Parcial 1 Analisis Teorico

¿Qué son los campos escalares?. Una función de por lo menos 2 variables independientes, a la que a un conjunto de "n" variables independientes le corresponde como imagen un número real. Una función de una variable independiente donde a la misma le corresponde una sola imagen. Una función donde sus variables independientes no pueden compartir una misma imagen.

El Dominio de definición de la función de dos variables es: El conjunto de (x;y) de los valores x e y, para los cuales está definida la función z = f(x;y). El conjunto de (x;y) de los valores del complemento del conjunto de partida. El conjunto de (x;y) de los valores de la imagen de la función z = f(x;y). El conjunto de (x;y) de los valores x e y, para los cuales no está definida la función z = f(x;y).

¿Cuándo se produce un incremento total en una función?. f(x,y) se incrementa simultáneamente a "x" en Δx y a "y" en Δy. Cuando se calcula z = f(x,y) en un punto. f(x,y) experimenta un incremento en "x" de Δx. f(x,y) se incrementa primero a "x" en Δx y luego se incrementa a "y" en Δy.

¿Qué es una línea y una superficie de nivel?. Línea de nivel es el conjunto de todos los puntos (x;y) en los que la función z=f(x;y) toma el mismo valor, y superficie de nivel es el conjunto de todos los puntos (x;y;z) en los que la función u=f(x;y;z) toma el mismo valor. Una línea de nivel es la intersección entre cualquier plano y la superficie z=f(x;y), y la superficie de nivel es la intersección de una esfera con el espacio. f(x,y,z) es el conjunto de puntos en donde la imagen es siempre igual a cero.

¿Qué es un campo vectorial?. Son funciones a las que a un conjunto de "n" variables independientes le corresponde como imagen un conjunto de "m" valores (un vector), con n mayor o igual y m mayor o igual 2. Son funciones a las que a una variable independiente le corresponde como imagen un conjunto de "m" valores. Son funciones a las que a un conjunto de "n" variables independientes le corresponde como imagen un conjunto de "n-1" valores.

Identifique el tipo de función dada por F(x,y) = [P(x,y), Q(x,y)]: Campo vectorial. Campo escalar. Función vectorial.

La expresión y1 = f1(x1, x2,..., xn), y2 = f2(x1, x2, ..., xn), ... , ym = fm(x1, x2, ... , xn) se clasifica como: Función vectorial. Campo vectorial. Campo escalar.

La matriz DF = [af1/ ax, af2/ax, af3/ax, ... , afm/ax] Representa. La matriz jacobiana de una función vectorial. La matriz jacobiana de un campo escalar. La matriz jacobiana de un campo vectorial.

¿Cómo está compuesta la matriz jacobiana de un campo vectorial?. Está compuesta por el diferencial de la función respecto a cada variable independiente. Está compuesta por la derivada segunda de la función respecto a cada variable. Está compuesta en sus filas por los vectores gradientes de las funciones componentes del campo vectorial.

¿Qué es el determinante jacobiano?. Es el determinante que resulta luego de desarrollar el método de Cramer. Es el determinante formado por las derivadas parciales de las funciones cuyas filas están definidas por las funciones y sus columnas por las variables con respecto a las que se derivan estas funciones. Es la suma algebraica de los vectores gradientes de un campo escalar.

¿Cómo se obtiene la derivada sucesiva de una función vectorial?. Calculando las derivadas sucesivas de la intersección de las funciones escalares componentes. Calculando las derivadas sucesivas de las funciones escalares componentes respectivas. Calculando las derivadas sucesivas de la suma de las funciones escalares componentes.

Un conjunto es conexo, si y solo si, todo par de puntos que pertenecen al mismo puede ser unido por una poligonal incluida en él: Verdadero. Falso.

Un entorno de un punto es reducido cuando: Se incluye todo el espacio exterior del circulo/esfera. Se excluye su centro. Está formado únicamente por los puntos de su frontera. Su radio es igual a cero.

Un conjunto en Rn se define como conjunto abierto cuando: Contiene únicamente a sus puntos exteriores. Está formado solo por sus puntos interiores. Contiene a todos los puntos de su frontera. Carece de puntos de acumulación.

Si al calcular los límites sucesivos (o iterados) de una función z = f(x,y) en el punto P0 se obtienen resultados distintos, se concluye que: El límite doble existe y es igual al mayor de ellos. La función no tiene límite doble en el punto P0. La función es necesariamente continua en P0. Deben calcularse los límites radiales para confirmar la existencia del límite.

Al calcular límites radiales mediante trayectorias y = m x, si el resultado depende de la pendiente m, esto demuestra que: La función no tiene límite doble en dicho punto. Existe un único límite que varía linealmente con m. La discontinuidad es de tipo evitable. El límite simultáneo vale cero.

