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El teorema de Rouché–Frobenius permite clasificar los sistemas de ecuaciones lineales según su compatibilidad. Verdadero. Falso.

Sea el siguiente sistema de ecuaciones lineales: {−x+2y=1 2x−4y=−2 Con respecto a su solución podemos asegurar que: No tiene soluciones. Tiene infinitas soluciones. Tiene exactamente una solución. Ninguna de las otras opciones.

Si el número de ecuaciones es mayor que el número de incógnitas, el sistema siempre es incompatible. Verdadero. Falso.

Si por el Méoto de Gauss aparece una fila de ceros en la matriz ampliada, el sistema es siempre incompatible. Verdadero. Falso.

En la Regla de Cramer: El denominador es el determinante de la matriz de coeficientes. Ninguna de las otras opciones. Cada incógnita se obtiene como un cociente de determinantes. El numerador es un determinante con una columna sustituida por la de términos independientes.

En la Regla de Cramer: El denominador es el determinante de la matriz de coeficientes. Ninguna de las otras opciones. Cada incógnita se obtiene como un cociente de determinantes. El numerador es un determinante con una columna sustituida por la de términos independientes.

En un sistema homogéneo con matriz de coeficientes A, si |A|=0 el sistema homogéneo solo tiene la solución trivial. Verdadero. Falso.

Un sistema es compatible determinado si: rg(A)≤rg(A|B). Ninguna de las otras opciones. rg(A)=rg(B). rg(A)=n, siendo n el número de incógnitas.

En el método de Gauss–Jordan, los ceros están situados encima y debajo de cada pivote. Verdadero. Falso.

Los elementos de la matriz que ayudan en el proceso de eliminación del Método de Gauss se llaman. incognitas. pivotes. filas. parametros.

Si el determinante de la matriz de coeficientes es 0 no puede aplicarse la regla de Cramer. Verdadero. Falso.

Si el rango de la matriz de coeficientes coincide con el de la ampliada pero es menor que el número de incógnitas, hay infinitas soluciones. Verdadero. Falso.

En el método de Gauss–Jordan, cada pivote es igual a 1 y es el único elemento no nulo en su columna. Verdadero. Falso.

Un sistema es compatible si y solo si el rango de la matriz de coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada. Verdadero. Falso.

Sea el siguiente sistema de ecuaciones lineales: {2x+4y=15 2x+4y=13 Con respecto a su solución podemos asegurar que: Tiene infinitas soluciones. Ninguna. Solo una solucion. No tiene solucion.

Para aplicar la regla de Cramer, el determinante de la matriz de coeficientes debe ser distinto de 0. Verdadero. Falso.

El método de Gauss se puede usar para: Resolver sistemas de ecuaciones lineales. Calcular la inversa de una matriz. Calcular el determinante de una matriz triangular. Calcular rango de una matriz.

En un sistema de ecuaciones lineales las operaciones elementales por filas en su matriz ampliada son: Elevar una fila al cuadrado. Intercambiar dos filas. Multiplicar una fila por un escalar distinto de 0. Sumar a una fila un múltiplo de otra.

Un sistema es -- si no tiene solución. Infinito. Finito. Compatible. Incompatible.

Un sistema homogéneo siempre tiene al menos una solución. Verdadero. Falso.

El método de Gauss–Jordan convierte la matriz ampliada en su forma escalonada reducida. Verdadero. Falso.

Asocie cada concepto con su definición: Base ortogonal Base con vectores perpendiculares dos a dos Base ortonormal Base con vectores con módulo 1 y perpendiculares dos a dos. 0. 1.

Select. Verdadero. Falso.

En V=R3, sea el subespacio U={(x,y,z)∈R3: x+y−z=0}. Entonces la dimensión de U es: 1. 3. 0. 2.

En V=R3, un conjunto formado por 2 vectores puede generar V. Verdadero. Falso.

En V=R3 sea el subespacio U con base BU={(−3,9,6),(−1,6,11)}. Entonces, podemos asegurar con respecto al vector referido a la base canónica u=(−8,21,7) que: u no pertenece al subespacio U. Ninguna de las otras opciones. u pertenece al subespacio U y sus coordenadas referidas a BU son x′1=−8,x′2=21,x′3=7. u pertenece al subespacio U y sus coordenadas referidas a BU son x′1=3,x′2=−1.

En el espacio Euclídeo V=R3 y considerando el producto escalar canónico o habitual, si u =(3,5,7) y v =(−4,2,8) entonces el producto escalar u*v es: 0. 78. 54. -12.

