1. Dada la ecuación: 3x + 2y = 2 definida en el plano, una de las soluciones es:
a) (1/5, 1/3) b) (1/3, ½) c) (3, 2) d) (-1, ½)
Procedamos a verificar cuál de las alternativas hace que se cumpla la igualdad.
c) (3,2)
3x + 2y = 2 → 3(3) + 2(2) = 4 → 9 + 4 =4 → 13 = 4 falso
b) (1/3, ½)
(1/3)(3) + (1/2)(2= 2 → 1 + 1 = 2 → 2 = 2 correcto Resp. (b) . B.
2. En el triángulo dado, el valor de x es:
a) 2√2 b) 2 c) 3 d) 12
Aplicando Pitágoras:
5^2 = 3^2 + (2x)^2 → 25 = 9 + 4x^2 → 16 = 4x^2 → x =+ 2; x= -2
Se descarta la solución negativa → x = 2 Resp. (b)
. B.
3. Se desea construir un cubo con el mínimo número de bloques de cemento cuyas medidas
en centímetros son 12 x 8 x 5. Se desea saber ¿Cuánto medirá el lado del cubo?
a) 24 cm b) 48 cm c) 60 cm d) 120 cm
Nos piden que L sea múltiplo de 5, 8 y 12; y en particular que sea el mínimo común
múltiplo. Entonces n, m y p son los números que me permiten llevar cada dimensión
hasta el mínimo múltiplo L.
Entonces lo que me están pidiendo es L = ?
m.c.m. (12; 8 y 5) = m.c.m. (2^2*3; 2^3, 5) = 120 cm Resp. d)
. D.
4. Dada F(x) = x2 + 4x – 12, cuáles son las raíces de la ecuación F(x+1) = 0.
a) 1 y -3 b) -3 + 2 √3 c) -7 y 1 d) 2 + 3 √5
(x+1)2 + 4(x+1) – 12 = 0 → x2 + 2x + 1 + 4x +4 – 12 = 0 → x2 + 6x – 7 = 0
→ (x+7) (x-1) = 0 →x1 = -7; x2 = 1 Resp. c)
. C.
5. A cuánto equivale (-2x)^-4 (el símbolo ^significa "elevado" a la -4):
a) 1/16x4 b) -1/16x4 c) 16x^-4 d) 1/16x^-4.
(-2x)^-4 → (-2x)^-4 = 1/(-2x)^4 = 1/16x4 Resp. (a) A .
6. La ecuación de la función cuadrática representada en la figura, es:
En la gráfica se observa que los puntos de corte con el eje X son: x1 = 0, x2 = 2
Estas raíces nos permiten construir la ecuación cuadrática correspondiente:
(x-0)(x-2) = x2 -2x Resp. (c)
. C.
7. El número de baldosas cuadradas, de 10 cm de lado, que se necesitan para enlosar una superficie rectangular de 4 m
de base por 3 m de altura, es:
a) 1.200 b) 12.000 c) 12.020 d) 120
4 m = 400 cm
3 m = 300 cm
A = 400 cm x 300 cm = 120.000 cm2
120.000 cm2/100 cm2 = 1.200 baldosas Resp. (a)
A .
8. En la figura adjunta ¿Cuál de los siguientes pares ordenados podrían ser las coordenadas del vértice S?
a) (2, 9) b) (3, 9) c) (4, 8) d) (5, 10)
Hallemos el punto medio de la coordenada X de los vértices de la base.
(-1 + 7)/2 = 6/2 = 3
Puesto que el triángulo es isósceles su altura lo corta en el punto medio. Entonces,
la abcisa del punto medio es la misma que la del vértice S.
(3,9) Resp. (b)
. B.
9. La expresión 2^1/3 + 2^1/2 es equivalente a:
a) 2^1/5 b) 2^1/2(1+2^2/3) c) 2^1/3(1+2^1/6) d) 2^1/6
2^1/3 + 2^1/2 = 2^1/3 (1 + 2^1/6) Resp. (c)
2^1/3 es el factor común porque es menor que 2^1/2 . C.
10. Al simplificar (x3y – y3x)/x2y – y2x obtenemos:
a) x2 + y2 b) x2 - y2 c) x - y d) x+ y
xy(x2 – y2)/ xy(x-y) = (x+y)(x-y)/x-y = x+y Resp. (d)
. D.
