
𝑐3.
55) El número 5,212121…… es igual a: a) 364847
700000 b) 172
-----
33 c) 520479
99900 d) 858
165.
56) Se inscribe un cuadrado, en un círculo cuyo radio mide 2 cm, tal como lo muestra la figura.
El perímetro de la región sombreada es: a) (𝜋+√2) 𝑐𝑚 b) (𝜋+2√2) 𝑐𝑚 c) (𝜋−√2) 𝑐𝑚 d) (2𝜋+√2) 𝑐m e) 2(𝜋+√2) 𝑐𝑚.
57) En la siguiente figura se muestra un cuadrado 𝐴𝐵𝐶𝐷 cuyo lado tiene 12𝑐𝑚 de longitud. Si de cada vértice del cuadrado se ha trazado un arco de circunferencia, el área de la región
sombreada, expresada en 𝑐𝑚2, es: a) (1+2𝜋) b) 36(4+𝜋) c) 36(4−𝜋) d) (144𝜋) e) (36𝜋−12).
58) Un observador se encuentra a una determinada distancia, medida desde la base de una colina; en ese instante él determina un ángulo de elevación de 30° con respecto a la cima de la colina. Si camina 1 km. Acercándose a la colina, el observador determina que el ángulo ahora es de 45°. De acuerdo a esta información podríamos afirmar que la altura de la colina
corresponde a: a) √3+1
___ km
2 b) √3−1 /2 𝑘𝑚 c) √3+1 /3 𝑘𝑚 d) √3−1 / 3 𝑘𝑚.
59) Si M es un punto ubicado a un tercio del lado BC respecto a C del cuadrado ABCD de lado 3 𝑐𝑚, tal y como se muestra en la figura. Entonces el valor tan(∝) es: a) −1 /3 b) 1/3 c) 1/2 d) 1/5 e) −1/5.
60) En la figura aparece parte de la gráfica de 𝑦= 𝑎(𝑥 – ℎ)2+𝑘, la gráfica tiene su vértice en 𝑃(−1,2), y contiene el punto 𝐴(1,0) entonces es verdad que: a) h + k = 3 b) a = ½ c) a + h= -3/2 d) a + h + k= -1/2 e) h + k - a = 0.
61) Un cilindro circular recto tiene una altura de igual medida que el radio de su base. Si el radio de su base mide r entonces el ÁREA TOTAL es: a) 𝐴𝑡=𝜋𝑟2 b) 𝐴𝑡=2𝜋𝑟2 c) 𝐴𝑡=3𝜋𝑟2 d) 𝐴𝑡=4𝜋𝑟2.
62) Sea el conjunto referencial 𝑅𝑒={10,15,20,25,30,35,40,45,50} y los predicados:
𝑝(𝑥):𝑥 𝑒𝑠 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒 10 𝑞(𝑥);𝑥 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 3 a) 𝐴[𝑝(𝑥)∧𝑞(𝑥)]={45} b) 𝐴[𝑝(𝑥)∨𝑞(𝑥)]={10,20,30,45,50} c) 𝐴[𝑝(𝑥)∨∽𝑞(𝑥)]={10,15,20,30,35} d) 𝐴[∼𝑝(𝑥)∧𝑞(𝑥)]={15,25,30,35,45} e) 𝐴[𝑝(𝑥)→𝑞(𝑥)]={15,20,25,30,35,45}.
63) Sea 𝑓 una función de 𝐴 en 𝐵 y 𝑔 una función de 𝐵 en 𝐴 tales que:
𝑓={(∗,1),(?,𝑎),(¡,1),(𝛼,𝑎)} 𝑔={(1,?),(𝑎.,∗),(𝛽,𝛼),(∗,¡)}
Entonces es FALSO que: a) f∘g no es una función sobreyectiva b) f no es inyectiva y g es sobreyectiva c) g∘f no es una función inyectiva d) 𝑟𝑎𝑔 (𝑓∘𝑔)={𝑎,1}∧𝑟𝑔 (𝑔∘𝑓)={2,∗}.