En V=R4 sea el subespacio U=L{(1,−3,2,4),(−3,9,−6,12),(2,−1,4,2),(−4,5,−3,7)}. Entonces podemos asegurar que: dimU=2 y una base de U puede ser BU={(1,−3,2,4),(2,−1,4,2)}. dimU=4 y una base de U puede ser BU={(1,−3,2,4),(−3,9,−6,12),(2,−1,4,2),(−4,5,−3,7)}. Ninguna de las otras opciones. dimU=3 y una base de U puede ser BU={(1,−3,2,4),(2,−1,4,2),(−4,5,−3,7)}.

La intersección de dos subespacios puede ser el conjunto vacío. Verdadero. Falso.

En V=R3, el subespacio U=L{(−1,2,1),(4,1,−3),(−6,3,5)} tiene dimensión 2 con ecuación implícita 7x−y+9z=0. Verdadero. Falso.

En V=R3, el conjunto de vectores S={(1,2,0),(1,1,1)} genera el subespacio U=L(S) que tiene ecuaciones paramétricas: U:x= α+β y=2α+β z=0. Verdadero. Falso.

En V=R4, se tienen dos subespacios U1, U2, tal que dimU1=3, dimU2=3 y dim(U1+U2=4). Entonces el valor de dim(U1∩U2) es: 1. 2. 0. 3.

En V=Rn, el producto escalar canónico de dos vectores u=(x1,x2,…,xn), v = y1,y2,…,yn) se define como x1y1+x2y2+....+xnyn. Verdadero. Falso.

¿Cuál es la interpretación geométrica de un subespacio U. Es de R3 que tiene una base con 4 vectores?. U no puede existir en R3. U es una recta. U es un hiperplano. U es un plano.

En V=R3, sean los subespacios U1={(x,y,z)∈R3: 2x−3y+z=0} y U2={(x,y,z)∈R3: x=−α,y=2α,z=α}. Entonces, podemos asegurar que: U1+U2≠R3, U1∩U2={0⃗ }. U1+U2=R3, U1∩U2≠{0⃗ }. U1+U2=R3, U1∩U2={0⃗ }. U1+U2≠R3, U1∩U2≠{0⃗ }.

Sea V un espacio vectorial y v un vector distinto de 0 tal que v e V. Entonces los conjuntos que son subespacios vectoriales de V son: L{v}. V. {0}. ∅.

En V=R2 el vector u=(16,17) respecto de la base B′={(−4,−5),(0,3)} tiene coordenadas (x′1,x′2): x′1=−4,x2=−1. x′1=−3,x2=5. x′1=0,x2=1. x′1=16,x2=17.

En V=R3, un conjunto formado por 4 vectores puede generar V. Verdadero. Falso.

En el espacio Euclídeo V=R3 y considerando el producto escalar canónico o habitual, si u =(2,5,−7) entonces su módulo es: ||u ||=+√78. ||u||=+√22. ||u||=+√29. ||u||=0.

En V=Rn, si G es la matriz de Gram asociada al producto escalar de dos vectores expresados en una base {e⃗ 1,e⃗ 2,…,e⃗ n} entonces el elemento gij de G se obtiene como: gij=λ(ei−ej). Ninguna de las otras opciones. gij=ei+ej. gij=ei *ej.

En V=R3, el vector (8,2,−9) pertenece al subespacio generado por el conjunto de vectores {(2,3,5),(−4,−5,8)}. Verdadero. Falso.

En V=R3, el vector (8,2,−9) pertenece al subespacio generado por el conjunto de vectores {(2,3,5),(−4,−5,8)}. 1) Calculando las imágenes por f de los vectores de la base canónica de V 2) Calculando las coordenadas de estas imágenes respecto de cualquier base de W 3) Poniendo estas coordenadas en las columnas de A. Ninguna de las otras opciones. 1) Calculando las imágenes por f de los vectores de la base canónica de V 2) Calculando las coordenadas de estas imágenes respecto de la base canónica de W 3) Poniendo estas coordenadas en las columnas de A. 1) Calculando las imágenes por f de los vectores de la base canónica de V 2) Calculando las coordenadas de estas imágenes respecto de la base canónica de W 3) Poniendo estas coordenadas en las filas de A.

Una matriz diagonal tiene sus autovalores en la diagonal principal. Verdadero. Falso.

Dada una transformación lineal f con matriz asociada, entonces f: No es inyectiva y no es sobreyectiva. No es inyectiva y es sobreyectiva. Es biyectiva. Es inyectiva y no es sobreyectiva.

