TEST AMPRO

Sea {Fn} una sucesión de funciones de distribución y sea {φn} la sucesión de funciones característica asociada. El teorema de continuidad de LevyCramer establece que si Fn -> F entonces φ(t) = lim (n→∞) φn(t) para todo t ∈ R y φ es la función característica de F. Este hecho es consecuencia directa del teorema de Helly-Bray. Es falso el enunciado de la pregunta. Se demuestra usando el hecho de que toda subsucesión de {Fn} converge débilmente. Se demuestra usando el hecho de que {Fn} es una familia ajustada de distribuciones.

Si X es una variable aleatoria compuesta, esto es, X = sum(Y_N) con N una variable aleatoria discreta e {Y_N } una sucesión de variables aleatorias independientes y equidistribuidas, entonces: La función característica de X se puede determinar por φX(t) = G_N (φ_Y (t)) donde G_N es la función generatriz de momentos de N y φ_Y es la función característica de Y_j . La función característica de X se puede determinar por φX(t) = φ_Y (G_N(t)) donde G_N es la función generatriz de momentos de N y φ_Y es la función característica de Y_j . La función característica de X se puede determinar por φX(t) = G_N (φ_Y (t)) donde G_N es la función generatriz de probabilidad de N y φ_Y es la función característica de Y_j . La función característica de X se puede determinar por φX(t) = φ_Y (G_N(t)) donde G_N es la función generatriz de probabilidad de N y φ_Y es la función característica de Y_j .

Sea φ una función compleja definida sobre R. ¿Cual de las siguientes propiedades no es una condición necesaria para que sea una función característica?. |φ(t)| ≤ 1 ∀t ∈ R. φ(−t) = (gorrito __)φ(t) ∀t ∈ R. φ es una función convexa. φ(0) = 1.

¿Una sucesión {Fn} de funciones de distribución posee una subsucesión que converge débilmente a una función de distribución F?. Únicamente si se da la convergencia puntual de la sucesión completa ´ en el conjunto de continuidad de f. Si la sucesión es una familia ajustada de funciones de distribución. Si encontramos una subsucesi´on que converja v´agamente. Siempre.

El teorema de Helly-Bray establece que una condici´on necesaria y suficiente para que la sucesi´on de funciones de distribuci´on {Fn} converga débilmente a la función de distribución F es que: Para demostrar que es condición necesaria nos fijaremos en que para todo ε > 0 existen a, b ∈ C(F) y N tales que ∀n ≥ N se verifica: ∫_[a,b]^c dFn(x) < ε. ∫_[a,b] dFn(x) < ε. ∫_[a,b]^c g(x)dFn(x) < ε. ∫_[a,b] g(x)dFn(x) < ε.

Sean φ1 y φ2 dos funciones característica asociadas a las funciones de distribución F1 y F2. Si φ1 ̸= φ2 es posible encontrar funciones de distribuci´on asociadas tales que F1 = F2. Si φ1 = φ2 entonces podemos encontrar F1 y F2 que difieran en un conjunto de medida de Lebesgue nula. Si φ1 = φ2 entonces solo se puede asegurar que F1 y F2 coinciden en los puntos de continuidad de ambas funciones, pero no en los puntos de discontinuidad. φ1 = φ2 ⇔ F1 = F2.

Sea {Xn} una sucesi´on de variables aleatorias definida sobre un mismo espacio de probabilidad, entonces converge en probabilidad a una variable aleatoria X si: El conjunto de convergencia {ω ∈ Ω : lim n→∞ Xn(ω) = X(ω)} tiene probabilidad 1. lim n→∞ P(|Xn − X| ≥ ε) = 1. lim n→∞ P(|Xn − X| < ε) = 1. P(lim n→∞ Xn = X) = 1.

El conjunto de continuidad de una función de distribución: Es denso en R. Coincide con R. Es a lo sumo numerable. Tiene probabilidad 1.

La sucesión de variables aleatorias {Xn} cumple la ley débil de los grandes números si dada la sucesión de sumas parciales Sn = sum(Xi) se verifica: Sn−E(Sn) -------------- (cs)→ 0. n. Sn−E(Sn) -------------- (P)→ 0. n. Sn−E(Sn) -------------- (P)→ N(0, 1), donde σn es la desviación típica de Sn. σn. Sn−E(Sn) -------------- (cs)→ N(0, 1), donde σn es la desviación típica de Sn. σn.

