Estadistica UD3

¿Cuál es la definición formal de una variable aleatoria X en el marco de la teoría de la probabilidad de Kolmogorov?. Un valor numérico que resulta directamente de la observación de un fenómeno si necesidad de una función matemática. Una medida de probabilidad PX definida sobre los subconjuntos del espacio muestral Ω. Una sucesión de experimentos independientes cuyos resultados pertenecen siempre al intervalo [0,1]. Una aplicación X:Ω⟶R que cumple: X−1(B)∈F,∀B∈β, siendo F una σ-álgebra sobre Ω.

¿Cuál es la propiedad fundamental que diferencia a las variables aleatorias continuas de las discretas respecto a su soporte?. Las funciones de densidad pueden tomar valores negativos siempre que su integral sea 1. Su soporte SX es no numerable y P(X=x)=0 para todo x. La suma de las probabilidades de los elementos de su soporte debe ser finita. Su soporte SX es siempre el conjunto de los número enteros Z.

¿Bajo qué condición se puede afirmar que la función de distribución FX(x) es continua en un punto específico x?. FX(x)=1. P(X=x)=0. FX(x) debe ser una función creciente en el entorno de x. La variable aleatorio X debe ser estrictamente discreta.

Dada una variable discreta X con soporte SX={x1,x2,…}, ¿cómo se determina la función de masa de una nueva variable Y=g(X)?. pY(yj)=pX(g−1(yj))⋅|(g−1)′(yj)|. pY(yj)=g(xi)⋅pX(xi). pY(yj)=∑xi:g(xi)=yjpX(xi). pY(yj)=1−pX(xi) para todo g(xi)=yj.

Se define la función cuantil F−1(y) para y∈(0,1) como: F−1(y)=max{x:y≥F(x)}. F−1(y)=min{x:y≤F(x)}. F−1(y)=∫yfX(x)dx. F−1(y)=1−F(y).

¿Cuál es la interpretación física correcta de la función de densidad fX(x) en el punto x?. Es el área total bajo la curva desde −∞ hasta el punto x. Es el valor exacto de la probabilidad P(X=x). Representa la cantidad de probabilidad por elemento infinitesimal de longitud dx. Indica la esperanza matemática local de la variable en el intervalo [x,x+1].

De acuerdo con la desigualdad de Jensen, si g es una función convexa y X es una variable aleatoria, se cumple que: E[g(X)]≥g(E[X]). E[g(X)]=g(E[X]). E[g(X)]≤g(E[X]).

Sea X una variable aleatoria discreta con soporte SX={1,2,3,4} y función de masa de probabilidad definida como pX(1)=0.1 pX(2)=0.2 pX(3)=0.3 pX(4)=0.4 Si se defines una nueva variable aleatoria Y=(X−2.5)2, ¿cuál es el valor de la función de masa pY(0.25)?. 0.3. 0.4. 0.5. 0.2.

Sea X una variable aleatoria con distribución exponencial de parámetro λ=1, cuya función de densidad es fX​(x)=e−x para x>0. Se define una nueva variable aleatoria Y=eX. ¿Cuál es la función de densidad fY​(y)?. fY(y)=1y para y>1. fY(y)=1y2 para y>1. fY(y)=ln(y)y para y>1. fY(y)=e−y para y>1.

Una planta de fabricación produce varillas metálicas cuya longitud sigue una distribución normal con una media μ=500mm y una desviación típica σ=20mm. El departamento de calidad considera que una varilla es apta si su longitud no supera un límite crítico de seguridad. ¿Cuál es la probabilidad de que una varilla elegida al azar tenga una longitud menor o igual a 547.45mm? Para responder a la pregunta se facilita un fragmento de la tabla de la función de distribución de una normal estandar. La respuesta se debe calcular mediante una interpolación lineal. 0.99115. 0.99120. 0.99110. 0.99130.