3.5 Transformaciones: isomorfismos, kernel/rango, representaciones matriciales.

¿Qué propiedad fundamental de un isomorfismo de espacios vectoriales garantiza que la estructura del espacio vectorial se preserva?. Linealidad. Biyectividad. Suavidad.

Si T: V -> W es una transformación lineal, ¿qué representa el kernel (o núcleo) de T?. El conjunto de todos los vectores en W que son imagen de algún vector en V. El conjunto de todos los vectores en V que son mapeados al vector cero en W. El conjunto de todos los vectores en V que son linealmente independientes.

¿Qué se conoce como el rango (o imagen) de una transformación lineal T: V -> W?. El conjunto de todos los vectores en V que son mapeados al vector cero en W. El conjunto de todos los vectores en W que son imagen de algún vector en V. El conjunto de todos los vectores en W que son linealmente dependientes.

La dimensión del kernel de una transformación lineal T: V -> W más la dimensión del rango de T es igual a: La dimensión de V. La dimensión de W. La dimensión de V + la dimensión de W.

¿Cuál es una representación matricial de una transformación lineal T: R^n -> R^m?. Una matriz de tamaño m x n. Una matriz de tamaño n x m. Una matriz cuadrada de tamaño n x n.

Si una transformación lineal T es un isomorfismo, ¿cuál es la relación entre la dimensión de su dominio y la dimensión de su codominio?. La dimensión del dominio es mayor que la del codominio. La dimensión del dominio es menor que la del codominio. La dimensión del dominio es igual a la del codominio.

¿Qué implica que una transformación lineal sea inyectiva (uno a uno)?. Que el kernel de la transformación solo contiene el vector cero. Que la imagen de la transformación es todo el codominio. Que la transformación es siempre la transformación cero.

¿Qué significa que una transformación lineal sea suprayectiva (sobre)?. Que el kernel de la transformación es todo el dominio. Que la imagen de la transformación es igual a su codominio. Que la transformación es solo una proyección.

Al obtener la representación matricial de una transformación lineal, ¿qué se utiliza comúnmente como bases para el dominio y el codominio?. Bases cualesquiera. Bases canónicas (estándar). Bases ortogonales.

Si T: V -> V es una transformación lineal de un espacio vectorial V en sí mismo, y T es un isomorfismo, ¿qué se puede decir del kernel de T?. El kernel de T es todo V. El kernel de T es solo el vector cero {0}. El kernel de T es un subespacio de dimensión 1.