Sea {Xn} una sucesión de variables aleatorias que converge en probabilidad. No podemos afirmar nada sobre la convergencia casi segura. Entonces existe una subsucesi´on {Xnj} que converge casi seguro. Converge casi seguro si la convergencia en probabilidad es hacua una variable con distribuci´on degenerada. Entonces converge casi seguro.

Toda función de distribución F se puede descomponer como: F = αF_d + (1 − α)F_ac, donde 0 ≤ α ≤ 1, F_d discreta y F_ac absolutamente continua. F = αF_s + (1 − α)F_ac, donde 0 ≤ α ≤ 1, F_s singular y F_ac absolutamente continua. F = αF_s + (1 − α)F_d, donde 0 ≤ α ≤ 1, F_s signular y F_d discreta. Ninguna.

Sea {Xn} una sucesión de variables aleatorias independientes. Una condición suficiente para que verifique el teorema central del limite es que: La varianza est´e acotada por la misma constante. Sean equidistribuidas con varianza finita. Sean equidistribuidas. Todas son ciertas.

El teorema de Radon-Nikodym: Nos permite descomponer la función de densidad para las distribuciones absolutamente continuas. Nos permite descomponer la función de densidad para las distribuciones singulares. Nos permite descomponer la función de distribución de una variable aleatoria en una mixtura de funciones de distribución discreta, singular y absolutamente continua. Todas verdaderas.

Sea {Fn} sucesión de funciones de distribución y sea {φn} sucesión de funciones característica asociada. Si Fn (d)→ F entonces φ(t) = lim n→∞φn(t) ∀t ∈ R y es la función característica de F. Si φ(t) = lım n→∞ φn(t) existe para todo t ∈ R, entonces φ es la función característica de la función de distribución F asociada al limite débil de {Fn}. Si φ(t) = lım n→∞ φn(t) existe para todo t ∈ R, entonces φ es la función característica y existe una subsucesi´on {Fnk} de {Fn} tal que converge débilmente a la función de distribución F asociada a φ. Si Fn (d)→ F entonces φ(t) = lim n→∞φn(t) existe para todo t ∈ R, pero φ puede no ser la función característica asociada a F.

Para que una función compleja φ sobre R definida positiva sea función característica es suficiente que: Sea continua en 0 y |φ(t)| ≤ 1. φ(0) = 1 y |φ(t)| ≤ 1. Sea continua en 0, con φ(0) = 1. Ninguna de las otras respuestas es condici´on suficiente.

Sea {Fn} una sucesión de funciones de distribución discretas que converge débilmente a F, entonces: F puede ser discreta, continua o mixta. F es necesariamente discreta y su función de probabilidad es el limite de la función de probabilidad asociada a {Fn}. F es necesariamente discreta, pero su función de probabilidad no tiene por qué coincidir con el límite de la función de probabilidad asociada a {Fn}. F puede ser absolutamente continua y, en ese caso, su función de densidad coincide con el límite de la función de probabilidad asociada a {Fn}.

Sea F una función de distribución con función característica φ. Si F es absolutamente continua, entonces es absolutamente integrable respecto de la medida de Lebesgue y la función de densidad es:. Si φ es absolutamente continua e integrable respecto de la medida de Lebesgue, entonces F es absolutamente continua y su función de densidad es:. Si F es absolutamente continua, entonces φ es absolutamente integrable respecto de la medida de Lebesgue y la función de densidad es. Si φ es absolutamente integrable respecto de la medida de Lebesgue, entonces F es absolutamente continua y la función de densidad es:.

Para que una sucesión {Fn} de funciones de distribución converja débilmente a una función de distribución F es necesario y suficiente que: Converja puntualmente en el conunto de continuidad de F. Se verifique la convergencia puntual de las variables aleatorias asociadas. Converja puntualmente a F en todo R. Converja puntualmente en los puntos de discontinuidad de F.

Sea φ una función característica. gorroφ e Im(φ) son funciones características. gorroφ e Re(φ) son funciones características. gorroφ, Re(φ) e Im(φ) son funciones características, esto es, todas las respuestas son correctas. Re(φ) e Im(φ) son funciones características.

Si X es una variable aleatora tal que E(|X|^2) < ∞, entonces la función característica de X, φ, posee derivada segunda y: φ(t) = 1 + tφ′(0) −t^2/2φ′′(0) + O(t^2). φ(t) = 1 - tφ′(0) +t^2/2φ′′(0) + O(t^2). φ(t) = 1 + tφ′(0) +t^2/2φ′′(0) + O(t^2). φ(t) = 1 + itφ′(0) −(it)^2/2φ′′(0) + O(t^2).

