11. Introducción a los mapas autoorganizativos de Kohonen

Los mapas autoorganizados de kohonen actualizan los pesos de los vectores de referencia: usando el mecanismo de retropropagación. usando un mecanismo distinto al de retropropagación;. usando retropropagación solo en los pesos de las conexiones que llegan a los nodos de la capa de salida;.

¿Qué es un mapa autoorganizado de Kohonen?. Un tipo de red neuronal supervisada;. Un tipo de red neuronal no supervisada;. Un algoritmo de optimización;.

¿Cuál es la tarea principal de un mapa autoorganizado de Kohonen?. Clasificar datos en categorías predefinidas;. Realizar una regresión lineal sobre datos numéricos;. Reducir la dimensionalidad de los datos y visualizar datos multidimensionales;.

En los mapas autoorganizados de kohonen, los vectores de referencia están asignados a: los nodos de la capa de entrada;. los nodos de la capa de salida;. tanto a los nos de la capa de entrada como a los de la capa de salida;.

En la siguiente imagen se muestra un mapa autoorganizado de kohonen a partir de un conjunto de datos con ejemplares de vinos. Los vinos están caracterizados por diferentes propiedades (tasas de alcohol, acidez, magnesio, etc.) que son las que figuran en la descripción inferior de la figura. En cada una de las coordenadas del mapa se muestra visualmente: el vector de referencia asignado al nodo que ocupa esa coordenada;. el vector del ejemplar que ha activado esa coordenada;. la categoría que sería activada por el nodo que ocupa la coordenada;.

La arquitectura de una red de Kohonen consta de: Una capa;. dos capas;. tres capas;.

¿Dónde está representado el mapa en una red de Kohonen?. en la capa de entrada a la red;. en los vectores de referencia;. en la capa de salida de la red.

¿Qué característica define la topología de un mapa autoorganizado de Kohonen?. La estructura jerárquica de los nodos de la capa de salida;. La distribución de los nodos de la capa de salida en una cuadrícula;. La cantidad de capas ocultas en la red.

En sentido estricto, cuando aludimos a las propiedades topológicas de la arquitectura de una red de Kohonen, estamos diciendo que una vez entrenada la red: entradas similares activarán nodos que tengan vectores de referencia similares a ellas;. entradas similares activarán distintas zonas en el mapa;. entradas similares activarán nodos contiguos en el mapa;.

La arquitectura de una red de Kohonen tiene propiedades topológicas porque: los vectores de referencia de los nodos de la zona del nodo ganador se asimilan a la entrada;. los vectores de referencia de los nodos de la zona del nodo ganador se separan de la entrada;. las entradas se terminan adaptando a los vectores de referencia de los nodos de la capa de salida;.

En una red de Kohonen, el aprendizaje se producirá: cambiando los valores de los vectores de referencia 𝐰𝑗 de cada nodo 𝑗 de la capa de salida;. cambiando los valores de los vectores de referencia 𝐰𝑖 de cada nodo 𝑖 de la capa de entrada;. cambiando los valores de los vectores 𝐱𝑛 de cada 𝑛 entrada;.

En un mapa autoorganizado de Kohonen, durante el proceso de entrenamiento, ¿Qué pasa con los vectores de referencia de los nodos que están dentro de la zona del nodo ganador?. Se incrementan de manera aleatoria;. Permanecen iguales;. Se ajustan para asimilarse con el vector de entrada.

En un mapa autoorganizado de kohonen, al introducir una entrada en la red se activará un 𝑗-nodo de la capa de salida. Se trata del nodo ganador. La expresión formal para expresar que ese 𝑗-nodo es identificado por ser el único que da respuesta es: La interpretación de esta fórmula es que: A) ese 𝑗-nodo ganador será aquel cuyo vector de referencia 𝐱𝑛 guarde más similitud con el vector de entrada 𝐰𝑗 ;. B) ese 𝑗-nodo ganador será aquel cuyo vector de referencia 𝐰𝑗 guarde más similitud con el vector de entrada 𝐱𝑛;. C) ese 𝑗-nodo ganador será aquel cuyo vector de referencia 𝐰𝑗 guarde menos similitud con el vector de entrada 𝐱𝑛;.

Entrenando un mapa autoorganizado de kohonen, al introducir la entrada 𝐱𝑛 en la red, el 𝑛𝑜𝑑𝑜6 se presenta como el ganador. Esto es debido a que ese nodo: tiene asociado un vector de referencia 𝐰6 cuya distancia con el ejemplar de entrada 𝐱𝑛 es la máxima;. tiene asociado un vector de referencia 𝐰6 cuya distancia con el ejemplar de entrada 𝐱𝑛 es la mínima;. tiene asociado un vector de coordenadas 𝐰6 cuya distancia con el ejemplar de entrada 𝐱𝑛 es la mínima;.

