6. Introducción al Análisis de Componentes Principales

En la técnica de Análisis de Componentes Principales (ACP), los componentes principales son: variables observables;. abstracciones;. los valores de las correlaciones entre las variables;.

En la técnica de Análisis de Componentes Principales (ACP), si el punto de partida es una matriz de personas y sus puntuaciones en algunos ítems y queremos reducir la dimensionalidad con la que se definen las personas, un componente principal hace las veces de: una super-persona. un super-ítem;. una integración entre ejemplar-ítem;.

La principal tarea de la técnica de Análisis de Componentes Principales (ACP) es: reducir la dimensionalidad de un grupo de variables con la que se identifican los ejemplares;. graficar en dos o tres dimensiones la información presente en el conjunto de datos;. expresar las correlaciones entre los ejemplares mediante una matriz;.

Aplicada la técnica de Análisis de Componentes Principales (ACP), una de las ventajas es que: cuando se definen los ejemplares originales en base a puntuaciones en componentes principales, dicha definición es menos “ruidosa”;. frente a las variables originales, las puntuaciones en los componentes principales funcionan como variables observables;. frente a las variables originales, las puntuaciones en los componentes principales tienen ya un significado claro;.

Aplicada la técnica de Análisis de Componentes Principales (ACP) a una muestra de ejemplares y sus puntuaciones en un conjunto de variables, hemos querido reducir la dimensionalidad para identificar a los ejemplares de una forma menos ruidosa. No obstante, queremos informar sobre el significado de los componentes resultantes. Una de las formas de inferir su significado es: a partir de las variables que puntúan de manera preponderante en cada uno de ellos;. a partir de los ejemplares que puntúan de manera preponderante en cada uno de ellos;. a partir de las correlaciones de los ejemplares entre sí;.

Aplicada la técnica de Análisis de Componentes Principales (ACP) a una muestra de personas y sus puntuaciones en un conjunto de ítems, hemos querido reducir la dimensionalidad para identificar a las personas de una forma menos ruidosa. No obstante, queremos informar sobre el significado de los componentes resultantes. Una de las formas de inferir su significado es: a partir de los ítems que puntúan de manera preponderante en cada uno de ellos;. a partir de las personas que puntúan de manera preponderante en cada uno de ellos;. a partir de las correlaciones de las personas entre sí;.

Aplicada la técnica de Análisis de Componentes Principales (ACP) a una muestra de ciudades y la incidencia de un conjunto de delitos en ellas, hemos querido reducir la dimensionalidad para identificar las ciudades de una forma menos ruidosa. No obstante, queremos informar sobre el significado de los componentes resultantes. Una de las formas de inferir su significado es: a partir de las ciudades que puntúan de manera preponderante en cada uno de ellos;. a partir de las correlaciones de las ciudades entre sí;. a partir de los delitos que puntúan de manera preponderante en cada uno de ellos;.

La meta de la técnica de Análisis de Componentes Principales (ACP) es: ofrecer una caracterización de los ejemplares en base a constructos y no en base a variables observables;. ofrecer una caracterización de los ejemplares en base a variables observables y no en base a constructos con una interpretación difícil;. expandir el número de variables observables para que la caracterización sea más rica. Es en realidad una técnica de aumentado de datos;.

La matriz que se descompone en autovectores y autovalores en la técnica de Análisis de Componentes Principales (ACP) es: una matriz M de dimensiones n X p, donde n son los ejemplares y p representa las variables o propiedades;. una matriz M de dimensiones p X n, donde p representa las variables o propiedades y n son los ejemplares;. una matriz R de dimensiones p X p de correlaciones entre las p distintas propiedades de los ejemplares (las columnas);.

La matriz que se descompone en autovectores y autovalores en la técnica de Análisis de Componentes Principales (ACP) es: asimétrica;. cuadrada;. rectagular;.

Queremos reducir la dimensionalidad de las variables por las que se caracterizan las ciudades. El punto de partida es una matriz que contiene 78 ciudades y 4 variables. Para ello aplicamos un Análisis de Componentes Principales. ¿Qué dimensionalidad tendrá la matriz a la que se le aplica la descomposición en autovectores y autovalores?. 78x4;. 78x78;. 4x4;.

