algebra y geometria

Una matriz simétrica cumple que A(traspuesta)=A. verdadero. falso.

Para la matriz identidad de orden n (In) , se tiene que: det(In)=n. det(In)=1. det(In)=0. det(In) depende de n.

Una matriz A con 5 filas y 4 columnas tiene rango igual a 3, si: Existe un menor de orden 3 no nulo y un menor de orden 4 igual a cero. Todos los menores de orden 3 son iguales a cero y todos los menores de orden 4 son distintos de cero. Todos los menores de orden 3 son cero y existe un menor de orden 4 no nulo. Existe un menor de orden 3 no nulo y todos los menores de orden 4 son iguales a cero.

Relacione cada matriz con su tipo correspondiente: [00] [00]. [12] [21]. [10] [01]. [20] [03].

El determinante de una matriz no cambia si se multiplica una fila por un número real. Verdadero. Falso.

Operaciones elementales por filas válidas son: Intercambiar de dos filas. Multiplicar una fila por un escalar distinto de 0. Elevar una fila al cuadrado. Sumar a una fila un múltiplo de otra.

Relacione cada operación o hecho con su efecto en un determinante: Sumar a una fila otra fila multiplicada por un escalar. Intercambiar dos filas. Fila multiplicada por un escalar k. Dos filas iguales.

Una matriz cuadrada es invertible si y solo si su rango es máximo. Verdadero. Falso.

Una matriz escalonada tiene ceros debajo de cada pivote. Verdadero. Falso.

La matriz inversa de una matriz regular A es igual a: La adjunta de su matriz traspuesta. El producto del inverso del determinante de A por la traspuesta de la matriz adjunta de A. La traspuesta de su matriz adjunta. El producto del inverso del determinante de A por la matriz adjunta de A.

¿Cómo se puede calcular el determinante de una matriz A de tamaño mayor que 3×3 ?. Ninguna de las otras opciones. Por cofactores desarrollando por una fila o columna. Por operaciones elementales. Multiplicando los elementos de la diagonal principal.

Una matriz escalonada reducida cumple: Los pivotes son 1. Cada pivote es el único elemento no nulo en su columna. El pivote de una fila está más a la derecha que el pivote de la fila anterior. Siempre deben tener filas completamente nulas.

El rango de una matriz es el número de filas no nulas después de la eliminación gaussiana. Verdadero. Falso.

El rango de una matriz rectangular de tamaño m×n puede llegar a valer m+n. Verdadero. Falso.

Si una fila de una matriz es múltiplo de otra, entonces: Su rango es máximo. Ninguna de las otras opciones. Su determinante es 0. La matriz es invertible.

De entre las siguientes proposiciones señale la que es falsa: Si A y B son matrices cuadradas del mismo orden entonces |A⋅B|=|A|⋅|B|. Si A es una matriz regular entonces |A ^ −1|=1/|A|. El determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta. Si A es una matriz cuadrada entonces |k⋅A|=k⋅|A| con k∈R.

El determinante de una matriz A puede calcularse como: Ninguna de las otras opciones. La suma de productos de elementos de una columna por sus cofactores. La suma de productos de elementos de una fila por sus cofactores. La traza de A al cuadrado.

En un sistema homogéneo la solución trivial es aquella donde todas las incógnitas son cero. Verdadero. Falso.

Un sistema homogéneo de 3 ecuaciones y 4 incógnitas: Nunca es Incompatible. Siempre tiene infinitas soluciones. Puede ser Compatible Determinado. Ninguna de las otras opciones.

Para aplicar la regla de Cramer, el determinante de la matriz de coeficientes debe ser distinto de 0. Verdadero. Falso.

Un sistema homogéneo siempre tiene a menos una solución. Verdadero. Falso.

En el método de Gauss–Jordan, los ceros están situados encima y debajo de cada pivote. Verdadero. Falso.

Un sistema es _____ si tiene al menos una solución. definido. compatible. incompatible. irregular.

Si A es la matriz de coeficientes de un sistema compatible indeterminado con n incógnitas, entonces el número de parámetros o incógnitas libres: rg(A). Ninguna de las otras opciones. n. n−rg(A).

Un sistema es compatible determinado si: rg(A)=rg(B). Ninguna de las otras opciones. rg(A)=n , siendo n el número de incógnitas. rg(A)≤rg(A|B).

Un sistema es compatible si y solo si el rango de la matriz de coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada. Verdadero. Falso.

Para un sistema de n ecuaciones, emparejar la expresión de rangos con el tipo de sistema. rg(A)<rg(A|B). rg(A)=rg(A|B)<n. rg(A)=rg(A|B)=n.

Para un sistema de 4 ecuaciones con 3 incógnitas: Si rg(A)=2 , es compatible indeterminado. Ninguna de las otras opciones. Si rg(A)=3 , puede ser compatible determinado. rg(A) nunca puede ser 4.

