La Storia dell'eliminazione gaussiana: I primi a sfruttare le matrici per agevolare i propri calcoli furono i matematici cinesi, proprio nell'affrontare i sistemi lineari. Nel Jiuzhang Suanshu (Nove capitoli sulle arti matematiche), steso durante la dinastia Han, l'ottavo capitolo è interamente dedicato allo svolgimento di un problema matematico formulato sotto forma di sistema lineare. L'autore dispone ingegnosamente i coefficienti di ogni equazione parallelamente in senso orizzontale, in maniera quindi differente dalla notazione odierna, che li vuole disposti verticalmente, per righe: una semplice differenza di notazione. Ai numeri così disposti si applicava una serie di operazioni portandoli in una forma tale da rendere evidente quale fosse la soluzione del sistema: è quello che oggi conosciamo come metodo di eliminazione gaussiana, scoperto in occidente solo agli inizi del XIX secolo con gli studi del matematico tedesco Carl Friedrich Gauss.
I primi a sfruttare le matrici per agevolare i propri calcoli furono i matematici cinesi, proprio nell'affrontare i sistemi lineari. Nel Jiuzhang Suanshu (Nove capitoli sulle arti matematiche), steso durante la dinastia Han, l'ottavo capitolo è interamente dedicato allo svolgimento di un problema matematico formulato sotto forma di sistema lineare. L'autore dispone ingegnosamente i quadrati dei coefficienti di ogni equazione parallelamente in senso verticale, in maniera quindi differente dalla notazione odierna, che li vuole disposti orizzontalmente, per righe: una semplice differenza di notazione. Ai numeri così disposti si applicava una serie di operazioni portandoli in una forma tale da rendere evidente quale fosse la soluzione del sistema: è quello che oggi conosciamo come metodo di eliminazione gaussiana, scoperto in occidente solo agli inizi del XIX secolo con gli studi del matematico tedesco Carl Friedrich Gauss.
I primi a sfruttare le matrici per agevolare i propri calcoli furono i matematici cinesi, proprio nell'affrontare i sistemi lineari. Nel Jiuzhang Suanshu (Nove capitoli sulle arti matematiche), steso durante la dinastia Han, l'ottavo capitolo è interamente dedicato allo svolgimento di un problema matematico formulato sotto forma di sistema lineare. L'autore dispone ingegnosamente i coefficienti di ogni equazione parallelamente in senso verticale, in maniera quindi differente dalla notazione odierna, che li vuole disposti orizzontalmente, per righe: una semplice differenza di notazione. Ai numeri così disposti si applicava una serie di operazioni portandoli in una forma tale da rendere evidente quale fosse la soluzione del sistema: è quello che oggi conosciamo come metodo di eliminazione gaussiana, scoperto in occidente solo agli inizi del XIX secolo con gli studi del matematico tedesco Carl Friedrich Gauss.
I primi a sfruttare le matrici per agevolare i propri calcoli furono i matematici cinesi, proprio nell'affrontare i sistemi lineari. Nel Jiuzhang Suanshu (Nove capitoli sulle arti matematiche), steso durante la dinastia Han, l'ottavo capitolo è interamente dedicato allo svolgimento di un problema matematico formulato sotto forma di sistema lineare. L'autore dispone ingegnosamente gli opposti dei coefficienti di ogni equazione parallelamente in senso verticale, in maniera quindi differente dalla notazione odierna, che li vuole disposti orizzontalmente, per righe: una semplice differenza di notazione. Ai numeri così disposti si applicava una serie di operazioni portandoli in una forma tale da rendere evidente quale fosse la soluzione del sistema: è quello che oggi conosciamo come metodo di eliminazione gaussiana, scoperto in occidente solo agli inizi del XIX secolo con gli studi del matematico tedesco Carl Friedrich Gauss.
.
