AMPLIACIÓN DE ELASTICIDAD Y RESISTENCIA DE MATERIALES

El tensor de tensiones de acuerdo a las hipótesis básicas de la Mecánica de Medios Continuos. Puede ser discontinuo. Es continuo, si al resolver un problema aparecieran discontinuidades en la solución, esta sólo sería de aplicación en puntos lo suficientemente alejados de los puntos de discontinuidad. Es continuo, si al resolver un problema aparecieran discontinuidades en la solución, esta no tendría ninguna utilidad. Es continuo, pero sólo en la hipótesis de pequeñas deformaciones.

Una componente normal positiva del tensor de tensiones en un punto indica. que en una cara positiva(con la normal orientada según el eje positivo), la tensión sigue la dirección del eje positivo. que en esa cara hay una tracción. que en esa cara, negativa o positiva, la tensión sigue la dirección del eje positivo. que hay tracción si la cara es positiva y compresión si la cara es negativa.

De acuerdo con la Mecánica de los Medios Continuos, la interacción en un punto entre dos subdominios es. un vector tensión que depende del punto y de la forma local pero solo en primer grado ( la tangente) de la superficie que separa los dos subdominios. un tensor de tensiones que es simplemente función de punto. un vector tensión por unidad de superficie y un vector tensión por unidad de volumen que en la mayoría de los casos se desprecia. un vector tensión que es función de punto y de la forma local (tangente, curvatura, etc) de la superficie que separa los dos subdominios.

Las ecuaciones de equilibrio interno representan. la condición necesaria pero no suficiente para que un tensor de tensiones esté en equilibrio. una condición necesaria, pero no suficiente, para que un tensor de tensiones sea solución de un problema elástico. la condición necesaria y suficiente para que un tensor de tensiones sea solución de un problema elástico, a expensas de satisfacer las condiciones de contorno del problema. la condición necesaria y suficiente para que a través de la ley de comportamiento exista un campo de deformaciones que admita ser integrado para encontrar un campo de desplazamientos continuo y unievaluado.

El lema de Cauchy. se establece en términos de valores promedio del vector tensión asociado a los cuatro lados de un tetraedro. relaciona cuatro vectores tensión asociados a cuatro direcciones cualesquiera. idem que b pero sólo si tres de ellas son principales y por tanto perpendiculares entre sí. garantiza que un tensor de tensiones que lo satisfaga es continuo.

De la representación de Mohr del estado de compresión pura, se deduce : que no hay tensiones tangenciales en el sólido. que las máximas tensiones tangenciales corresponden a planos que forman 90 grados con los planos de compresión máxima. que la tensión tangencial máxima es, en valor absoluto, igual a la mitad de la máxima compresión. que no hay tracciones en el sólido.

Conociendo en un punto el vector tensión T^1 asociado a una dirección n^1 se puede conocer el vector tensión T^2 asociado a otra dirección n^2. aplicando la relación de Cauchy T^1n^2=T^2n^1. idem a pero solo si n1 y n2 son perpendiculares. a través de la construcción de Mohr. solo si conocemos el tensor de tensiones en ese punto.

La hipótesis fundamental de la Mecánica de los Medios Continuos establece (o implica) que en una superficie que separa dos subdominios la interacción (fuerzas por unidad de área) entre los mismos a través de esta superficie: es continua independientemente de como sea la superficie. puede ser discontinua si la superficie no es suave(tiene esquinas). es continua si la superficie es suave y discontinua si la superficie no es suave. es continua y si la superficie no es suave no tiene por que ser constante.

Las direcciones del vector tensión y la normal a la cual está asociado. nunca coinciden. coinciden solo en tres planos, independientemente del problema. coinciden al menos en tres planos. coinciden o no, dependiendo de la geometría y las condiciones de contorno del problema.