El ángulo α que forman dos vectores u y v se obtiene mediante la expresión: sen α = u . v / ||u||.||v||. cos α = u + v / ||u||-||v||. cosα = u . v / ||u||.||v||. cos α = u . v / ||u||+||v||.

En V=R4 sea el subespacio U=L{(1,−3,2,4),(−3,9,−6,12),(2,−1,4,2),(−4,5,−3,7)} . Entonces podemos asegurar que: dimU=2 y una base de U puede ser BU={(1,−3,2,4),(2,−1,4,2)}. dimU=3 y una base de U puede ser BU={(1,−3,2,4),(2,−1,4,2),(−4,5,−3,7)}. dimU=4 y una base de U puede ser BU={(1,−3,2,4),(−3,9,−6,12),(2,−1,4,2),(−4,5,−3,7)}.

En V=R3 si el vector u =(1,0,0) está expresado respecto a la base canónica, entonces las coordenadas de u respecto de la base B′={(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0)} son: (1,1,1). (0,0,1). (0,1,0). (1,0,0).

En V=R3 , sea el conjunto de vectores S={(−1,0,1),(2,1,4)} . Entonces para que el vector (3α+2,3,10) pertenezca al subespacio U=L(S) se tiene que cumplir que: α=0. α=−1. α=3. α=2.

En V=R4, se tienen dos subespacios U1, U2, tal que dimU1=3, dimU2=3 y dim(U1+U2=4). Entonces el valor de dim(U1∩U2) es: 2. 1. 0. 3.

En V=R3 , un conjunto formado por 4 vectores puede generar V . Verdadero. Falso.

En V=Rn , si G es la matriz de Gram asociada al producto escalar de dos vectores expresados en una base {e⃗ 1,e⃗ 2,…,e⃗ n} entonces el elemento gij de G se obtiene como: gij=ei+ej. Ninguna de las otras opciones. gij=ei . ej. gij=λ(ei−ej).

El producto vectorial de dos vectores u y v cumple que u×v =−v×u. falso. verdadero.

Sea V un espacio vectorial y v un vector distinto de 0 tal que v existe en V . Entonces los conjuntos que son subespacios vectoriales de V son: ∅. L{v⃗ }. {0⃗ }. V.

En V=R4 una base BU del subespacio U con ecuaciones implícitas y−z=0 puede ser: BU={(2,1,1,0),(1,1,1,1)}. BU={(2,1,1,0),(1,1,1,−1),(0,2,2,0)}. BU={(2,1,1,0),(1,1,1,−1),(0,2,2,0),(1,0,0,−3)}.

En V=R3 , sea el conjunto de vectores S={(1,−2,6),(5,−10,30)} . Entonces S es: Linealmente dependiente. Linealmente independiente. Un sistema generador de V=R3. Una base de V=R3.

Una forma posible de obtener la matriz A asociada a una transformación lineal f:V→W respecto de las bases canónicas de V y W es: 1) Calculando las imágenes por f de los vectores de la base canónica de V , 2) Calculando las coordenadas de estas imágenes respecto de cualquier base de W y 3) Poniendo estas coordenadas en las columnas de A. 1) Calculando las imágenes por f de los vectores de la base canónica de V , 2) Calculando las coordenadas de estas imágenes respecto de la base canónica de W y 3) Poniendo estas coordenadas en las columnas de A. 1) Calculando las imágenes por f de los vectores de la base canónica de V , 2) Calculando las coordenadas de estas imágenes respecto de la base canónica de W y 3) Poniendo estas coordenadas en las filas de A.

Si una transformación lineal f no es sobreyectiva, existen vectores del espacio final que no tienen antiimagen. Verdadero v. Falso.

La antiimagen del vector nulo pertenece al núcleo de f. Verdadero. Falso.

Empareje el concepto con su definición: Imagen. Núcleo.

Dado un endomorfismo con matriz asociada (2 0 0) (0 3 0) (0 0 2) , entonces sus autovalores son. 2,2,3. 2,3,3. 0,2,2,3. 0,2,3.

En toda transformación lineal f:V→W se cumple que dimV=dimKer(f)+dimIm(f). Verdadero. Falso.

Dos matrices semejantes representan: A un mismo endomorfismo f respecto a bases distintas. A dos transformaciones lineales f y g diferentes que tienen el mismo rango. A dos endomorfismos f y g diferentes respecto a las mismas bases.

Si una transformación lineal f:R4→R3 es inyectiva, entonces el rango de su matriz asociada es 4. Verdadero. Falso.

Si D=P−1AP donde D es diagonal, entonces: Las diagonal principal de D son autovalores de A. Las filas de P son autovectores de A. Las columnas de P son autovectores de A. Las columnas de D son autovectores de A.