11. El cociente entre (5^2n+1 – 25^n) y 5^2n+2 es:
a) 4/25 b) 1/5 c) 2/5 d) 5^1-4n
(5^2n+1 – 25^n)/ 5^2n+2 = (5^2n+1 – (5^2)^n)/ 5^2n+2 = (5^2n+1 – 5^2n)/5^2n+2 = 5^2n (5 - 1)/5^2n+2
= 4 (5^2n)/(5^2n)(5^2)= 4/25 Resp. (a)
A .
. . B.
13. En la figura la cuerda AB es la mitad del diámetro. ¿Cuánto es la medida del ángulo AOB?
a) 60º b) 90º c) 45º d) 100º
Nótese que OB = OD = AB = mitad del diámetro → AOB es triángulo equilátero
Entonces: ángulo AOB = 60º Resp. (a)
A .
14. Sea la expresión p = x2− 2. Si x aumenta en 2, entonces p experimenta un aumento de:
a) 2x b) x2+ 4x +2 c) 2x2 – 4 d) 4x + 4
p’ = (x+2)2− 2 = x2 +4x +4-2 = x2 +4x +2
p’-p = x2 +4x +2 – (x2− 2) = x2 +4x +2 – x2+2 = 4x + 4 Resp.(d)
. D.
15. En el triángulo ABC, CD es la bisectriz del ángulo ACE, CE es la altura. El valor
del ángulo X es:
a) 22.5º b) 15º c) 18º d) 36º
El ángulo ACE es = 180º -90º -45º = 45º
La bisectriz CD divide en dos ángulos iguales al ángulo ACE → X = 45º/2
= 22.5º Resp. (a)
A .
. . B.
. C .
18. Una ecuación que tenga por raíces a x1 = 2 + √2 y x2 = 2 - √2 es:
a) x2-4x +2 b) x2+4x +2 c) -x2-4x +2 d) x2-4x -2
Hallemos la ecuación a través del producto de las raíces: (x-x1) (x-x2)
[x-(2 + √2)] [x-(2 -√2)]= (x-2 - √2)(x-2 +√2)]= [(x-2) + √2] [(x-2 )-√2)]=
Resolvamos como el producto notable de la suma por la diferencia
[(x-2) + √2] [(x-2 )-√2)]= (x-2)2- (√2)2 = x2-4x +4-2 = x2-4x +2 Resp. (a)
A .
19. El resultado de la ecuación (1/4)^(X+3)/2 = 1/2^2X, es:
a) 1 b) 1/3 c) 2 d) 3
(1/4)^(X+3)/2 = 1/2^2X → 4^(X+3)/2 = 2^2X → 2^2(X+3)/2 = 2^2X → 2^X+3 = 2^2X Si las bases son iguales los
exponentes también deben ser iguales → x+3 = 2x → x = 3 Resp. (d)
. D.
20. De una lámina de metal rectangular de 5 m de largo por 3 de ancho se
fabrica una caja sin tapa, cortando en cada una de las esquinas, cuadrados
iguales de x metros de lado, como se indica en la figura (líneas punteadas) y
se doblan hacia arriba. ¿Cuál es una fórmula para el volumen de la caja en
función de x?
a) 2x(5 – 2x)(3 – 2x) b) 2x(5 – x)(3 – x)
c) x(5 – 2)(3 – x) d) x(5 – 2x)/(3 – 2x)
El largo de la caja es: 5-2x
El ancho de la caja es: 3-2x
La altura es: x
El volumen de la caja es: x(5 – 2x)(3 – 2x) Resp. (d)
. D.
21. Hallar el máximo común divisor de: 8x2y3 , 12x3y5
a) 4x2y3 b) 2xy c) x2y3 d) xy
M.C.D = comunes con su menor exponente
8x2y3 = 2^3x2y3
12x3y5 = (2^3)3x3y5
M.C.D = (2^2) x2y3 = 4x2y3 Resp. (A) A .