Il metodo di Gauss…: Nel 1888 il geodeta Jordan nella terza edizione del suo Handbuch der Vermessungskunde (Manuale di geodesia) ampliò il metodo di eliminazione di Gauss in quello che oggi è noto come metodo di eliminazione di Gauss-Jordan
Nel 1888 il geodeta Fermat nella terza edizione del suo Handbuch der Vermessungskunde (Manuale di geodesia) ampliò il metodo di eliminazione di Gauss in quello che oggi è noto come metodo di eliminazione di Gauss-Fermat
Nel 1888 il geodeta Cauchy nella terza edizione del suo Handbuch der Vermessungskunde (Manuale di geodesia) ampliò il metodo di eliminazione di Gauss in quello che oggi è noto come metodo di eliminazione di Gauss-Cauchy
Nel 1888 il geodeta Eulero nella terza edizione del suo Handbuch der Vermessungskunde (Manuale di geodesia) ampliò il metodo di eliminazione di Gauss in quello che oggi è noto come metodo di eliminazione di Gauss-Eulero
.
Per risolvere un sistema d'equazioni lineari usando il metodo di eliminazione di Gauss-Jordan seguire i seguenti passi:
1. Inserisci una matrice diminuita. 2. Infatti l'algoritmo di eliminazione di Gauss-Jordan è diviso in eliminazione e in sostituzione posteriore. L'eliminazione del calcolo Gauss-Jordan riduce la matrice in forma di scaglione di colonna. La sostituzione posteriore dell'calcolo Gauss-Jordan riduce la matrice in forma ridotta di scaglione di fila. Ma praticamente è più conveniente eliminare tutti gli elementi di sotto e di sopra quando si utilizza il calcolo di eliminazione di Gauss-Jordan. Il nostro calcolatore usa questo metodo. 3. E' importante ricordare che mentre si calcola la matrice con il metodo Gauss-Jordan, se una matrice ha almeno uno riga zero con un non zero sulla destra (colonna dei termini costanti) il sistema di matrici è inconsistente in quel caso. Pertanto, una soluzione a tale sistema lineare di equazioni non esiste.
1. Inserisci una matrice aumentata. 2. Infatti l'algoritmo di eliminazione di Gauss-Jordan è diviso in eliminazione e in sostituzione posteriore. L'addizione del calcolo Gauss-Jordan riduce la matrice in forma di scaglione di colonna. La sostituzione posteriore dell'calcolo Gauss-Jordan riduce la matrice in forma ridotta di scaglione di fila. Ma praticamente è più conveniente eliminare tutti gli elementi di sotto e di sopra quando si utilizza il calcolo di eliminazione di Gauss-Jordan. Il nostro calcolatore usa questo metodo. 3. E' importante ricordare che mentre si calcola la matrice con il metodo Gauss-Jordan, se una matrice ha almeno uno riga zero con un non zero sulla destra (colonna dei termini costanti) il sistema di matrici è inconsistente in quel caso. Pertanto, una soluzione a tale sistema lineare di equazioni non esiste.
1. Inserisci una matrice aumentata. 2. Infatti l'algoritmo di eliminazione di Gauss-Jordan è diviso in eliminazione e in sostituzione posteriore. L'eliminazione del calcolo Gauss-Jordan riduce la matrice in forma di scaglione di colonna. La sostituzione posteriore dell'calcolo Gauss-Jordan riduce la matrice in forma ridotta di scaglione di fila. Ma praticamente è più conveniente eliminare tutti gli elementi di sotto e di sopra quando si utilizza il calcolo di eliminazione di Gauss-Jordan. Il nostro calcolatore usa questo metodo. 3. E' importante ricordare che mentre si calcola la matrice con il metodo Gauss-Jordan, se una matrice non ha uno riga zero con un non zero sulla destra (colonna dei termini costanti) il sistema di matrici è inconsistente in quel caso. Pertanto, una soluzione a tale sistema lineare di equazioni non esiste.