64) Sean los conjuntos 𝐴={1,2,3,4} y 𝐵={𝑎,𝑏,𝑐,𝑑}; 𝑅1, 𝑅2 y 𝑅3 relaciones de 𝐴 en 𝐵 tales que:
𝑅2={(1,𝑎),(1,𝑐),(1,𝑑)(2,𝑎),(2,𝑏),(2,𝑐)(3,𝑎),(3,𝑏),(3,𝑐),(3,𝑑)(4,𝑎),(4,𝑏),(4,𝑐),}
𝑅3={(𝑥)𝑥 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑙 𝑙𝑢𝑔𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑜𝑐𝑢𝑝𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑎𝑙𝑓𝑎𝑏𝑒𝑡𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑎ñ𝑜𝑙⁄}
Entonces es VERDAD que; a) 𝑅1−𝑅2 𝑒𝑠 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 b) (𝑅2𝑐∪𝑅1)−𝑅3 no 𝑒𝑠 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 c) (𝑅2−𝑅1)−𝑅3 𝑒𝑠 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 d) 𝑅3 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 e) 𝑅3−𝑅1 𝑒𝑠 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛.
65) Para la función 𝑓 definida por:
𝑓(𝑥)={|𝑙𝑛(|𝑥|)| ; |𝑥|≥10 ; |𝑥|≤1 Se puede afirmar que: A) 𝑓 es una función acotada B) 𝑓 es una función inversible C) La grafica de la función es
/
/
________/___ D) La grafica de la función es
\ /
\ /
\ /
_____________
\ /
\ / E) La grafica de la función es
----- -- ------
-- --
-- --
______!_________!_______________.
66) Calcular el valor de 𝑃(𝑥)=𝑥𝑥2𝑥3, si se tiene que 𝑥2𝑥3−2𝑥𝑥3=3 a) 27 b) 5 c) 21 d) 9.
67) Suponiendo que 4𝑥1=5, 5𝑥2=6, 6𝑥3=7, …………… , 127𝑥124 = 128 Hallar
𝑥1∙𝑥2∙…….𝑥124 a) 2 b) 5/2 c) 3 d) 7/2 e) 4.
68) Dado el referencial Re = R y 𝑝(𝑥):𝑥𝑥3=3, determine el conjunto solución 𝐴𝑝(𝑥). a) 𝐴𝑝(𝑥)={1/5} b) 𝐴𝑝(𝑥)={1/3} c) 𝐴𝑝(𝑥)={−1/3} d) 𝐴𝑝(𝑥)={−3} e) 𝐴𝑝(𝑥)={3}.
69) Una parábola tiene su vértice en el origen de la elipse con ecuación general
9𝑥2+36𝑦2−54𝑥+144𝑦−99=0
y su foco se encuentra ubicado en el punto 𝐹 (1 ,−2) Entonces, la ecuación de parábola es: a) 𝑦2+4𝑦+8𝑥−20=0 b) 𝑦2+4𝑦−8𝑥+28=0 c) 𝑦2+4𝑦−8𝑥=0 d) 𝑥2−6𝑥−8𝑦=0 e) 𝑦2−4𝑦−8𝑥+28=0.
70) La ecuación de la parábola cuyo vértice pasa por el punto de intersección entre las rectas 2 𝑥 + 𝑦 − 8 = 0 y 3 𝑥 − 2 𝑦 + 9 = 0. y cuya recta directriz tiene ecuación 𝐿; 𝑦−8=0 es: a) 𝑥2−2𝑥−8𝑦−44=0 b) 𝑥2−2𝑥+8𝑦−48=0 c) 𝑥2−2𝑥−8𝑦+44=0 d) 𝑥2−2𝑥−8𝑦−47=0 e) 𝑥2+2𝑥−8𝑦−44=0.
71) El término del desarrollo del binomio (𝑥2𝑦 +𝑦/𝑥)7 que contiene a 𝑥−1 es: a) 90 𝑥−2 b) 21𝑦^7𝑥−1 c) 5𝑦4𝑥−2 d) 21𝑥−2.
72) Si 𝑓 y𝑔 son funciones de ℝ en ℝ, cuyas reglas de correspondencia son:
𝑓(𝑥)={2−𝑥; 𝑥≤1𝑥+1; 𝑥>1 y 𝑔(𝑥)={𝑥2; 𝑥>21; 𝑥≤2
Entonces la regla de correspondencia de la función (𝑔 𝑜 𝑓)(𝑥), es: a) (𝑔 𝑜 𝑓)(𝑥)={(2+𝑥)2, 𝑥<01, 0≤𝑥≤1(𝑥+1)2, 𝑥>1 b) (𝑔 𝑜 𝑓)(𝑥)={(2−𝑥)2, 𝑥<01, 0≤𝑥≤1(𝑥+1)2, 𝑥>1 c) (𝑔 𝑜 𝑓)(𝑥)={(𝑥+1)2, 𝑥<01, 0≤𝑥≤1(2−𝑥)2, 𝑥>1 d) (𝑔 𝑜 𝑓)(𝑥)={(𝑥+2)2, 𝑥<01, 0≤𝑥≤1(𝑥−1)2, 𝑥>1.