Una transformación lineal f:V→W es inyectiva si: Distintos vectores tienen distintas imágenes por f. rg(f)<dimW. dimV=dimW. El Núcleo solo contiene al vector nulo.

Dado un endomorfismo, entonces la matriz de cambio de base que transforma su matriz asociada A respecto a unas bases en la matriz A′ respecto a otras bases siempre es invertible. Verdero. Falso.

Dada una transformación lineal f con matriz asociada A3×3 tal que rg(A)=3, entonces f es biyectiva. Verdadero, si una- Una matriz A3x3 con rango 3 es invertible. - Si la matriz asociada a una transformación lineal es invertible, entonces la transformación es: - Inyectiva - Sobreyectiva. Falso.

Un endomorfismo f:R3→R3 será diagonalizable si: Ninguna de las otras opciones. Su rango es 2. Su matriz tiene tres autovalores reales distintos. El determinante de la matriz asociada es distinto de cero.

Dada la transformación lineal f:R3→R2 definida por f(x,y,z)=(x+y,y+z), entonces Ker(f) es: {(x,y,z)∈R3: x=α, y=α, z=α}. {(x,y,z)∈R3: x=0, y=0, z=α}. {(x,y,z)∈R3: x=−α, y=α, z=−α}. {(x,y,z)∈R3: x=−α, y=0, z=α}.

Una transformación lineal f:V→W es ------- si existe f−1 tal que todo vector de V se relaciona con un solo vector de W y viceversa. sobreyectiva. inyectiva. biyectiva. endomorfismo.

La matriz asociada a una transformación lineal f:Rn→Rm tiene dimensión m×n. Verdadero. Falso.

La antiimagen del vector nulo pertenece al núcleo de f. Verdadero. Falso.

El subespacio Im(f) pertenece al espacio vectorial inicial. Verdadero. Falos.

Una matriz A_{n\times n es diagonalizable si: Su determinante es distinto de 0. Todos los autovalores son reales. Tiene n autovalores reales y distintos. Para todo autovalor la multiplicidad algebraica es igual a la multiplicidad geométrica.

Si f:R3→R3 está definida por f(x,y,z)=(x+y,y+z,x+z), entonces la dimensión de Im(f) es: 3. 2. 1. 0.

Dado un endomorfismo f, si su matriz asociada en una base B′ es diagonal, entonces: Los vectores de B′ son autovectores de f. f no es lineal. Ninguna de las otras opciones. f es diagonalizable.

Empareje el concepto con su definición: Imagen Conjunto de todos los vectores f(v) Antiimagen Conjunto de vectores que se transforman por f en un vector dado. 0. 1.

Una transformación lineal f:R4→R3: No puede ser inyectiva. Puede ser sobreyectiva. Ninguna de las otras opciones. Puede ser biyectiva.

La imagen por f de un vector v se obtiene multiplicando su matriz asociada A por la matriz columna con las coordenadas de v. Verdadero. Flaso.

Si f es lineal, entonces: f(v1+v2)=f(v1)+f(v2). f(λ1v1+λ2v2)=v1+v2. f(0⃗ )=0⃗. f(λv)=λf(v).

Si en un endomorfismo se cumple que f(v⃗ )=λv⃗ , entonces se dice que λ es ---------------------- de f. núcleo. imagen. autovector. autovalor.

Para una forma bilineal f dos bases diferentes producen matrices asociadas distintas. Verdadero. Falso.

La signatura de una forma cuadrática es: La traza de su matriz asociada. El número de signos positivos, negativos y nulos de la matriz diagonal. El número total de ceros en su matriz asociada. El rango de su matriz asociada.

La matriz diagonal obtenida mediante Congruencia puede contener únicamente elementos ----------. todos ceros. positivos y/o negativos y/o cero. solo negativos. solo positivos.

La forma cuadrática w(x1,x2)=x21−x22 es semidefinida positiva. Verdadero. Falso.

La forma cuadrática w(x1,x2,x3)=2x21−x22+3x23 es indefinida. Verdadero. Falsa.

Una forma cuadrática en R3 que tiene expresión analítica x21+x22−x23 es: Definida Negativa. Semidefinida Positiva. Semidefinida Negativa. Indefinida.

¿Qué condición garantiza que dos vectores u =(x1,…,xn), v =(y1,…,yn) sean conjugados respecto a una forma bilineal f simétrica con matriz A?. Au=v. ||u||=||v||=1. A (x1…xn) (y1⋮yn)0. (x1…xn) A (y1⋮yn)=0.

Select. a. b. c. d.

Dos matrices asociadas a la misma forma bilineal en bases diferentes son. triangulares. regulares. congrujentes. semejantes.

