variable compleja

¿cómo se define un número complejo z?. Como un par ordenado (x, y) de números reales. Como la solución a la ecuación x^2 + 1 = 0. Como un punto en el eje de las abscisas (x, 0). Únicamente como un número imaginario puro de la forma (0, y).

Si z_{1}=(x_{1},y_{1}) y z_{2}=(x_{2},y_{2}), ¿cuál es la definición de la suma z_{1}+z_{2}?. (x_{1}-x_{2}, y_{1}-y_{2}). (x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}, y_{1}x_{2}+x_{1}y_{2}). (x_{1}x_{2}, y_{1}y_{2}). (x_{1}+x_{2}, y_{1}+y_{2}).

Si z_{1}=(x_{1},y_{1}) y z_{2}=(x_{2},y_{2}), ¿cuál es la definición del producto z_{1}z_{2}?. (x_{1}+x_{2}, y_{1}+y_{2}). (x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}, y_{1}x_{2}+x_{1}y_{2}). (x_{1}x_{2}, y_{1}y_{2}). (x_{1}y_{1}-x_{2}y_{2}, x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}).

¿Cómo se define el conjugado de un número complejo z=x+iy?. -x - iy. -x + iy. x - iy. V(x^2 + y^2).

¿Cuál es la definición del módulo ∣z∣ de un número complejo z=x+iy?. x + y. x - iy. x^2 + y^2. V(x^2 + y^2).

Según las propiedades del módulo y el conjugado, ¿cuál es la relación que permite calcular el inverso z^{-1} de un número complejo z distinto de 0?. z^{-1} = \frac{conjugado{z}}{|z|^2}. z^{-1} = \frac{|z|^2}{conjugado{z}}. z^{-1} = conjugado{z}. z^{-1} = \frac{z}{|z|}.

¿Cuál es la fórmula de Euler que define el símbolo e^iθ?. e^{i\theta} = \cos\theta - i\sin\theta. e^{i\theta} = \sin\theta + i\cos\theta. e^{i\theta} = r(\cos\theta + i\sin\theta). e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta.

Dado un número complejo z = re^{i\theta}, ¿cuál es la fórmula de Moivre para z^n?. z^n = r^n e^{in\theta}. z^n = r^n (\cos\theta - i\sin(n\theta)). z^n = r^n e^{i\theta}. z^n = r e^{in\theta}.

Geométricamente, ¿qué representa la desigualdad ∣z∣≤2?. Los números complejos fuera de la circunferencia de radio 2. Los números complejos en el primer cuadrante con módulo 2. Únicamente los números complejos sobre la frontera de la circunferencia de radio 2. Los números complejos en el interior y la frontera de la circunferencia de radio 2.

Según el teorema para determinar las raíces n-ésimas de un número complejo a = \rho e^{i\phi}, ¿cuántas raíces distintas existen?. Dos raíces, una positiva y una negativa. Infinitas raíces, debido a la periodicidad del argumento. n raíces distintas. Una raíz, que es \sqrt[n]{\rho} e^{i\phi/n}.

¿Cuál es el resultado del producto z \bar{z} para un número complejo z = x + iy?. x^2−y^2+2ixy. |z|^2. 2x. 0.

Sea a un número real tal que z_{1}=\frac{3+ai}{4+2i} es un número imaginario puro. ¿Cuál es el valor de a?. -6. 12. -12. 6.

Sea w_2 = 3/2-3/2V3i una de las tres raíces cúbicas del número z_2 = -27. ¿Cuál es el módulo de w_2?. 27. 9. 3. 1.

Considere w_1 = -3. ¿Cuál es el valor principal del logaritmo complejo {Log}(w_1)?. 3 + i.pi. ln(-3) + i.pi. ln(3) + i(2pi k), k perteneciente a {Z}. ln(3) + i.pi.

¿Cuál es el dominio de la función compleja f(z)=\frac{3z-i}{z^3+27}?. C. C\{w_o,w_1,w_2}. C\{i/3}. C\{3}.

La expresión general para los valores de w_{0}^{-i}, donde w_0 = 3/2}+3/2 sqrt{3}i, es: e^{pi/3+2pi n} e^{-iln(3)}, donde n pertenece a {Z}. e^{ln(3)+i(pi/3+2pi n)}. e^{pi/3 + 2pi n}. e^{pi/3}+2pi n + iln(3)}.