73) Indique cuál de las siguientes proposiciones es falsa: a) Si 2(3 + 5) = 16 entonces 5(6 + 1) = 35. b) Si (4 + 5) = 20 entonces (6 + 7) = 12. c) Si (9 + 5) = 14 entonces (6 + 5) = 11. d) Si 9(4 + 2) = 54 entonces 9(4 + 1) = 14.
74) Dadas las proposiciones simples:
𝑝: Necesito un doctor. 𝑞: Necesito un abogado. 𝑟: Tengo un accidente. 𝑠: Estoy enfermo.
Una traducción al lenguaje formal de la proposición compuesta “Si estoy enfermo, necesito un doctor; y si tengo un accidente, necesito un abogado”, es: a) (𝑠 → 𝑝) ∧ (¬ 𝑟 → 𝑞) b) (𝑠 ∨ 𝑝) ∧ (𝑟 → 𝑞) c) (𝑠 → 𝑝) ∧ (𝑟 → 𝑞) d) (𝑠 ∧ 𝑝) ∧ (¬ 𝑟 → 𝑞).
75) Dadas las proposiciones simples:
𝑎: Luis llega a tiempo. 𝑏: Luis se levanta temprano. 𝑐: Luis desayuna.
Una traducción al lenguaje formal de la proposición compuesta “Para que Luis desayune y llegue a tiempo es necesario que se levante temprano”, es: a) 𝑐 → (𝑎 ∧ 𝑏) b) (𝑐 ∧ 𝑎) → 𝑏 c) (𝑎 ∧ 𝑏) → 𝑐 d) 𝑎 → (𝑏 ∧ 𝑐).
76) Dadas las proposiciones simples:
𝑝: Estudio Historia. 𝑞: Estudio Geografía. 𝑟: Estudio Matemáticas.
Empleando tablas de verdad, identifique una traducción al lenguaje formal de la proposición compuesta “Si estudio Historia o Geografía, entonces estudio Matemáticas”. a) (𝑝 → 𝑟) ∧ (𝑞 → 𝑟) b) ¬ 𝑟 → (𝑝 ∧ 𝑞) c) ¬ 𝑝 → (𝑞 ∧ 𝑟) d) (𝑝 → 𝑟) ∧ ¬ 𝑞.
77) Dadas las proposiciones simples:
𝑚: Se realiza una gran fiesta. 𝑛: Hago bien este deber. 𝑝: Mis amigos están de acuerdo.
Una traducción al lenguaje formal de la proposición compuesta “Se realiza una gran fiesta sólo si hago bien este deber y mis amigos están de acuerdo”, es: a) (𝑛 ∧ ¬ 𝑝) → 𝑚 b) ¬ (𝑛 ∧ ¬ 𝑝) ∨ 𝑚 c) 𝑚 → (𝑛 ∧ 𝑝) d) ¬ 𝑚 → ¬ (𝑛 ∧ 𝑝).
78) Si los conjuntos 𝐴, 𝐵 y 𝐶 son conjuntos cualesquiera de un conjunto referencial 𝑅𝑒, entonces es VERDAD que a) Si 𝐴={−1,{1,0}}, entonces −1∈𝑃(𝐴) b) Si 𝐴 y 𝐵 son conjuntos disjuntos, 𝑁(𝐴)=2 y 𝑁(𝐵)=3, entonces 𝑁(𝐴∪𝐵)=6. c) Si 𝐴={𝑥𝑥⁄𝑒𝑠 𝑢𝑎 𝑣𝑜𝑐𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑙𝑎𝑏𝑟𝑎 𝑓𝑖𝑠𝑖𝑐𝑎}, 𝐵={𝑥𝑥⁄𝑒𝑠 𝑢𝑎 𝑣𝑜𝑐𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑙𝑎𝑏𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑖𝑚𝑖𝑐𝑎} y 𝐶=𝐵∩𝐴, entonces 𝐶=𝐴 d) El conjunto 𝐴−(𝐵∩𝐶), es igual al vacío e) Si 𝐴={𝑥𝑥⁄𝑒𝑠 𝑢𝑎 𝑣𝑜𝑐𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑙𝑎𝑏𝑟𝑎 𝑓𝑖𝑠𝑖𝑐𝑎}, 𝐵={𝑥𝑥⁄𝑒𝑠 𝑢𝑎 𝑣𝑜𝑐𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑙𝑎𝑏𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑖𝑚𝑖𝑐𝑎}, entonces 𝑁(𝐴𝑥𝐵)=21.