¿Cuáles son las tres condiciones básicas para que una función z = f(x,y) sea continua en un punto P0(x0, y0)?. Que exista el límite doble al tender a P0, que la función esté definida en P0, y que el límite sea igual al valor de la función en P0. Que existan los límites sucesivos, que la función sea derivable y que f(x0, y0) = 0. Que la frontera esté incluida en el dominio, que el entorno sea reducido y que los límites radiales sean nulos. Que los límites iterados sean infinitos y la función esté acotada.

Una discontinuidad en una función de varias variables se clasifica como evitable cuando: No existe el límite doble en el punto considerado. Existe el límite doble en el punto, pero la función no está definida en él o el valor de la función no coincide con el límite. Los límites sucesivos resultan indeterminados e insalvables. Las derivadas parciales son infinitas.

¿A qué equivale el valor numérico de la derivada parcial af(x,y) / ax en un punto de una superficie z = f(x,y)?. Al valor del incremento total ∆z de la función. A la tangente del ángulo de inclinación de la recta tangente a la superficie, en el punto considerado, en la dirección del eje 0x. A la longitud de la recta normal trazada desde el origen de coordenadas. Al valor de la proyección del gradiente sobre el eje 0y.

¿Cuándo se considera que una función de varias variables es derivable en un punto?. Cuando sus derivadas parciales son únicas y finitas en ese punto. Únicamente cuando su incremento total es estrictamente nulo. Cuando sus derivadas parciales son infinitas y discontinuas. Cuando el determinante jacobiano es igual a cero en dicho punto.

Según el Teorema de Schwarz (o Clairaut), ¿qué condición garantiza que las derivadas parciales cruzadas de segundo orden sean iguales (f ''xy = f ''yx)?. Que la función sea implícita y su gradiente sea nulo. Que las derivadas parciales a calcular sean continuas en un entorno del punto interior al dominio. Que los incrementos ∆x y ∆y tiendan a infinito. Que el determinante de la matriz jacobiana sea igual a uno.

¿Qué representa el Diferencial Total dz de una función z = f(x,y)?. El valor exacto del incremento de la función para cualquier incremento arbitrario. La parte principal del incremento total de la función, siendo una expresión lineal respecto de dx y dy. La suma de los infinitésimos de orden superior respecto a la distancia entre puntos. El producto escalar entre el vector normal y el plano tangente.

¿Qué expresa un Diferencial Parcial de una función respecto a una variable independiente xi?. La variación exacta del incremento total $\Delta z$ cuando varían todas las variables simultáneamente. La variación aproximada de la función causada por el incremento de esa sola variable $x_i$, manteniendo constantes las demás. La derivada de segundo orden calculada únicamente respecto a la variable xi. La distancia desde el origen de coordenadas al plano tangente.

¿En qué principio físico se fundamenta que el Diferencial Total sea igual a la suma de los Diferenciales Parciales?. En el principio de conservación de la energía. En el principio de superposición de los efectos. En la ley de la gravitación universal. En el teorema del valor medio de Lagrange.

Para calcular el máximo error posible en una función z = f(x,y) debido a pequeños errores dx y dy, ¿cómo se combinan las derivadas parciales y los errores?. Se restan los productos de las derivadas parciales por los errores. Se toman los valores absolutos de las derivadas parciales y de los errores para sumar sus aportes. Se dividen los errores entre el determinante jacobiano. Se calcula únicamente la derivada direccional a 45°.

¿Qué es el Determinante Jacobiano en la derivación de sistemas de funciones implícitas?. Es el determinante formado por las derivadas parciales de las funciones cuyas filas corresponden a las funciones y sus columnas a las variables respecto a las cuales se deriva. Es la suma de los determinantes de las derivadas de segundo orden. Es la matriz de las derivadas segundas cruzadas de Schwarz. Es el producto vectorial de los vectores normales al plano tangente.

¿Cuál es la interpretación geométrica de la Derivada Direccional de una función z = f(x,y) en un punto P(x,y) siguiendo la dirección de un vector S?. Es la distancia perpendicular desde el punto al plano xy. Es la pendiente de la recta tangente a la superficie, en el punto considerado, en la dirección de dicho vector S. Es el área encerrada por la curva intersección con el plano x = cte. Es el módulo del vector normal a la superficie que pasa por el origen.

¿Cómo se define el Vector Gradiente f(x,y) de un campo escalar z = f(x,y)?. Es un escalar que resulta de la suma de las derivadas parciales de primer orden. Es un vector cuyas proyecciones sobre los ejes coordenados son los valores de las derivadas parciales de la función en el punto: af/ax i + af/ay j. Es la recta normal a la superficie que pasa por el origen de coordenadas. Es el determinante jacobiano de la función vectorial asociada.