En la siguiente imagen se muestra un mapa autoorganizado de kohonen. Al introducir una entrada 𝐱𝑛 el nodo 𝑛𝑜𝑑𝑜6 ha resultado ganador. Empleamos la fórmula de actualización con el criterio de la pertenencia o no a la zona de ganador, a saber, 𝐰𝑗 𝑡+1 = 𝐰𝑗𝑡 + 𝛼 𝑡 (𝐱𝑝 − 𝐰𝑗𝑡) 𝑠𝑖 𝑗 ∈ 𝑧𝑜𝑛𝑎𝑗∗ Si para identificar la zona del ganador empleamos en ese momento un 𝑅 = 1, podemos decir que: El vector de referencia del 𝑛𝑜𝑑𝑜6 no será actualizado. El vector de referencia del 𝑛𝑜𝑑𝑜11 no será actualizado;. El vector de referencia del 𝑛𝑜𝑑𝑜3 será actualizado;.

En la siguiente imagen se muestra un mapa autoorganizado de kohonen. Al introducir una entrada 𝐱𝑛 el nodo 𝑛𝑜𝑑𝑜6 ha resultado ganador. Empleamos la fórmula de actualización continua por medio de un kernel sin discretizar la zona, a saber, 𝐰𝑗 𝑡+1 = 𝐰𝑗𝑡 + ℎ𝑐𝑗𝑡 (𝐱𝑝 − 𝐰𝑗𝑡) Ante este caso podemos decir que: El vector de referencia del 𝑛𝑜𝑑𝑜6 no garantiza ser actualizado. El vector de referencia del 𝑛𝑜𝑑𝑜11 no será ser actualizado;. El vector de referencia del 𝑛𝑜𝑑𝑜12 puede ser actualizado;.

Referente a los mapas autoorganizados de Kohonen. La función de actualización mediante el kernel usa una expresión con un coeficiente para cada nodo 𝑗 de salida. Dicha expresión es: 𝐰𝑗 𝑡+1 = 𝐰𝑗 𝑡 + ℎ𝑐𝑗𝑡 (𝐱𝑝 − 𝐰𝑗𝑡) En concreto, el valor de ℎ𝑐𝑗𝑡 refleja cómo impacta la asimilación del vector de referencia 𝐰𝑗 al vector de entrada 𝐱𝑝. A continuación, se presenta la fórmula del valor y la gráfica de la exponencial: Siendo 𝐫𝑗 el vector de coordenadas en el mapa del nodo 𝑗 y 𝐫𝑗∗ el vector de coordenadas en el mapa del nodo ganador (asumimos que los coeficientes ℎ0 y 𝜎 tienen valor 1), el efecto de la fórmula es que: cuanta más distancia entre 𝐫𝑗 y 𝐫𝑗∗, menor valor de ℎ𝑐𝑗𝑡 y menor asimilación del vector de referencia 𝐰𝑗 a la entrada 𝐱𝑝. cuanta más distancia entre 𝐫𝑗 y 𝐫𝑗∗, mayor valor de ℎ𝑐𝑗𝑡 y menor asimilación del vector de referencia 𝐰𝑗 a la entrada 𝐱𝑝. cuanta más distancia entre 𝐫𝑗 y 𝐫𝑗∗, mayor valor de ℎ𝑐𝑗𝑡 y mayor asimilación del vector de referencia 𝐰𝑗 a la entrada 𝐱𝑝.

Referente a los mapas autoorganizados de Kohonen. La función de actualización mediante el kernel usa una expresión con un coeficiente para cada nodo 𝑗 de salida. Dicha expresión es: 𝐰𝑗 𝑡+1 = 𝐰𝑗𝑡 + ℎ𝑐𝑗𝑡 (𝐱𝑝 − 𝐰𝑗𝑡) En concreto, el valor de ℎ𝑐𝑗𝑡 refleja cómo impacta la asimilación del vector de referencia 𝐰𝑗 al vector de entrada 𝐱𝑝. A continuación, se presenta la fórmula del valor y la gráfica de la exponencial: Siendo 𝐫𝑗 el vector de coordenadas en el mapa del nodo 𝑗 y 𝐫𝑗∗ el vector de coordenadas en el mapa del nodo ganador y siendo la distancia entre ambos vectores nula (asumimos que los coeficientes ℎ0 y 𝜎 tienen valor 1), el efecto de la fórmula es que: no se producirá asimilación del vector de referencia 𝐰𝑗 a la entrada 𝐱𝑝. la asimilación del vector de referencia 𝐰𝑗 a la entrada 𝐱𝑝 será la máxima posible;. El valor de ℎ𝑐𝑗𝑡 será de 0,5;.