Considere en un caso bidimensional dos planos perpendiculares que pasan por un punto y las tensiones normales y tangenciales asociadas a cada uno de ellos.La tensión normal de uno de ellos y tangencial del otro plano. son componentes de diferentes vectores tensión que sin embargo están asociadas al mismo punto y llevan la misma dirección. son componentes de diferentes vectores tensión que están asociadas a planos diferentes. aunque coinciden en módulo son componentes de diferentes vectores tensión. idem que c pero solo cuando el tensor de tensiones es esférico.

En planos perpendiculares para elasticidad tridimensional. las tensiones tangenciales en ambos planos deben ser iguales debido al equilibrio interno. las componentes de la tensión tangencial perpendiculares a la recta común de los dos planos perpendiculares deben ser iguales. las componentes de la tensión tangencial paralelas a la recta común de los dos planos perpendiculares deben ser iguales. no tiene por qué haber relación entre ninguna de las tensiones tangenciales de uno y otro plano.

La hipótesis fundamental de la Mecánica de los Medios Continuos establece (o implica) que en una superficie que separa dos subdominios la interacción (fuerzas por unidad de área) entre los mismos a través de esta superficie. es continua independientemente de como sea la superficie. puede ser discontinua si la superficie no es suave (tiene esquinas). es continua si la superficie es suave y discontinua si la superficie no es suave. es continua y si la superficie no es suave no tiene por que ser constante.

Existen 4 planos (cada uno definido por una normal ) de tensión tangencial máxima, justificados por. el principio de acción-reacción. el equilibrio de momentos respecto a un eje paralelo a los cuatro planos. las razones dadas en a y b. ninguna de ellas y sí en cambio por el carácter simétrico del tensor de tensiones.

Las ecuaciones de equilibrio interno representan la condición. necesaria pero no suficiente para que los puntos de un sólido estén en equilibrio. necesaria y suficiente para que los puntos de un sólido estén en equilibrio. necesaria pero no suficiente para que un campo de tensiones sea solución de algún problema elástico. necesaria y suficiente para que un campo de tensiones sea solución de algún problema elástico.

Si la proyección del vector tensión T^n sobre n coincide en sentido con n, ello implica que. el plano al que está asociado n es principal. el plano al que está asociado n no es principal. Tn es un vector positivo. en esa dirección hay una tracción.

En un sólido sometido al estado de compresión pura. no existen tensiones tangenciales. no existen tensiones de tracción. no existen tensiones ni tangenciales ni de tracción. existen tensiones de tracción y tangenciales.

El vector tensión. representa la interacción entre un subdominio y su complementario en un punto a través de un plano. representa la acción normal a un plano que un subdominio hace sobre su complementario a través de ese plano. no tiene por qué coincidir con la normal al plano al cual está asociado. coincide en dirección con la normal al plano al cual está asociado en al menos tres planos con una orientación cualquiera entre ellos.

Las invariantes del tensor de tensiones. dependen del sistema al que se referencie el tensor de tensiones. toman valores que no se ven afectados por la presencia o no de fuerzas por unidad de volumen. solo se pueden calcular a partir del estado tensional en principales. permiten que ciertas magnitudes del estado tensional se puedan expresar en función de ellos, siendo así dichas magnitudes independientes del sistema de referencia.

La hipótesis fundamental de la Mecánica de los Medios Continuos establece que la acción de un subdominio sobre otro a través de una superficie suave es una distribución de fuerzas por unidad de área. continua y uniforme. continua aunque no necesariamente uniforme. que no tiene que ser continua, pues puede depender de la forma local de la superficie en segundo grado. que además de continua, aunque no necesariamente uniforme lleva la dirección a la normal a la superficie.

Las ecuaciones de equilibrio interno representan. la condición necesaria aunque no suficiente para que un campo de tensiones esté en equilibrio. la condición necesaria y suficiente para que un campo de tensiones esté en equilibrio. la condición necesaria aunque no suficiente para que un campo de tensiones sea la solución de un problema. la condición necesaria y suficiente para que un campo de tensiones sea la solución de un problema.