¿En qué dirección apunta el Vector Gradiente en cada punto P(x,y) de un campo escalar?. En la dirección en la cual la Derivada Direccional es mínima o nula. En la dirección según la cual la Derivada Direccional es máxima. Únicamente en la dirección del eje 0z. En la dirección tangente a la línea de nivel.

¿Cuál es la relación geométrica entre el Vector Gradiente en un punto P(x,y) y la Línea de Nivel que pasa por ese mismo punto?. El vector gradiente es tangente a la línea de nivel. El vector gradiente está dirigido según la Normal a la línea de nivel en ese punto. El vector gradiente forma un ángulo de 45° con la línea de nivel. No existe ninguna relación geométrica entre ambos.

¿Cuánto vale la Derivada Direccional de una función z = f(x,y) en la dirección de la recta tangente a su Línea de Nivel en un punto dado?. Es igual al valor máximo del gradiente. Es igual a cero. Es igual al incremento total ∆z. Depende del ángulo de inclinación de la recta normal.

¿Cuál es la condición necesaria para que exista un extremo relativo en una función z = f(x,y)?. Las derivadas parciales de primer orden, si existen, deben ser iguales a cero en dicho punto (fx = 0 y fy = 0). Las derivadas parciales de segundo orden, si existen, deben ser iguales a cero. Solo es necesario que una derivada parcial de segundo orden sea igual a cero.

¿Qué son los Puntos Críticos o Puntos Estacionarios de una función de varias variables?. Son aquellos puntos del dominio donde las derivadas parciales de primer orden de la función se anulan. Son los puntos donde el determinante Hessiano es idénticamente nulo. Son los puntos donde la función no se encuentra definida.

La condición necesaria (fx = 0 y fy = 0), ¿es suficiente para demostrar la existencia de un extremo de la función?. Sí, siempre que las derivadas parciales sean continuas en el dominio. No, no es suficiente, pues existen puntos donde las derivadas parciales de primer orden se anulan y sin embargo no hay extremo (llamados Puntos de Ensilladura). Sí, porque en esos puntos el plano tangente es perpendicular al eje $0z$.

¿Qué se entiende por Punto de Ensilladura o Punto Silla?. a) Un punto crítico donde la función no presenta ni un máximo ni un mínimo porque el incremento ∆f cambia de signo según la dirección en que se incremente. Un punto donde la función alcanza su valor máximo absoluto dentro del dominio. Un punto crítico donde el Hessiano es estrictamente positivo.

¿Qué determina el valor del Hessiano H(x0,y0) en un punto crítico respecto a la existencia de un extremo?. Si su valor es negativo existe un máximo, si su valor es positivo existe un mínimo y si su valor es cero existe un punto de ensilladura. Si su valor es positivo puede existir un máximo o mínimo; si su valor es negativo hay un punto de ensilladura y si su valor es cero puede o no existir un extremo. Su valor determina únicamente la cantidad de extremos que presenta la función.

Si al evaluar el Hessiano en un punto crítico se obtiene H(x0, y0) = 0, ¿qué conclusión se extrae?. Se concluye que hay con certeza un punto de ensilladura. Nada puede asegurarse mediante este criterio, pudiendo existir o no un extremo (siendo necesario un estudio particular). Se afirma que la función carece de plano tangente en ese punto.

¿Cuándo se dice que una función z = f(x,y) tiene un MÁXIMO RELATIVO en un punto P0(x0, y0) según el signo de su incremento?. Cuando para todo incremento suficientemente pequeño de las variables resulta ∆f = f(x0 + ∆x, y0 + ∆ y) - f(x0, y0) < 0. Cuando para todo incremento resulta ∆f > 0. Cuando el incremento resulta estrictamente igual a cero.

¿Qué es un máximo o mínimo condicionado?. Son extremos determinados de una función de varias variables donde no todas son independientes, sino que están relacionadas entre sí por condiciones adicionales. Son extremos calculados bajo ciertos parámetros y/o intervalos de la función. Son extremos determinados luego de cumplir con la condición de que el valor del hessiano sea cero.

Al desarrollar la Fórmula de Taylor para una función en el punto x0 = 0, ¿qué nombre particular recibe dicha fórmula?. Fórmula de Maclaurin. Fórmula de Lagrange. Fórmula de Clairaut.

¿Qué utilidad principal tiene la Fórmula de Taylor para una función de dos variables z = f(x,y) en un entorno de un punto P0(x0, y0)?. Permite obtener un valor aproximado de f(x,y) sustituyendo la función por un polinomio, conociendo el valor de la función y sus derivadas parciales sucesivas en P0. Permite calcular el valor exacto de las raíces discontinuas de la función. Sirve únicamente para determinar si una función es conexa o abierta.