¿Qué es correcto decir sobre lim_{z\to 0} f_1(z), donde f_1(z) = \frac{z}{conjugado{z}}?. es -1. no existe. es 1. es 1/2.

¿Qué es correcto decir sobre la derivabilidad de la función f_4(z) = z^2 - 3z?. Es derivable solo en z=0. No es derivable en {C} porque no satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Es derivable solo en el eje real. Es derivable en todo {C} y su derivada es f_4'(z) = 2z - 3.

¿Cuál es el valor de la derivada de la función g(z) = e^{z^2-3z}, para z=i?. e^{-1-3i}. e^{-1-3i} (2i+3). e^{-1-3i} (2i-3). (2i-3) e^{i^2} - 3e^i.

¿Qué es correcto decir sobre la derivabilidad de f_3^2(z) = ||z-i||^2?. Es derivable en todo {C}. Es derivable solo en el punto z=i. Es derivable en el eje real. No es derivable en {C}.

Sea u(x,y) = {Re}(f_4(z)) + {Im}(f_4(z)), donde f_4(z) = z^2-3z$. ¿Es u(x,y) armónica en {R}^2?. Sí, u(x,y) es armónica. No, porque no se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Sí, pero solo en el origen. No, porque $u_{xx} \ne 0$.

¿Cuál es la expresión general para el logaritmo de z = i?. 1 + i(pi/2 + 2pi k). ln(1) + i(pi/2 + 2pi k). i(pi/2 + 2k). i pi/2.

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa acerca de las raíces quintas de la unidad (z^5=1)?. La suma de todas las raíces es $0$. Todas las raíces tienen módulo igual a $1$. Las raíces son los vértices de un pentágono regular. La suma de todas las raíces es 5.

Una función f(z) = u(x,y) + iv(x,y) es analítica en un dominio si las Ecuaciones de Cauchy-Riemann (CR) y la continuidad de sus derivadas parciales se cumplen. ¿Cuál de las siguientes es una de las ecuaciones de CR?. du/dy=dv/dx. du/dx=- dv/dy. du/dx + dv/dy=0. du/dx= dv/dy.

Si u(x,y) = x^2 - y^2 + 3x es la parte real de una función analítica f(z), ¿cuál es su conjugada armónica v(x,y)?. v(x,y) = x^3 - 3xy^2 + C. v(x,y) = 2xy + 3y + C. v(x,y) = 2xy - 3y + C. v(x,y) = 2xy + 3x + C.

¿Qué región del plano complejo describe la inecuación ∣∣z−(2+i)∣∣<3?. Una circunferencia de radio 3 centrado en z_0 = 2+i. Un disco abierto de radio 3 centrado en z_0 = 2+i. El exterior de un círculo de radio 3 centrado en z_0 = 2+i. El interior de un círculo de radio 3 centrado en z_0 = 2-i.

¿Cuál es la imagen bajo la función w=f(z)=z^2 del cuadrante superior derecho del plano z (Re(z)>0 e Im(z)>0)?. Todo el plano w. El semiplano superior (donde {Im}(w) > 0). El primer cuadrante solamente. El primer y cuarto cuadrante.

¿Cuál es el valor de sin(i)?. cosh(1). isinh(1). 0. sin(1) i.

Determine si el límite lim_{z\to 0} f_2(z), donde f_2(z) = {Re}(z)}/z, existe o no. El límite es 1/2. El límite no existe. El límite es 1. El límite es 0.

Si una función f(z)=u(x,y)+iv(x,y) es analítica en una región D y Re(f(z))=u(x,y)=5 (constante), ¿qué se puede concluir sobre f(z)?. f(z) solo es derivable en el origen. f(z) es analítica, pero no necesariamente constante. f(z) debe ser una función constante. f(z) tiene parte imaginaria nula.

Dada u(x,y) = x^3 - 3xy^2, ¿cuál de las siguientes funciones f(z) es una función analítica cuya parte real es u(x,y)?. f(z) = z^2 - 3z + iC. f(z) = z^3 + iC, con C perteneciente {R}. f(z) = (x^3 - 3xy^2) + i(x^2 - y^2) + iC. f(z) = conjugado {z}^3 + iC.

¿Cómo se define un número imaginario puro z en el sistema de números complejos {C} según el documento?. Un número complejo con parte real y parte imaginaria distintas de cero: z=(x, y) con x distinto 0 y y distinto 0. Un número complejo z=(x, y) donde la parte real es igual a la parte imaginaria, x = y. Un número complejo que se encuentra sobre el eje de las abscisas, es decir, de la forma z=(x, 0). Un número complejo que se encuentra sobre el eje de las ordenadas y cuya parte imaginaria es distinta de cero: z=(0, y) con y distinto 0.