79) Sean A, B, C conjuntos no vacíos. Respecto del siguiente diagrama de Venn. La región sombreada corresponde a: a) (𝐴 ∩ 𝐵) − 𝐶 b) (𝐴 − 𝐵) ∩ 𝐶 c) (𝐴 ∩ 𝐵) – 𝐴 d) (𝐴 ∪ 𝐵)− 𝐶.
80) Sean A, B y C conjuntos no vacíos. Respecto del siguiente diagrama de Venn: La región sombreada corresponde a: a) AC ∪ (B ∩ C) b) A − (B ∪ C) c) B − (A ∪ C) d) A ∩ (B ∪ C).
81) Para regar un terreno cuadrado de “l” metros de lado sobraron 800 litros de agua; si el lado del cuadrado tiene 25% más, faltaría 1000 litros de agua. ¿Cuántos litros de agua faltarían, si el lado tiene 50% más? a) 4000 b) 5000 c) 3200 d) 1000.
82) La suma de tres números es 12. El segundo número es 1 más que tres veces el primero y el tercer número es 1 menos que 2 veces el segundo. Entonces es verdad que: a) El tercer número es 6. b) La suma del primero y el segundo es 7. c) El segundo número es 5. d) La suma del primero y el tercero es 8.
83) Determine el valor de a) 2006 b) 2005 c) 2009 d) 2008.
84) Sea 𝑓 una función con las siguientes propiedades
i. 𝑓(1)=1, and
ii. 𝑓(2𝑛)=𝑛∙𝑓(𝑛) para cualquier entero 𝑛
¿Cuál es el valor de 𝑓(2100)? a) 1 b) 299 c) 2^100 d) 2^4950 e) 2^9999.
85) Si tan𝛼=2 con 𝛼∈(𝜋,3𝜋2) y cot𝛽=−√2√3 con 𝛽∈(𝜋2,𝜋). Entonces el valor de
sin(𝛼+𝛽) es igual a: a) 2√2+√35 b) −2√2+√35 c) 2√2−√3
____
5 d) −2√2+√35 e) 0.
86) Hallar el valor de (sin𝜃)5+(cos𝜃)5 sabiendo que:
sin𝜃+cos𝜃=√5 y sin𝜃∙cos𝜃=5 a) 50√5 b) 25√5 c) 5√5 d) 10√5 e) 15√5.
87) Determine la medida del ángulo que una escalera de 8 𝑚 de longitud forma con el suelo, si está apoyada en una pared a una altura de 4 𝑚 del suelo. a) 𝜋/3 b) 𝜋/6 c) 2𝜋/3 d) 4𝜋/3.
88) La diagonal de un rectángulo tiene 10u de longitud y uno de sus lados mide 6u. Entonces el área de la superficie del rectángulo expresada en u2 es: a) 8 b) 60 c) 6 d) 48.
89) Dado el razonamiento (H1 ∧ H2) → C, donde:
H1: Si apruebo todas las materias entonces me voy de vacaciones por un mes.
H2: Me voy de vacaciones por un mes y compraré muchos recuerdos.
Una conclusión C que hace válido este razonamiento es: a) No me voy de vacaciones por un mes. b) Apruebo todas las materias y compraré muchos recuerdos c) Me voy de vacaciones por un mes. d) Apruebo todas las materias.
90) La longitud de un rectángulo excede a su anchura por dos pies. Si cada dimensión fuese incrementada en tres pies, el área se incrementaría en 51𝑝𝑖𝑒𝑠2. Encontrar las dimensiones originales y nuevas del rectángulo. a) 3 ,5 𝑦 6 ,8 b) 6 ,8 𝑦 9 ,11 c) 10 ,15 𝑦 13 ,18 d) 8 ,10 𝑦 11 ,13.