El teorema de Helly-Bray establece que una condición necesaria y suficiente para que la sucesión de funciones de una variable aleatoria {Xn} converja débilmente a la variable aleatoria X es que E(g(Xn)) → E(g(X)) para toda función g continua y acotada. Para demostrar la suficiencia, basta demostrar que la sucesión de funciones de distribución verifica: F(x^−) ≤ lım n→∞ inf Fn(x) ≤ lım n→∞ sup Fn(x) ≤ F(x) ∀x ∈ R. F(x^−) ≤ lım n→∞ inf Fn(x) ≤ lım n→∞ sup Fn(x) ≤ F(x) ∀x ∈ C(F). F(x^−) ≤ lım n→∞ inf Fn(x) = lım n→∞ sup Fn(x) ≤ F(x) ∀x ∈ R. F(x^−) ≤ lım n→∞ inf Fn(x) = lım n→∞ sup Fn(x) ≤ F(x) ∀x ∈ C(F).

Se dice que una familia F de distribuciones es ajustada si: F(∞) = F(−∞) = 1 ∀F ∈ F. Para todo ε > 0 existe a > 0 tal que F(a) − F(−a) < ε ∀F ∈ F. Para todo ε > 0 existe a > 0 tal que F(a) − F(−a) > 1 − ε ∀F ∈ F. Existe una subsucesi´on en F que converge vagamente.

Considérese la sucesión de variables aleatorias {Xn} con funciones de distribución dadas por: {Xn} converge en distribución a una variable aleatoria degenerada en 0. {Xn} converge en distribución, porque la sucesión {Fn} converge a una función de distribución impropia. {Xn} converge en distribución a una variable aleatoria con distribución de Bernoulli. Ninguna es cierta.

Considérese una sucesión de variables aleatorias independientes {Xn} con Var(Xn) = σn^2∞ y sea Sn =sum(Xj) . ¿Cual de las siguientes afirmaciones sobre {Xn} es falsa?. Si {Xn} verifica la condición de Lindeberg entonces se cumple que σj^2 max1≤j≤n ------------- → (n→∞) 0 V ar(Sn). Si {Xn} verifica el teorema central del límite entonces se cumple que σj^2 max1≤j≤n ------------- → (n→∞) 0 V ar(Sn). Si {Xn} verifica la condición de Lindeberg entonces verifica el teorema central del límite. Si {Xn} verifica el teorema central del límite entonces verifica la condición de Lindeberg.

Sea φ una función característica real, entonces: Es no negativa y continua. Es convexa y no creciente. Es par y continua. Todas las respuestas son ciertas.

Sea X una variable aleatoria con función característica φ. Si P(X = a) >0, entonces: P(X = a) = lim (T→∞) 1/(2T) * ∫φ(t)e^(ita)dt. P(X = a) = lim (T→∞) 1/(2π) * ∫φ(t)e^(ita)dt. P(X = a) = lim (T→∞) 1/(2π) * ∫φ(t)e^(-ita)dt. P(X = a) = lim (T→∞) 1/(2T) * ∫φ(t)e^(-ita)dt.

Sea {Xn} una sucesi´on de variables aleatorias independientes. Una condición suficiente para que verifique la ley fuerte de los grandes números es que. V ar(Xn) sum( ------------- ) < ∞. n^2. Sean equidistribuidas. V ar(Sn/n) → 0 con Sn = sum(Xj) . Todas son correctas.

Sea {Xn} una sucesi´on de variables aleatorias definidas sobre un mismo espacio de probabilidad y sea X una variable aleatoria. Entonces, por el lema de Borel-Cantelli, se tiene que. sum(P(|Xn − X| ≥ ε) = ∞ es condición necesaria y suficiente para que {Xn} converja casi seguro. sum(P(|Xn − X| ≥ ε) < ∞ es condición necesaria y suficiente para que {Xn} converja casi seguro, , solo si los sucesos {|Xn −X| ≥ ε} son independientes. sum(P(|Xn − X| ≥ ε) < ∞ es condición necesaria y suficiente para que {Xn} converja casi seguro. sum(P(|Xn − X| ≥ ε) = ∞ es condición necesaria y suficiente para que {Xn} converja casi seguro, solo si los sucesos {|Xn −X| ≥ ε} son independientes.

Sea {Xn} una sucesión de variables aleatorias independientes. Una condición suficiente para que verifique el teorema central del límite es: La varianza está acotada por la misma constante. Son equidistribuidas con varianza finita. Son equidistribuidas. Todas son ciertas.