1. Inserisci una matrice aumentata. 2. Infatti l'algoritmo di eliminazione di Gauss-Jordan è diviso in eliminazione e in sostituzione posteriore. L'eliminazione del calcolo Gauss-Jordan riduce la matrice in forma di scaglione di colonna. La sostituzione posteriore dell'calcolo Gauss-Jordan riduce la matrice in forma ridotta di scaglione di fila. Ma praticamente è più conveniente eliminare tutti gli elementi di sotto e di sopra quando si utilizza il calcolo di eliminazione di Gauss-Jordan. Il nostro calcolatore usa questo metodo. 3. E' importante ricordare che mentre si calcola la matrice con il metodo Gauss-Jordan, se una matrice ha almeno uno riga zero con un non zero sulla destra (colonna dei termini costanti) il sistema di matrici è inconsistente in quel caso. Pertanto, una soluzione a tale sistema lineare di equazioni non esiste.
.
Teorema di Rouchè-Capelli:
1) rango(A) = rango(A|b) se e solo se il sistema è risolubile 2) rango(A) = rango(A|b) = n allora il sistema ha unica soluzione 3) rango(A) = rango(A|b) = p
1) rango(A) = rango(A|b) allora il sistema è risolubile 2) rango(A) = rango(A|b) = n allora il sistema ha unica soluzione 3) rango(A) = rango(A|b) = p
1) rango(A) = rango(A|b) se e solo se il sistema è risolubile 2) rango(A) = rango(A|b) = n se e solo se il sistema ha unica soluzione 3) rango(A) = rango(A|b) = p
1) rango(A) = rango(A|b) se e solo se il sistema è risolubile 2) rango(A) = rango(A|b) = n allora il sistema ha unica soluzione 3) rango(A) = rango(A|b) = p
.
Data una matrice A, rref(A) sta per:
Reduced row echelon feed
Reduced row even form
Random row echelon form
Reduced row echelon form
.
Nella FATTORIZZAZIONE LU:
U è la matrice triangolare superiore ottenuta da A mediante l'algoritmo di Gauss con pivotizzazione parziale ed L è una matrice quadrata invertibile e 'a meno di permutazioni delle righe' è una matrice triangolare inferiore con tutti 1 sulla diagonale
U è la matrice diagonale superiore ottenuta da A mediante l'algoritmo di Gauss con pivotizzazione parziale ed L è una matrice quadrata invertibile e 'a meno di permutazioni delle righe' è una matrice triangolare inferiore con tutti 1 sulla diagonale
U è la matrice triangolare inferiore ottenuta da A mediante l'algoritmo di Gauss con pivotizzazione parziale ed L è una matrice quadrata invertibile e 'a meno di permutazioni delle righe' è una matrice triangolare inferiore con tutti 1 sulla diagonale
U è la matrice triangolare superiore ottenuta da A mediante l'algoritmo di Gauss con pivotizzazione totale ed L è una matrice quadrata non invertibile e 'a meno di permutazioni delle righe' è una matrice triangolare inferiore con tutti 1 sulla diagonale
.
Una trasformazione geometrica del piano che porta P1 in P2, con P1 e P2 vettori bidimensionali, può essere rappresentata nel seguente modo:
P1 = AP2 + v dove A è una matrice quadrata 2x1 e v un vettore bidimensionale
P1 = AP2 + v dove A è una matrice quadrata 1x2 e v un vettore bidimensionale
P1 = AP2 + v dove A è una matrice quadrata 2x2 e v un vettore bidimensionale
P1 = AP2 + v dove A è una matrice quadrata 2x2 e v un vettore unidimensionale
.
Fra i molti possibili criteri per calcolare i parametri incogniti, quello più usato è il metodo dei minimi quadrati:
Tale metodo determina i parametri incogniti in modo da rendere minima la somma dei quadrati degli scarti fra valori osservati e valori teorici
Tale metodo determina i parametri incogniti in modo da rendere massima la somma dei quadrati degli scarti fra valori osservati e valori teorici
Tale metodo determina i parametri incogniti in modo da rendere minima la differenza dei quadrati degli scarti fra valori osservati e valori teorici
Tale metodo determina i parametri incogniti in modo da rendere minima la somma dei cubi degli scarti fra valori osservati e valori teorici
.