El lema de Cauchy. se establece en términos de valores promedio del vector tensión asociado a los cuatro lados de un tetraedro. relaciona cuatro vectores tensión asociados a cuatro direcciones cualesquiera. idem que b pero solo si tres de ellas son principales y por tanto perpendiculares entre sí. garantiza que un tensor de tensiones que lo satisfaga es continuo.

Cuando al resolver el problema de autovalores y autovectores de la teoría de la elasticidad tridimensional,si sale una raíz doble (sigmaI=sigmaII) en punto ello indica. que no hay tensiones tangenciales en los planos que pasan por ese punto. que todos los planos que contienen al eje III son principales. que todos los planos que contienen a los ejes I o II son principales. que no hay tensión tangencial en los planos cuya normal solo tiene componente en los ejes I y II.

Si al resolver el polinomio característico del estado tensional encontramos que las tres raíces son iguales,ello quiere decir que. en todos los planos el estado tensional es el mismo, habiendo tensiones normales y tangenciales. en todos los planos el estado tensional es el mismo, habiendo sólo tensiones normales. las tres circunferencias de Mohr se reducen a una. las tres circunferencias de Mohr se reducen a un punto.

La componente normal del vector tensión asociado a un punto y a un plano que pasa por él. siempre es distinta de cero. puede tener es mismo valor que la componente tangencial. es igual a cero cuando el vector tensión está contenido en el plano. es igual a cero cuando el vector tensión es perpendicular al plano.

Dado un sólido elástico sometido a un tensor de pequeñas deformaciones constante en todos los puntos del sólido, si todas las componentes normales son positivas: El volumen del sólido aumentará pero su forma no cambiará. El volumen del sólido disminuirá pero su forma no cambiará. El volumen del sólido disminuirá y su forma no cambiará. El volumen del sólido aumentará y su forma podrá o no verse afectada.

La existencia de una componente εxy no nula del tensor de deformaciones tridimensional asociado a un punto: Representa un alargamiento unitario en el plano yz. Asegura que las componentes σyy σzz asociadas a ese punto no son nulas. No tiene relación con el valor de la componente tangencial del tensor de tensiones asociado. No tiene relación con el valor de la componentes normales del tensor de tensiones asociado.

Las ecuaciones de compatibilidad de Saint-Venant representan: la condición necesaria y suficiente para que el campo de desplazamientos asociado al campo de deformaciones que las cumple sea la solución de un problema elástico. idem que a pero solo necesaria. la condición necesaria y suficiente para que el campo de deformaciones que las cumple pueda ser solución de un problema elástico. idem que c pero solo necesaria.

Las ecuaciones de equilibrio interno representan: la condición necesaria pero no suficiente para que un tensor de tensiones esté en equilibrio. la condición necesaria y suficiente para que un tensor de tensiones esté en equilibrio. una condición necesaria pero no suficiente para que un tensor de tensiones sea la solución de un problema elástico. la condición necesaria y suficiente para que un tensor de tensiones sea la solución de un problema elástico, a expensas de cumplir las condiciones de contorno del problema.

La hipótesis de pequeñas deformaciones establece que. los desplazamientos son pequeños y consecuentemente las deformaciones también. las deformaciones son pequeñas y ello exige que los desplazamientos también lo sean. si los gradientes de los desplazamientos son pequeños, lo que no implica que los desplazamientos lo sean, se pueden despreciar los productos de los gradientes frente a ellos mismos. si los gradientes de los desplazamientos son pequeños, lo que no implica que los desplazamientos lo sean, pueden despreciarse.

En la ley de comportamiento de un material isótropo elástico lineal, efectos normales y tangenciales están desacoplados entre sí. nunca. siempre. siempre, pero solo si estamos en un sistema principal de tensiones y deformaciones. pueden estar acoplados o desacoplados,ello depende naturalmente de la geometría y las cargas a que este sometido el sólido.

En el tensor de pequeñas deformaciones. se desprecian las deformaciones pequeñas, tomándose consecuentemente las deformaciones como nulas. los valores del cambio de posiciones entre las partículas del sólido deformable toman el mismo valor (aproximadamente) al referirlos a la posición indeformada (tensor de Green-Saint-Venant) y deformada (tensor de Cauchy-Almansi). se ha supuesto que los gradientes de los desplazamientos son pequeños. no se desprecian los productos de los gradientes de desplazamiento frente a los propios gradientes.