91) La ecuación de la recta que tiene pendiente 5 y pasa por el punto P(-1,-2) es: a) 𝑦−105=𝑥 b) 𝑦+85=𝑥 c) 𝑦−85=𝑥 d) 𝑦−3
___=𝑥
5.
92) Sea A un ángulo agudo en un triángulo rectángulo. Si 𝐶𝑜𝑠(𝐴)=13, entonces es verdad que. a) 𝑆𝑒𝑛(𝐴)=1√8 b) 𝑆𝑒𝑛(𝐴)=√81 c) 𝑇𝑎𝑛(𝐴)=3 d) 𝐶𝑜𝑡𝑔(𝐴)= 1
___
√16.
93) El valor de la expresión 2 𝑆𝑒𝑛2(𝜋/6) 𝐶𝑜𝑠2(𝜋)
4 𝑇𝑎𝑛 (𝜋/4)𝑆𝑒𝑛2(3𝜋/4) a) 1/4 b) 1 c) 1/2 d) −1/4 e) −1/2.
94) Al simplificar la expresión 𝑥2−36
𝑥2−18𝑥+72
se obtiene a) 𝑥+6𝑥+12 b) 𝑥+6
𝑥−12 c) 𝑥−6
𝑥−12 d) 𝑥−6
𝑥+12.
95) La figura 𝐴𝐵𝐶𝐷 es un cuadrado cuyos lados miden 𝑙; 𝐵 y 𝐷 son los centros de los arcos 𝐴𝐶,
mientras que el centro de la circunferencia es 𝑂, entonces es VERDAD que: a) El área de la región sombreada es mayor a
l^2
__
4 b) El área de la región sombreada está en el intervalo
12
___
55
c) El perímetro de la región sombreada es
(pi)l
___
8 d) El perímetro de la región sombreada es mayor que 2(pi)l.
96) La figura adjunta tiene tres circulos y se conoce que ̅𝐴̅̅𝐵̅ = ̅𝐵̅̅𝐶̅ y ̅𝐴̅̅𝐶̅ = ̅𝐶̅̅𝐷̅
Si ̅𝐶̅̅𝐷̅ = 𝑎, el area de la region sombreada, en 𝑢2, es igual a: a)
13a^2π
---------
16 b)
3a ^2π
--------
4 c)
11a2π
_____
16 d)
5a2π
____
8.
97) Sean la recta 𝑦 + 2𝑥 = 3 y la circunferencia 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 + 3𝑦 = 12. Entonces es VERDAD
que: La recta es tangente a la circunferencia. a) La recta es secante a la circunferencia y contiene al centro. b) La recta es secante a la circunferencia y no contiene al centro. c) La recta y la circunferencia no se intersecan. d) El área del triángulo que forma la recta con los ejes de coordenadas positivas es la mitad del área de la circunferencia.
98) La ecuación 3𝑥2−4𝑦2+16𝑦−18=0, representa: a) Una elipse con centro en (0, -2) a) Una hipérbole con centro en (0, 2) b) Ningún lugar geométrico real c) Un punto en el plano.
99) La ecuación 𝑥2+𝑦2−4𝑥+6𝑦−3=0, representa el plano: a) Un punto con coordenadas (2, -3) b) Una circunferencia con centro en (-2, 3) y radio 2 c) Una circunferencia con centro en (2, -3) y radio 16 d) Una circunferencia con centro en (2,- 3) y radio 4 e) Una circunferencia con centro en (-2, 3) y radio 2.
100) Un rey decide que se fundan 100 esferas de oro de radio 𝑎 unidades y que, con el material que quede, se formen conos rectos cuyas alturas midan 𝑎2 y cuyas bases tengan diámetro de 𝑎 unidades de longitud. El número de conos que se puede obtener a partir de las esferas es: a) 1000 b) 2100 c) 3200 d) 2000.
101) Si una banda se ajusta estrechamente alrededor de dos cónicas cuyas ecuaciones son (𝑥−1)2+(𝑦+2)2=16 y (𝑥+9)2+(𝑦−10)2=16, respectivamente, determine la longitud de la banda a) 12𝜋 b) 8𝜋+4√6 c) 8𝜋 d) 12𝜋.
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