Si concebimos la matriz R de correlaciones como una operación (una matriz de transformación), se identifica un autovector 𝐱𝑖 de R por cumplir la igualdad 𝐑𝐱𝑖 = 𝜆𝐱𝑖. Siendo 𝜆 un escalar, la interpretación de esta expresión es que: serán autovectores los que multiplicados por la matriz 𝐑 no sufran más transformación que su escala;. serán autovectores los que multiplicados por la matriz 𝐑 sufran un cambio de dirección en el espacio;. serán autovectores los que multiplicados por la matriz 𝐑 sufran un cambio de dirección en el espacio, además de un cambio de escala;.

De forma genérica, el concepto de autovector tiene que ver con el de dirección principal de una transformación. Si aplicamos una transformación lineal 𝐀: 𝑽 → 𝑽 a un vector 𝐱 y este no cambia de dirección, podemos suponer que ese vector 𝐱𝐱 es una de las direcciones principales del efecto de 𝐀. Dado este razonamiento, la expresión que lo expresa es: 𝐀𝐱 = 𝜆𝐀𝐱 ;. 𝐱 = 𝜆𝐀𝐱;. 𝐀𝐱 = 𝜆𝐱;.

La expresión para identificar los autovectores es 𝐀𝐱 = 𝜆𝐱, siendo: 𝐀 una matriz, y, si se cumple la igualdad, 𝐱 es un autovector; En esta expresión 𝜆 es: un vector asociado a 𝐱 llamado autovalor;. un escalar asociado a 𝐱 llamado autovalor;. una constante impuesta a priori para estimar 𝐱.

La descomposición en autovectores y autovalores puede expresarse con la siguiente fórmula: 𝐀 = 𝐏 ⋀ 𝐏t Donde una matriz 𝐀 es descompuesta en 𝐏 ⋀ 𝐏t. En dicha expresión, los autovectores son: filas de la matriz 𝐏;. columnas de la matriz 𝐏;. columnas de la matriz ⋀;.

La descomposición en autovectores y autovalores puede expresarse con la siguiente fórmula: 𝐀 = 𝐏 ⋀ 𝐏t Donde una matriz 𝐀 es descompuesta en 𝐏 ⋀ 𝐏t. En dicha expresión, los autovalores están: en las filas de la matriz 𝐏;. en las columnas de la matriz ⋀;. en la diagonal de la matriz ⋀;.

La descomposición en autovectores y autovalores puede expresarse con la siguiente fórmula: 𝐀 = 𝐏 ⋀ 𝐏t Donde una matriz 𝐀 es descompuesta en 𝐏 ⋀ 𝐏t. En dicha expresión puede decirse que: los vectores columna de 𝐏 son ortogonales;. ⋀ es una matriz densa con valores distintos a cero en todas sus celdas;. los vectores columna de 𝐀 son ortogonales;.

En la descomposición en autovectores y autovalores, las raíces del polinomio característico nos ofrecerán los: autovectores;. autovalores;. saturaciones;.

Una vez aplicada a la matriz de correlaciones la descomposición en autovectores y autovalores, el siguiente paso de la técnica de Análisis de Componentes Principales es reducir la dimensionalidad. Para hacerlo, nos quedaremos solo con unos pocos autovectores que explican la mayor parte de esa varianza original. Un indicador de la varianza explicada por cada autovector es: su determinante;. su esfericidad;. su autovalor asociado;.

Descomponiendo la matriz de correlaciones R, obtenemos las matrices 𝐏 y ⋀ de autovectores y autovalores respectivamente: ¿Cuál de los siguientes autovectores ocupa el segundo lugar en orden explicación de la varianza original?. (-0.53, -0.58, -0.27, 0,54);. (0.41, -0.18, -0.87, -0,16);. (-0.58, 0.18, -0.26, -0,74);.

Descomponiendo la matriz de correlaciones R, obtenemos las matrices 𝐏 y ⋀ de autovectores y autovalores respectivamente: Siguiendo la regla de Kaiser, ¿Cuántos autovectores retendríamos para el modelo final?. 4. 3. 2.