Referente a los mapas autoorganizados de Kohonen. La función de actualización mediante el kernel usa una expresión con un coeficiente para cada nodo 𝑗 de salida. Dicha expresión es: 𝐰𝑗𝑡+1 = 𝐰𝑗𝑡 + ℎ𝑐𝑗𝑡 (𝐱𝑝 − 𝐰𝑗𝑡) En concreto, el valor de ℎ𝑐𝑗𝑡 refleja cómo impacta la asimilación del vector de referencia 𝐰𝑗 al vector de entrada 𝐱𝑝. A continuación, se presenta la fórmula del valor y la gráfica de la exponencial: 𝐫𝑗 el vector de coordenadas en el mapa del nodo 𝑗 y 𝐫𝑗∗ el vector de coordenadas en el mapa del nodo ganador (asumimos también que los coeficientes ℎ0 y 𝜎 tienen valor 1). Siendo el nodo 𝑗 el nodo ganador (es decir, estamos calculando la actualización del nodo ganador), el efecto de la fórmula es que: no se producirá cambio en el vector de referencia del nodo ganador;. todo el cambio se producirá en el vector de entrada 𝐱𝑝;. El valor de ℎ𝑐𝑗𝑡 será de 1 y el cambio dependerá de la propia resta (𝐱𝑝 − 𝐰𝑗𝑡);.

Referente a los mapas autoorganizados de Kohonen. En un tiempo dado 𝑡, el cambio futuro aplicado al vector de referencia 𝐰𝑗𝑡 de cualquier nodo 𝑗 de la capa de salida viene dado por ∆𝐰𝑗𝑡+1 = 𝛼𝑡 (𝐱𝑝 − 𝐰𝑗𝑡) siendo 𝐱𝑝 el vector de entrada. En dicha fórmula, el valor del coeficiente de aprendizaje 𝛼𝑡: es siempre el mismo. Se decrementa monótonamente según aumentan las iteraciones;. Se incrementa monótonamente según aumentan las iteraciones;.

Referente a los mapas autoorganizados de Kohonen. Para actualizar los valores de vector de referencia del nodo 𝑗 se emplea la siguiente expresión: Lo que expresa la fórmula es que existirá cambio en el vector de referencia 𝐰𝑗𝑡 si y solo si el 𝑛𝑜𝑑𝑜𝑗 pertenece a la zona del nodo ganador, es decir, pertenece a 𝑧𝑜𝑛𝑎𝑗∗. A lo largo de las iteraciones: 𝑧𝑜𝑛𝑎𝑗∗ se compone de los mismos nodos;. 𝑧𝑜𝑛𝑎𝑗∗ tendrá más nodos cuantas más iteraciones sucedan;. 𝑧𝑜𝑛𝑎𝑗∗ tendrá menos nodos cuantas más iteraciones sucedan;.

Referente a los mapas autoorganizados de Kohonen. Para actualizar los valores de vector de referencia del nodo 𝑗 se emplea la siguiente expresión: Lo que expresa la fórmula es que existirá cambio en el vector de referencia 𝐰𝑗𝑡 si y solo si el 𝑛𝑜𝑑𝑜𝑗 pertenece a la zona del nodo ganador, es decir, pertenece a 𝑧𝑜𝑛𝑎𝑗∗. Si estamos en la iteración 138: 𝑧𝑜𝑛𝑎𝑗∗ contendrá los mismos nodos que en la primera iteración;. 𝑧𝑜𝑛𝑎𝑗∗ tendrá más nodos que en la primera iteración;. 𝑧𝑜𝑛𝑎𝑗∗ tendrá menos nodos que en la primera iteración;.

En los mapas autoorganizados de Kohonen, para evaluar el mapa se puede emplear: alguna métrica sensible a cómo las entradas del conjunto de datos se ajustan a los vectores de referencia de los nodos que más activan. Cuanta más similitud entre las entradas y los vectores de referencia de los nodos que activan, mejor mapa;. alguna métrica sensible a la variabilidad de activaciones que genera cada entrada del conjunto de datos. Cuando más variable, mejor ajuste;. alguna métrica sensible a la disparidad de activaciones que genera cada entrada del conjunto de datos. Si las entradas activan zonas dispares, mejor mapa.