Dada una transformación lineal f:V→W tal que dimKer(f)=0 entonces: f no es necesariamente sobreyectiva. f es inyectiva. Ker(f) contiene infinitos vectores. rg(f)=dimV.

Si una transformación lineal f está representada por una matriz A , entonces un sistema generador de Im(f) viene dado por: Los vectores del Núcleo de A. Los vectores en las columnas de A. Los vectores en las filas de A.

Toda transformación lineal biyectiva es un isomorfismo. Verdadero. Falso.

Dada una transformación lineal f con matriz asociada A3×3 tal que rg(A)=3 , entonces f es biyectiva. Verdadero. Falso.

Dado un endomorfismo, entonces la matriz de cambio de base que transforma su matriz asociada A respecto a unas bases en la matriz A′ respecto a otras bases siempre es invertible. Verdadero. vFalso.

Si una transformación lineal f no es inyectiva, existen vectores del espacio final cuya antiimagen es un conjunto infinito de vectores. Verdadero. Falso.

Los autovalores de una matriz A triangular superior son los elementos de su diagonal. Verdadero. Falso.

La forma cuadrática w(x1,x2)=x21−x22 es semidefinida positiva. Verdadero. Falso.

Una forma bilineal f es simétrica si cumple f(u⃗ ,v⃗ )=f(v⃗ ,u⃗ ). Verdadero. Falso.

En R2 , dada la forma cuadrática w(x1,x2)=x1^2+2x2^2−x1x2 , el subespacio de vectores conjugados con el vector (1,−1) es la recta: 3x1−x2=0. x1−2x2=0. 3x1+2x2=0. 2x1−3x2=0.

Una forma cuadrática es Definida Positiva si todos los menores principales de su matriz asociada A son positivos. Verdadero. Falso.

Según el Criterio de Sylvester, para que una forma cuadrática sea Definida Negativa, los menores principales de su matriz asociada A deben: Ser todos negativos. No tener ceros. Alternar el signo comenzando por negativo. Ser todos positivos.

Si en R3 la signatura de una forma cuadrática w es s(w)=(3,0) , entonces w se clasifica como: Definida Positiva. Definida Negativa. Semidefinida Positiva. Indefinida.

Según el Criterio de Sylvester, una forma cuadrática con menor principal Δ1<0 y que alterna el signo en los menores principales siguientes es indefinida. Verdadero. Falso.

Si una forma cuadrática w tiene matriz (00) (01) , entonces w es: Indefinida. Semidefinida Positiva. Semidefinida Negativa. Definida Positiva.

Para una forma bilineal f dos bases diferentes producen matrices asociadas distintas. Verdadero. Falso.

La signatura de una forma cuadrática es: El número total de ceros en su matriz asociada. El número de signos positivos, negativos y nulos de la matriz diagonal. El rango de su matriz asociada. La traza de su matriz asociada.

En V=R2 , la matriz asociada a una forma bilineal f es: De tamaño 3×3. Triangular superior. Siempre simétrica. De tamaño 2×2.

Si en R3 la signatura de una forma cuadrática w es s(w)=(2,1) , entonces w se clasifica como: Definida Positiva. Semidefinida Positiva. Indefinida. Definida Negativa.

El número de raíces n−ésimas de un complejo de módulo R es: n⋅R. n^2. R. n.

¿Cuántas raíces cúbicas tiene un número complejo z no nulo?. 1. 3. Depende de z. Infinitas.

Relaciona acción con operación: Sumar partes reales por un lado, y sumar partes imaginarias por otro. Elevar a n el módulo y multiplicar por n su argumento. Multiplicar el denominador por su conjugado. Multiplicar término a término, con i^2=−1.

El conjugado del número complejo z=5+6i es: 6+5i. −5−6i. 5−6i. −5+6i.

Todas las raíces n−ésimas de un número complejo tienen el mismo módulo. Verdadero. Falso.

La suma de los número complejos 3+2i y 1−5i es: 3+4i. 4+3i. 4−3i. 3−4i.

La fórmula de De Moivre es válida para exponentes n naturales. Verdadero. Falso.

Si z=Rα entonces z^n con n∈N en Forma Trigonométrica es: z^n=R^n⋅(cos(nα)+isen(nα)). z^n=R⋅(cos(nα)+isen(nα)).

¿Cuáles de los siguientes números complejos son imaginarios puros?. −7i. 5−2i. −3+0i. 0−2i.

El producto de los número complejos 1+i y 1−i es: Un número real puro. Un número complejo de módulo 2. Un número imaginario puro. Un número con parte real y parte imaginaria.

El argumento del cociente 4/2i puede ser: 45∘. 0∘. 180∘. −90∘.

En la forma binómica, un número complejo se escribe como z=a+bi. Verdadero. Falso.