Las ecuaciones de compatibilidad de Saint-Venant. La condición necesaria y suficiente para que un campo de deformaciones sea solución de un problema elástico a expensas de que se cumplan las condiciones de contorno del problema. La condición necesaria pero no suficiente para que un campo de deformaciones pueda ser la solución de un problema elástico. la condición necesaria y suficiente para que un campo de deformaciones tenga asociado un campo de desplazamientos continuo y univaluado. la condición necesaria pero no suficiente para que un campo de deformaciones tenga asociado un campo de desplazamientos continuo y univaluado.

Para un material isótropo elástico lineal, si la deformación normal en una dirección es positiva, ello implica. que hay una tracción en esa dirección. que no hay tracciones en las direcciones transversales. que si hay una compresión en esa dirección, necesariamente tiene que haber alguna tracción en alguna dirección transversal. que si hay una compresión en esa dirección, necesariamente tiene que haber alguna compresión en alguna dirección transversal.

En relación a la ley de comportamiento elástica lineal para un material isótropo. hay desacoplamiento entre efectos normales y tangenciales, pero solo si estamos en ejes principales. no hay diferencia en las seis ecuaciones de la ley de comportamiento en ejes principales y no principales. hay acoplamiento entre los efectos normales entre sí. idem que c pero solo para el caso de estar en ejes no principales.

- Las visiones lagrangiana (referida a la configuración antes de aplicar las cargas) y euleriana (referida a la configuración después de aplicar las cargas) de la deformación: representan, aunque con referencia a las situaciones antes y después de la deformación, lo mismo y por eso los números asociados a ambas visiones son idénticos. representan lo mismo, pero al estar referenciadas a configuraciones diferentes, los números que las representan serán diferentes en general. conducen exactamente a los mismos números que las caracterizan en el caso de pequeñas deformaciones. ídem que c) pero los números que las caracterizan no son exactamente iguales aunque son pequeños y muy parecidos, y consecuentemente los tomamos del mismo valor y se los asignamos al tensor de pequeñas deformaciones.

Un campo de deformaciones que cumple las ecuaciones de compatibilidad de Saint-Venant: tiene que ser constante o lineal. cumple la condición necesaria pero no suficiente para tener asociado un campo de desplazamientos continuo y univaluado. siempre tiene asociado un campo de desplazamientos continuo y univaluado. puede ser solución de un problema elástico, si además tiene asociado un campo de desplazamientos continuo y univaluado.

La ley de comportamiento elástica lineal: no permite que en un punto en una dirección haya una tracción y haya en la misma dirección un acortamiento. acopla en general los efectos normales, tensiones y deformaciones,entre sí. desacopla los efectos normales entre sí en el caso de que el coeficiente de Poisson valga 0. desacopla los efectos normales entre sí en el caso de que el coeficiente de Poisson valga 0.5.

Las ecuaciones de compatibilidad de Saint-Venant se obtienen a partir de la relación entre deformaciones y desplazamientos.Por tanto dichas ecuaciones implican. la hipotesis de pequeños desplazamientos. la hipotesis de pequeñas deformaciones. ambas. ninguna.

Si el primer invariante del tensor de deformaciones(εkk) es mayor que cero, ello indica que. el sólido se está alargando en todas laas direcciones. el primer invariante del tensor de tensiones es negativo. el cambio de volumen en ese punto es positivo. no hay cambio de forma en ese punto del sólido.

El principio de Saint-Venant. garantiza que un sistema de fuerzas de resultante nula no provoca tensiones de ningún tipo en un sólido. garantiza que dos sistemas diferentes pero de resultante igual provocan las mismas tensiones en todo el sólido. no establece ninguna predicción sobre las variables elásticas en el entorno de la zona donde se aplican las cargas. garantiza que las deformaciones son compatibles.