La matriz asociada a una forma bilineal puede ser no cuadrada. Verdadero. Falso.

Según el Criterio de Sylvester, una forma cuadrática con menor principal Δ1<0 y que alterna el signo en los menores principales siguientes es indefinida. Verdadero. Falso.

Select. a. b. c. d.

Dos matrices congruentes representan la misma forma cuadrática expresada en diferentes bases. Verdadero. Falso.

Toda matriz simétrica real es congruente con una matriz diagonal. Verdadero. Falso.

En R2, dada la forma cuadrática w(x1,x2)=x21+2x22−x1x2, el subespacio de vectores conjugados con el vector (1,−1) es la recta: 3x1−x2=0. x1−2x2=0. 3x1+2x2=0. 2x1−3x2=0.

Si una forma cuadrática w tiene matriz (00;01), entonces w es: Semidefinida Positiva. Semidefinida Negativa. Indefinida. Definida Positivo.

Relaciona el tipo de Forma Cuadrática con su matriz diagonal D Definida Positiva Matriz \( D \) con elementos positivos Indefinida Matriz \( D \) con mezcla de signos positivos y negativos Semidefinida Negativa Matriz \( D \) con elementos negativos y alguno cero Semidefinida Positiva Matriz \( D \) con elementos positivos y alguno cero. 0. 1.

Una forma cuadrática es Definida Positiva si todos los menores principales de su matriz asociada A son positivos. Verdadero. Falso.

En R3 una Forma Cuadrática tiene como matriz asociada 210;130;001 , entonces su expresión analítica es: a) w(x1,x2,x3)=2x21+3x22+x23. b) w(x1,x2,x3)=2x21+3x22+x23+2x1x2. c) w(x1,x2,x3)=2x21+3x22+x23+x1x2. d) w(x1,x2,x3)=2x21+3x22+x23+2x1x3+x2x3.

En una forma bilineal simétrica, el concepto de vectores conjugados es equivalente al de vectores ortogonales respecto a dicha forma. Verdadera. Falsa.

¿Cuáles de los siguientes números complejos son imaginarios puros?. −3+0i. 5−2i. 0−2i. −7i.

La fórmula de De Moivre es válida para exponentes n naturales. Verdadero. Falso.

El conjugado del número complejo z=Rα es: R−α. R2α. −Rα. Rα+180∘.

El número complejo z=3−2i es: Imaginario puro. Complejo con parte real negativa y parte imaginaria positiva. Complejo con parte real positiva y parte imaginaria negativa. Real puro.

Si z=Rα entonces z^n con n∈Nen Forma Trigonométrica es: z^n = R^n⋅(cos(nα)+i sen(nα)). z^n = R^n⋅(cosα+i senα). z^n = R⋅(cos(nα)+i sen(nα)). z^n = R^n⋅(cos n(α)+i sen n(α)).

El resultado de (1+i)^4 es −4. Verdadero. Falso.

El número complejo 0+0i es simultáneamente real puro e imaginario puro. Verdadero. Falso.

¿Cuáles de los siguientes números complejos están representados en forma módulo-argumento?. z=2−3i. z=2 (45∘). z=3⋅(cos30∘+i sen30∘). Ninguna de las otras opciones.

El conjugado del número complejo z=5+6i es: 5−6i. −5−6i. 6+5i. −5+6i.

Para z=a+bi relaciona fórmula con. 0. 1.

El módulo del producto de los número complejos R1⋅(cosα1+i senα1) y R2⋅(cosα2+i senα2)es: R1/R2. R1+R2. R1−R2. R1⋅R2.

Para dividir números complejos en forma polar, se suman sus argumentos. Verdadero. Falso.

Un número complejo con parte real positiva siempre tiene argumento en el primer o cuarto cuadrante. Verdadero. Falso.

El resultado de [2⋅(cos180∘+i sen180∘)]^3 es: −6+6i. 4. -2. -8.

La suma de los número complejos 3+2i y 1−5i es: 4−3i. 3+4i. 3−4i. 4+3i.

El argumento del cociente 4/2i. 45∘. 0∘. 180∘. −90∘.

¿Cuántas raíces cúbicas tiene un número complejo z no nulo?. 1. Depende de z. Infinitas. 3.

El conjugado del número complejo 5⋅(cosα+i senα) es −5⋅(cosα+i senα). Verdadero. Falso.

Select. a. b. c. d.

El resultado de [2⋅(cosπ/4+i senπ/4)]^2 es: 1-i. 1+i. 4i. -4.