Sean z_{1}=(3, -2) y z_{2}=(-1, 5) dos números complejos. ¿Cuál es el resultado de su suma z_{1} + z_{2}?. (2,−7). (-3, -10). (4, 7). (2, 3).

Si z=(1, -2), su inverso multiplicativo z^{-1} en la forma de par ordenado es: (1/5}, -2/5). (-1, 2). (1/3, 2/3). (1/5, 2/5).

El conjugado de un número complejo z = -5 + 3i es: 5-3i. -5-3i. 5+3i. 3-5i.

El módulo (o valor absoluto) del número complejo z = 4 - 3i es: V7. 1. 7. 5.

¿Cuál es la forma polar del número complejo z = 1 + i, si se considera que su módulo es |z| = sqrt{2} y su argumento es theta = pi/4?. z = sqrt{2}(cos(45°) - isin(45°). z = 2(cos pi/4) + isin(pi/4). z = sqrt{2}e^{i pi/4}}. z = sqrt{2}(cos(frac{pi/2}) + i sin({pi/2})).

Si z_1=r_1e^iθ_1 y z_2=r_2 e^iθ_2, ¿cuál es la forma exponencial del producto z_1z_2?. z_1z_2 = r_1^{r_2}e^{i theta_1theta_2}. z_1z_2 = (r_1r_2)e^{i theta_1 + theta_2}. z_1z_2 = (r_1r_2)e^{i theta_1 - theta_2}. z_1 z_2=(r_1+r_2)e^i(θ_1+θ_2).

De acuerdo con la Fórmula de Moivre (para n perteneciente {N}), si z = re^{i theta}, ¿cuál es la forma exponencial de z^{n}?. z^n = r^ne^{i theta^n}. z^n = r^ne^{i n theta}. z^n = r e^{i n theta}. z^n = (r + n)e^{itheta}.

Para encontrar las n-ésimas raíces de un número complejo alpha = re^{i theta}, las distintas raíces z_{k} están dadas por z_{k} = \sqrt[n]{r}e^{i theta_k} donde theta_k es: theta_k = theta/n} + 2pi/n. theta_k = theta/n + 2kpi. theta_k = (theta + 2kpi)/n. theta_k = (ntheta + 2kpi)/r.

Sea z = (3, -4). Determine el inverso multiplicativo de z, z^{-1}, en la forma de par ordenado (x, y). (3,4). (3/25,-4/25). (3/5,4/5). (3/25,4/25).

Sean los números complejos z_1 = 2e^{ipi/3} y z_2 = 3e^{ipi/6}. Calcule la parte real de su producto z_1 z_2. -6. 6. 6i. 0.

Utilizando la Fórmula de Moivre para potencias de números complejos, determine el valor de ( V3 −i)^6. 64. 64i. -64i. -64.

Sea z_1 =2+i y z_2=1−i. Utilizando la propiedad de que ∣z_1.z_2∣=∣z_1∣∣z_2∣, determine el módulo del producto ∣(2+i)(1−i)∣. V5. V2. V10. 3.

Determine la raíz cúbica principal (correspondiente a k=0) de α=8i. V3 + i. 2 e^i pi/3. 1+i V3. 2i.

Si z es un número complejo tal que z + 2. complejo{z} = 6 + 3i, determine el valor de la parte imaginaria de z, {Im}(z). -2. 2. 3. -3.

Determine el valor de i^2023/i^{-2024}. -1. -i. 1. i.

Si z = (1 + i)^4, determine el módulo del número complejo z/complejo z. -4. 16. 1. 4.

Determine el argumento principal (en el intervalo (−π,π]) del número complejo z=−3 V3+3i. -5pi/6. 2pi/3. 5pi/6. -pi/6.

¿Cuál es el resultado de la siguiente división: 10/(2+i) ?. 2-i. 4-2i. 20+10i. 5-2i.

Sea z un número complejo con módulo |z|=3 y argumento arg(z) = 5pi/4. Exprese z en su forma cartesiana x+iy. -3\sqrt{2}/2+i 3\sqrt{2}/2. 3\sqrt{2}/2+i 3\sqrt{2}/2. 3-3i. -3\sqrt{2}/2 - i 3\sqrt{2}/2.