Descomponiendo la matriz de correlaciones R, obtenemos las matrices 𝐏 y ⋀ de autovectores y autovalores respectivamente: Siguiendo un criterio, retenemos sólo dos autovectores para formar la matriz truncada final 𝐏𝐏𝑘𝑘=2, ¿cuál sería la representación vectorial de la segunda variable en dicha matriz?. (-0.58, 0.18);. (0.41, 0.18);. (2.49, 1.1);.

Aplicamos la técnica de Análisis de Componentes Principales (ACP) a una matriz cuyas filas son ciudades y cuyas columnas muestran la incidencia en ellas de 4 delitos. La meta es caracterizar las ciudades a partir de componentes principales en vez a partir de delitos observables. Para ello, descomponemos la matriz de correlaciones R, obtenemos las matrices 𝐏𝐏 y ⋀ de autovectores y autovalores respectivamente, de las cuales retenemos sólo dos autovectores y sus autovalores asociados: ¿Dónde están representados los vectores de los delitos a partir de los componentes principales?. en las columnas de la matriz 𝐏;. en las filas de ⋀;. en las filas de la matriz 𝐏;.

La siguiente figura muestra el producto final de la técnica de componentes principales a la espera de retirar algún componente. En dicha solución: las variables 𝑥1 y 𝑥2 no correlacionaban, y por tanto están mejor expresadas con el primer componente principal (CP1);. las variables 𝑥1 y 𝑥2 correlacionan, y, por tanto, pueden ser resumidas por el primer componente principal (CP1);. el primer componente principal (CP1) es la variable observable más importante;.

La siguiente figura muestra el producto final de la técnica de componentes principales a la espera de retirar algún componente. El primer componente principal (CP1) se ha establecido a partir del primer autovector de la descomposición en autovectores y autovalores. Por su parte, el segundo componente principal (CP2) se ha establecido con el segundo autovector. ¿Cuál de los de los dos autovectores tiene asociado un autovalor mayor?. El primer autovector;. El segundo autovector;. Ambos tienen asociado el mismo autovalor;.

La siguiente figura muestra el producto final de la técnica de componentes principales a la espera de tomar la decisión de retirar o no algún componente. La decisión más razonable es que: ambos componentes principales (CP1 y CP2) sean mantenidos en la solución final;. el segundo componente principal (CP2) sea retirado de la solución final;. dada la falta de correlación de las variables 𝑥1 y 𝑥2, ambos componentes sean retirados;.

Aplicar la técnica de componentes principales a un conjunto de datos, tiene sentido si las variables que definen a los ejemplares: correlacionan entre ellas;. no correlacionan entre ellas, es decir, son ortogonales;. son más que los ejemplares. La correlación entre ellas es irrelevante;.

Queremos reducir la dimensionalidad de las variables con las que se caracterizan un conjunto de ciudades. El punto de partida es una matriz que contiene 78 (filas) ciudades y 4 delitos (columnas). Para ello aplicamos un Análisis de Componentes Principales, de cuya matriz de autovectores retenemos dos de ellos, resultando esta tabla de componentes: Para calcular la puntuación en el CP2 de una ciudad concreta se aplica la fórmula 𝐶P2 = 0,41 (10) + 0,18 (37) − 0,87(82) − 0,16(20). Eso quiere decir que las puntuaciones en las variables observables (los delitos) de esa ciudad son: Asesitato:0,41; Asalto:0,18; Pintadas: -0,87; Sexuales: -0,16;. Asesitato:4,1; Asalto:6,66; Pintadas:-71,34; Sexuales:-3,2;. Asesitato:10, Asalto:37, Pintadas:82; Sexuales:20;.

En un Análisis de Componentes Principales, la comunalidad asignada a una variable original es: la proporción de varianza de esa variable explicada a partir de los componentes principales que se hayan mantenido;. la proporción de varianza explicada por cada componente principal de los que se han mantenido;. la suma de las correlaciones de esa variable con las demás;.

Hemos aplicado un Análisis de Componentes Principales sobre un conjunto de datos de ejemplares descritos mediante 9 variables observables. queremos tomar la decisión de cuántos de los 9 componentes resultantes mantener. Para ello aplicamos el Análisis paralelo, el cual nos ofrece la siguiente figura: ¿de cuántos componentes constaría el modelo final?. 1. 3. 9.