7. Introducción al análisis de correspondencias

El análisis de correspondencias: lleva a cabo un entrenamiento sobre los datos para predecir una salida esperada;. es una forma de definir con variables latentes cuantitativas lo que en origen eran variables cualitativas (categóricas);. parte de una matriz cuadrada de correlaciones entre las puntuaciones de ejemplares en los distintos niveles de una variable;.

La descomposición en valores singulares generalizado (GSVD) es una generalización de SVD en la que se pueden definir restricciones. En el análisis de correspondencias, esas restricciones vendrán a partir de: las matrices 𝐌 de masas y 𝐖 de pesos;. la matriz de discrepancias 𝐘;. la matriz 𝐑 de patrones escalados;.

Una de las virtudes del análisis de correspondencias es que: puede representar en el mismo espacio n-dimensional conglomerados de ejemplares representados en la matriz de contingencias;. puede representar en el mismo espacio ndimensional las correlaciones cruzadas de los niveles de las dos variables categóricas de la matriz de contingencias;. puede representar en el mismo espacio n dimensional los niveles de las dos variables categóricas de la matriz de contingencias;.

En el análisis de correspondencias, el gráfico “Biplot”: consigue, partiendo de un espacio común, aislar dos espacios, uno para representar patrones-fila y otro para patrones columna;. sitúa vectores que representan a patrones-fila y a patrones-columna como coordenadas en un mismo espacio;. representa las correlaciones de los niveles de ambas variables categóricas en un mismo gráfico.

¿Cuál es el objetivo principal del análisis de correspondencias?: Reducir la dimensionalidad de un conjunto de datos y además poder visualizarlos;. Determinar la causalidad entre variables;. Predecir valores futuros a partir del entrenamiento sobre datos históricos;.

¿Qué tipo de variables son apropiadas para un análisis de correspondencias?: variables categóricas;. variables continuas;. es indistinto;.

¿Cuál es la matriz bruta de la que se parte (sin haber empezado el análisis) en el análisis de correspondencias?: matriz de correlaciones;. matriz de covarianzas;. matriz de contingencias;.

El análisis de correspondencias: tomará mandatoriamente una matriz cuadrada como matriz de partida. tomará mandatoriamente una matriz rectángula como matriz de partida;. podrá tomar una matriz de partida tanto cuadrada como rectángula;.

El análisis de correspondencias múltiples (ACM) sirve para: analizar una tabla de contingencias de más de dos variables continuas;. analizar una tabla de contingencias de más de dos variables categóricas;. integrar en el análisis tanto variables categóricas como continuas;.

En el análisis de correspondencias, si en un primer momento se empieza analizando las filas, el procedimiento GSVD descompone: una matriz de contingencias en el que cada fila representa un patrón de frecuencias;. una matriz de patrones en que cada fila representa un patrón de frecuencias escaladas por la suma de la fila;. una matriz en que cada fila representa un patrón de dispersiones con respecto a un patrón centroide;.

En el análisis de contingencias, una vez calculada mediante GSVD la descomposición 𝐘 = 𝐏∆𝐐𝑇 con la restricción 𝐏𝑇𝐌𝐏 = 𝐐𝑇𝐖𝐐 = 𝐈 de las matrices de masas (filas) y pesos (columnas) respectivamente, los vectores que representan los patrones-fila originales de la matriz de contingencia se encuentran en la matriz: 𝐏𝑇𝐌;. 𝐏∆;. ∆𝐐𝑇;.

Una vez calculada mediante GSVD la descomposición 𝐘 = 𝐏∆𝐐𝑇 con la restricción 𝐏𝑇𝐌𝐏 = 𝐐𝑇𝐖𝐐 = 𝐈 de las matrices de masas (filas) y pesos (columnas) respectivamente, los vectores fila de 𝐏∆ representan a los patrones-fila originales de la matriz de contingencias de manera: categórica;. discreta;. continua;.

Una vez calculada mediante GSVD la descomposición 𝐘 = 𝐏∆𝐐𝑇 con la restricción 𝐏𝑇𝐌𝐏 = 𝐐𝑇𝐖𝐐 = 𝐈 de las matrices de masas (filas) y pesos (columnas) respectivamente, los vectores fila de 𝐏∆ pueden considerarse: correlaciones;. frecuencias;. coordenadas;.

Una vez calculada mediante GSVD la descomposición 𝐘 = 𝐏∆𝐐𝑇 con la restricción 𝐏𝑇𝐌𝐏 = 𝐐𝑇𝐖𝐐 = 𝐈 de las matrices de masas (filas) y pesos (columnas) respectivamente: se reducirá la dimensionalidad formando de nuevo las matrices 𝐏 y 𝐐 con los vectores singulares que expliquen más varianza y ∆ con los valores singulares asociados a ellos;. se reducirá la dimensionalidad formando de nuevo las matrices 𝐏 y 𝐖 con los vectores singulares que expliquen más varianza y ∆ con los valores singulares asociados a ellos;. se reducirá la dimensionalidad formando de nuevo las matrices 𝐌 y 𝐖 con los vectores singulares que expliquen más varianza y ∆ con los valores singulares asociados a ellos;.

Una vez calculada mediante GSVD la descomposición 𝐘 = 𝐏∆𝐐𝑇 con la restricción 𝐏𝑇𝐌𝐏 = 𝐐𝑇𝐖𝐐 = 𝐈 de las matrices de masas (filas) y pesos (columnas) respectivamente, podemos mostrar los patrones-fila en un plano: reduciendo la matriz 𝐏𝑇𝐌 a sus dos primeras columnas, pues las coordenadas de esos patrones-fila serán las filas de dicha matriz reducida;. reduciendo la matriz 𝐏∆ a sus dos primeras columnas, pues las coordenadas de esos patrones-fila serán las filas de dicha matriz reducida;. reduciendo la matriz 𝐘 a sus dos primeras columnas, pues las coordenadas de esos patrones-fila serán las filas de dicha matriz reducida;.

El Análisis Chi cuadrado analiza una taba de contingencias y detecta la relación significativa entre dos variables categóricas. Además, identifica los superávit o déficits de ejemplares en cada una de las intersecciones entre los niveles de esas variables. Sin embargo, el análisis de Correspondencias complementa a Chi cuadrado: informando de la estructura de esa relación en base a similitudes entre los niveles de las variables;. prediciendo a que niveles pertenecerán nuevos ejemplares;. correlacionando patrones de la matriz de contingencia;.

En el análisis de correspondencias, una “categoría pasiva”: participa en la construcción del modelo como referencia a las demás:. no participa en el modelo, sólo se proyecta a posteriori;. participa en la construcción del modelo como referencia a las demás y se proyecta a posteriori;.

La esencia del análisis de correspondencias es que: permite representar patrones de fila y/o columna en un espacio reducido de dimensiones que conserven máximamente las propiedades originales de la tabla;. permite representar patrones de fila y/o columna en un espacio con un número mayor de dimensiones que expanden las propiedades originales de la tabla;. permite representar patrones de fila y/o columna con variables categóricas que conserven máximamente las propiedades originales de la tabla;.