Al aplicar el Método de Lagrange para una función de n variables con m ecuaciones de condición, ¿cuál es la restricción sobre el número de condiciones m?. Debe cumplirse que m < n (el número de condiciones debe ser menor al número de variables). Debe cumplirse que m > n. Debe cumplirse estrictamente que m = n.

La función z = x^2 + y^2$ presenta en el punto (0,0): Un Mínimo Relativo, ya que para todo (x,y) ≠ (0,0) se cumple que f(x,y) > f(0,0) = 0. Un Máximo Relativo. Un Punto de Ensilladura.

La función z = -x^2 + y^2$ en el punto (0,0) anula sus derivadas parciales de primer orden (fx = 0, fy = 0), pero presenta en dicho punto: Un Punto de Ensilladura. Un Mínimo Relativo. Un Máximo Relativo.

¿Cómo se define una Función Vectorial?. Una función que asigna a un conjunto de $n$ variables independientes un número real. Las funciones vectoriales son funciones a las que a una variable independiente le corresponde como imagen un conjunto de m números reales o un vector de m componentes. Una función que asigna a cada punto de Rn una única variable escalar.

¿Cómo se determina el Dominio de una Función Vectorial r(t) = [f(t), g(t), h(t)]?. Es la unión de los dominios de sus funciones componentes. El dominio de una función vectorial es el conjunto de valores de t para los que la función está definida, el cual resulta de la intersección de los dominios de sus funciones escalares componentes. Es siempre el conjunto de todos los números reales.

¿Cómo se calcula el Límite de una Función Vectorial r(t) = [f(t), g(t), h(t)] cuando t → t0?. El límite de una función vectorial se obtiene tomando los límites de sus funciones escalares componentes. Se calcula únicamente sobre la primera función componente f(t). Se obtiene calculando el producto escalar de las funciones componentes.

¿Cuál es la condición para que una Función Vectorial r(t) sea continua en t = t0?. Que el módulo de la función sea constante en todo su dominio. Una función vectorial r(t) es continua en t = t0 si sus funciones escalares componentes son continuas en t = t0. Que sus derivadas parciales sean nulas en t = t0.

¿Qué representación geométrica genera una Función Vectorial r(t) continua en R3?. Un plano tangente. Una superficie de nivel. Cualquier función vectorial define una curva alabeada en el espacio que se forma por la punta del vector en movimiento.

¿Cómo se obtiene la Derivada de una Función Vectorial r(t) = [f(t), g(t), h(t)]?. Calculando el producto vectorial de sus componentes. La derivada de una función vectorial se obtiene derivando cada una de sus funciones escalares componentes respecto a la variable independiente t. Sumando los valores de las componentes e integrando respecto de t.

¿Cuál es la interpretación geométrica del vector derivada r(t) de una función vectorial en un punto M?. Es un vector normal a la superficie de nivel en el punto M. El vector r'(t)$ es un vector tangente a la curva definida por r(t) en el punto M, siempre que exista y sea distinto de cero. Es un vector perpendicular a la recta tangente.

Si el parámetro t representa el tiempo, ¿qué significan físicamente la primera y la segunda derivada de r(t)?. La primera derivada es el vector aceleración y la segunda es el vector velocidad. La primera derivada dr/dt es el vector velocidad y la segunda derivada d^2r / dt^2 es el vector aceleración del extremo del vector r(t). La primera derivada es la masa y la segunda es la fuerza.

¿Cómo se obtiene la Derivada Sucesiva de una Función Vectorial?. Se obtienen calculando las derivadas sucesivas de las funciones escalares componentes respectivas. Calculando las derivadas sucesivas de la intersección de las funciones componentes. Calculando las derivadas de la suma de las funciones componentes.

¿Qué es un Campo Vectorial?. Una función a la que a una variable independiente le corresponde un único escalar. Los campos vectoriales son funciones a las que a un conjunto de n variables independientes le corresponde como imagen un conjunto de $m$ valores (un vector), con n ≥ 2 y m ≥ 2. Una función que asigna a un vector un único número real positivo.

Identifique la siguiente función: F(x,y) = [P(x,y), Q(x,y)]: Campo vectorial. Campo escalar. Función vectorial.

¿Cómo está compuesta la Matriz Jacobiana de un Campo Vectorial?. Está compuesta por las derivadas de segundo orden de cada componente. Está compuesta por el diferencial de la función respecto a cada variable independiente. Está compuesta en sus filas por los vectores gradientes de las funciones componentes del campo vectorial.

¿Cuándo se habla de Determinante Jacobiano o Determinante Funcional?. Cuando la matriz jacobiana es rectangular con m > n. En el caso de ser m = n la matriz es cuadrada y el determinante de dicha matriz es el determinante jacobiano. Cuando se suman todos los elementos de la diagonal secundaria de la matriz.