22. En la figura adjunta aparece una porción de la gráfica de una función f. ¿Cuál es la
expresión matemática que genera esta función?
f(x) = -2/x b) f(x) = 1- 1/2x c) f(x) = (x+1)/2x d) f(x) = (x-1)/x
Según la gráfica cuando x=1, y= 0. Esta condición sólo la cumple la
alternativa d) Resp. (d) . D.
23. Tres móviles parten al mismo tiempo y del mismo punto en una pista circular, los cuáles tardarán 60 s.; 90 s. y 72 s. en
cada vuelta ¿Cuántas vueltas habrá dado cada móvil cuando hayan pasado nuevamente y a la vez por la línea de
partida?
a) 5; 8 y 4 b) 2; 3 y 6 c) 6; 4 y 5 d) 2; 3 y 4
Los móviles coincidirán por 1ra vez en el punto de partida:
m.c.m. (60; 90; 72) = m.c.m. (2^2 *3*5; 3^2*5*2; 2^3*3^2)= 2^3 *3^2*5 = 360 s
El auto de los 60 s habrá dado: 360/60 = 6 vueltas
El auto de los 90 s habrá dado: 360/90 = 4 vueltas
El auto de los 60 s habrá dado: 360/72 = 5 vueltas
Resp. (c)
C .
24. Cuánto vale el ángulo en el vértice de un triángulo isósceles sabiendo que es el doble de los ángulos de la base.
a) 90° b) 30° c) 45° d) 60º
Si X es el ángulo de las bases del triángulo isósceles: 180º = 2X + X + X → 4X = 180º
→ X = 45º, pero piden 2X = 90º Resp. (a)
A .
25. Hallar el área sombreada en la siguiente figura, sabiendo que 3 es la distancia mínima de
contacto entre la circunferencia menor y el centro O de la circunferencia mayor :
a) 64 π b) 39 π c) 57.75 π d) 25 π
D (círculo pequeño) = 8 – 3 = 5 → R = 5/2
A (sombreada) = π 8^2 – π (5/2)2 = π(64 – 25/4) = π(64 – 6.25) = 57.75 π Resp. C
C .
26. Un móvil realiza dos desplazamientos consecutivos; en el primero, se desplaza 5
metros en la dirección x positiva. El segundo desplazamiento es tal que el punto de
llegada es: (7, 2) m. Esto significa que el segundo desplazamiento fue de magnitud:
a) 2√2 m b) √53 m c) √45 m d) 2 m
Aplicando Pitágoras:
D2 = 2^2 + 2^2 = 8 → D = √8 = 2√2 Resp. (a)
A .
27. La expresión X2 – 7 es equivalente a:
a) (X + √7) (X - √7) b) (X - √7) √7/X c) (√X – √7)^2 d) (X/7 - √7) (X/7 + √7)
Esta expresión X2 – 7 es equivalente al producto notable conocido como “la suma por la
diferencia” o el “Producto de binomios conjugados” (X + √7) (X - √7) Resp. (a)
A .
28. Resolver la siguiente ecuación exponencial: 4√(3^2x-1) = 9
a) x = ½ b) x = 9/2 c) x = 0 d) x = 4/9
4√(3^2x-1) = 9 → 3^(2x-1)/4 = 3^2 → (2x-1)/4 = 2 → x= 9/2 Resp. (b)
Si las bases son iguales, también los exponentes lo serán.
. B.
29. Con el objetivo de analizar el desplazamiento de una partícula, se obtiene la gráfica
que se muestra en la figura. La expresión de esta función es:
a) y = x + 3 b) y – 3x -3 = 0 c) y = 3-x d) y +x + 3 = 0
Esta función es lineal de pendiente negativa y con b = 3. Esto concuerda
con y = -x + 3 Resp. (c)
C .
30. Como se muestra en la figura, hemos quitado al triángulo equilátero ABC
, de lado 3 cm, un triángulo de la esquina con DB = EB = 1 cm. ¿Cuál es el
perímetro en cm del cuadrilátero ADEC que queda?
a) 6 b) 8 c) 7 d) 6.5
Puesto que DE es paralelo a AC, entonces ángulos A y C son iguales a los ángulos D y E, respectivamente. Es decir, el triángulo ABC es semejante con el triángulo DBE. Entonces, DE = 1
CE = AD = 3-1 = 2
P(ADEC) = 3 +2 +2 +1 = 8 Resp. (b) . B.
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