Sea z_1=4e^iπ/4 y z_2=2e^(−iπ/2). Calcule el argumento principal de su cociente z_1/z_2. -pi/4. pi/4. -3pi/4. 3pi/4.

Calcule el módulo de w = i(1+i)(2-2i). 8. V10. 4. 2V2.

La solución a la ecuación (2+i)z = 5-5i es el número complejo z = a+bi. Determine el valor de la parte real, a. 1. 5. 2. -3.

Si z = r e^{i theta}, ¿cuál es la forma exponencial de z por el conjugado de z?. r^2 e^(i\theta^2). r e^(i0). r^2. r^2 e^{i(2theta)}.

¿Cuál es la definición formal de una E-vecindad o bola abierta de radio epsilon, centrada en z_0 perteneciente a{C}?. B_E(z_0):={z perteneciente {C}/|z-z_0| es menor que E}. B_E(z_0):={z perteneciente {R}/|z-z_0| es menor que E}. B_E(z_0):={z perteneciente {C}/|z-z_0| es igual que E}. B_E(z_0):={z perteneciente {C}/|z-z_0| es menor que E}.

De acuerdo con el texto, ¿qué condición debe cumplir un punto z_{0} perteneciente a G para que el subconjunto G incluido {C} sea considerado un conjunto abierto?. Debe ser posible unir z_{0} con cualquier otro punto de G mediante una línea poligonal dentro de G. Debe ser un punto interior de G, es decir, existe \epsilon>0 tal que B_{\epsilon}(z_{0}) incluido en G. Para todo epsilon>0, B_{\epsilon}(z_{0}) debe contener elementos de G y de G^{c}. Debe ser un punto de acumulación de G.

En el contexto de los números complejos, ¿qué se entiende por un dominio (G)?. Cualquier vecindad borrada o disco perforado. Un conjunto abierto no vacío que es conexo. Un conjunto acotado que contiene a todos sus puntos de acumulación. Un conjunto cerrado y acotado.

¿Cuál de las siguientes es una de las condiciones que debe cumplir una aplicación d:X×X→R para ser considerada una métrica en un espacio métrico (X,d)?. d(x,y)=-d(y,x) para todo x,y perteneciente a X. d(x,z) mayor o igual d(x,y)+d(y,z) para todo x,y,z perteneciente a X. d(x,y)=0 si y solo si x=y. Existe un M perteneciente a {R} tal que d(x,y) menor o igual que M para todo x,y pertenece a X.

Según el teorema mencionado en el texto, ¿qué propiedad esencial tiene el espacio de los números complejos ({C}, ||), con la métrica dada por el módulo?. Es un conjunto denso en {R}^{2}. Toda sucesión acotada tiene una subsucesión convergente. Es un espacio métrico completo, es decir, toda sucesión de Cauchy es convergente. Es un espacio métrico conexo por caminos.

Una sucesión de números complejos {z_n} con z_n=x_n+iy_n converge a a=x+iy si y solo si: La sucesión de las partes reales {x_{n}} converge a x, independientemente de la convergencia de {y_{n}}. La sucesión de sus módulos {|z_{n}|} converge a |a|. Existe un N que pertenece {N} tal que z_{n}=a para todo n mayor o igual a N. La sucesión de las partes reales {x_{n}} converge a x, y la sucesión de las partes imaginarias {y_{n}} converge a y.

Al igual que con las series de números reales, ¿cuál es una condición necesaria (aunque no suficiente) para que una serie de números complejos ∑ n=1 a ∞ a_n ​sea convergente?. La serie debe converger absolutamente, es decir, ∑ n=1 a ∞ Ia_nI converge. El radio de convergencia debe ser R>0. El límite de sus términos debe ser cero: lim_{n tendiendo a infinito de a_n=0. La sucesión de sumas parciales S_{N}debe estar acotada.

¿Qué significa que una serie de números complejos ∑ n=1 a ∞ de a_n converja absolutamente?. Que la serie ∑ n=1 a ∞ de a_n converge a un número real positivo. Que la serie∑ n=1 a ∞ de a_n converge, pero la serie ∑ n=1 a ∞ de Ia_nI diverge. Que el límite de las sumas parciales lim_{N tendiendo a infinito}S_{N} es un número real. Que la serie de números reales ∑ n=1 a ∞ de Ia_nI converge.

¿Cuál es la relación lógica correcta entre la convergencia absoluta y la convergencia de una serie de números complejos ∑ n=1 a ∞ de a_n ?. La convergencia y la convergencia absoluta son criterios equivalentes. La convergencia absoluta es necesaria, pero no suficiente, para la convergencia. Si la serie converge absolutamente, entonces la serie converge. Si la serie converge, entonces converge absolutamente.

Para una serie de potencias ∑ n=0 a ∞ de a_n(z-a)^n con radio de convergencia R, ¿qué se garantiza sobre su convergencia?. Converge absolutamente si |z-a|<R y diverge si |z-a|>R. Converge condicionalmente para |z-a|< o = R. Converge absolutamente si |z-a|>R y diverge si |z-a|<R. El criterio de la raíz y del cociente no deciden nada si |z-a| es desigual al R.

¿Cuál es la interpretación geométrica de un punto frontera z_{0} de un conjunto G incluido en {C}?. Para todo epsilon>0, la bola B_{epsilon}(z_0) contiene elementos de G y elementos del complemento G^{c}. Para todo epsilon>0, la bola borrada (B_{epsilon}(z_{0})-{z_{0}}) contiene al menos un punto de G. Existe epsilon>0 tal que B_{epsilon}(z_{0}) está totalmente contenida en G. |z_{0}|=R para algún radio R>0.

Si G es un subconjunto de {C}, ¿qué significa que G sea un conjunto cerrado?. El conjunto G es la unión de una cantidad finita de vecindades cerradas. Todos los puntos de G son puntos interiores de G. El complemento G^{c}={C}-G es un conjunto acotado. El conjunto G contiene a todos sus puntos de acumulación.

Considere la sucesión de números complejos {a_{n}}={i+\1/n!} desde {n=1} a infinito. ¿A qué valor converge esta sucesión?. a=0. a=i. a=1+i. a=1.

Si una sucesión {a_{n}} en un espacio métrico (X, d) es una sucesión de Cauchy, ¿qué se puede concluir sobre su convergencia?. La sucesión solo converge si se encuentra en el espacio de números reales o complejos . La sucesión siempre converge, independientemente del espacio métrico X. La sucesión diverge si el espacio X no está acotado. La sucesión converge si y solo si el espacio métrico (X, d) es completo.

Suponga que la serie ∑ n=1 a ∞ de a_n converge absolutamente. Esto implica que la sucesión de sumas parciales {S_N} es una sucesión de Cauchy. ¿Cuál es el paso clave en la prueba que utiliza la convergencia de ∑ n=1 a ∞ ∣a_n∣?. Utilizar que lim_{n tendiendo a infinito} |a_n|=0. El teorema que establece la convergencia de las partes real e imaginaria. El espacio {C} es conexo. Aplicar la desigualdad triangular: |S_{N}-S_{M}| = |∑ n=M+1 a N de a_nI menor o igual ∑ n=M+1 a N de Ia_nI.

En el caso de estudio, se analiza la serie de potencias sum_{n=0}a{infty} a_{n}(z-a)^n. ¿Cómo se relaciona el radio de convergencia R con la región A donde la serie tiene un valor numérico?. La región A es exactamente la frontera del disco, |z-a|=R. La serie converge absolutamente para z perteneciente B_{R}(a) y diverge para |z-a|>R. R solo se define si la serie converge condicionalmente. La serie converge absolutamente para todos z en el círculo |z-a|=R.

Considere la serie geométrica Sum_{n=0}^{infty} z^{n}. ¿Para qué valores de z\perteneciente a {C} esta serie es convergente y a qué valor converge?. Converge para todo z perteneciente a {C} a 1/(1-z). Converge a 1/(1-z) si |z|>1 y diverge si |z| < = 1. Converge a 1/(1-z) si |z|<1 y diverge si |z| > = 1.

En el contexto de series de potencias sum_{n=0}^{\infty} a_{n}(z-a)^{n}, ¿qué se puede afirmar sobre la convergencia en la frontera del disco, es decir, cuando |z-a|=R?. La serie siempre converge condicionalmente en todos los puntos de la frontera. El criterio de la razón o de la raíz no decide la convergencia, por lo que se requieren otros criterios (como el de Dirichlet o Abel) para la frontera. La serie siempre converge absolutamente en los puntos de la frontera. La serie siempre diverge en todos los puntos de la frontera.

Todo {C}, ya que la serie es siempre convergente. B_1(3-i):={z perteneciente C/|z-(3-i)|<1}. |z-(3-i)|=1. |z-(3-i)|>1.