La somma di due vettori a e b è un vettore c = a + b la cui direzione e verso si ottengono nel modo seguente:
Si fissa il vettore a e, a partire dal suo punto estremo, si riporta il vettore b. Il vettore che unisce l'origine di a con l'estremo di b fornisce la somma c = a + b.
Si fissa il vettore a e, a partire dal suo punto estremo, si riporta il vettore b. Il vettore che unisce l'origine di b con l'estremo di a fornisce la somma c = a + b.
Si fissa il vettore a e, a partire dalla sua origine, si riporta il vettore b. Il vettore che unisce l'origine di a con l'estremo di b fornisce la somma c = a + b.
Si fissa il vettore a e, a partire dal suo punto estremo, si riporta il vettore b. Il vettore che unisce l'origine di a con l'estremo, cambiato di verso, di b fornisce la somma c = a + b.
.
La moltiplicazione α·a di un vettore a con il numero reale α è un vettore b = α a:
Parallelo (o come si dirà in seguito, collineare) ad a di modulo α ·| a | cioè pari al prodotto di α con il modulo di a .
Parallelo (o come si dirà in seguito, collineare) ad a di modulo | α |·| a | cioè pari al prodotto del valore assoluto di α con il modulo di a e verso coincidente con quello di a se α > 0, di verso opposto se α
Parallelo (o come si dirà in seguito, collineare) ad a di modulo | α |· a cioè pari al prodotto del valore assoluto di α per a e verso coincidente con quello di a se α 0.
Parallelo (o come si dirà in seguito, collineare) ad a di modulo | α |·| a | cioè pari al prodotto del valore assoluto di α con il modulo di a e verso coincidente con quello di a se α 0.
.
Se A è una matrice QUADRATA NON SINGOLARE:
La soluzione può essere calcolata calcolata mediante l'algoritmo Gaussiano con pivot parziale
La soluzione non può essere calcolata calcolata mediante l'algoritmo Gaussiano con pivot parziale
La soluzione può essere calcolata calcolata mediante l'algoritmo Gaussiano con pivot doppio
La soluzione può essere calcolata calcolata mediante l'algoritmo Gaussiano con pivot necessariamente totale
.
Si controlla se il sistema è risolubile verificando che la matrice dei coefficienti A e la matrice completa (A|b) abbiano rango uguale:
FALSO
TRUE
Il simbolo A|b non ha senso
Vero solo se b è nullo
.
Si chiama prodotto scalare a→b→ tra due vettori a→e b→:
Il numero che si ottiene moltiplicando il modulo del primo per l'intensità del vettore componente del secondo lungo il primo
Il numero che si ottiene moltiplicando il modulo del primo per l'intensità del vettore componente del primo lungo il secondo
Il vettore che si ottiene moltiplicando il modulo del primo per l'intensità del vettore componente del secondo lungo il primo
Il numero che si ottiene moltiplicando il modulo del primo per l'intensità del vettore componente del secondo lungo il secondo
.
Nel prodotto scalare tra due vettori a→e b→:
Se l'angolo tra a→e b→ ottuso, ba è considerata positivo e anche il prodotto scalare è minore di zero
Se l'angolo tra a→e b→ è ottuso, ba è considerata negativo e anche il prodotto scalare è minore di zero
Se l'angolo tra a→e b→ è ottuso, ba è considerata negativo e il prodotto scalare è maggiore di zero
Se l'angolo tra a→e b→ è acuto, ba è considerata positivo e anche il prodotto scalare è minore di zero
.
Se si conoscono i moduli a e b dei due vettori a e b e l'angolo α che essi formano, il prodotto scalare può essere espresso anche:
Dalla formula a→ + b→ = (a + b) cos α
Dalla formula a→ + b→ = a b cos α
Dalla formula a→ b→ = a b cos α
Dalla formula a→ b→ = a b sen α
.
Nel prodotto scalare tra due vettori a→e b→, se a→e b→sono perpendicolari tra loro:
Il valore ab è nullo ma il prodotto scalare è diverso da zero
Il valore ba è nullo ed il prodotto scalare è diverso da zero
Il valore ba è sempre diverso da zero
Il valore ba è nullo e anche il prodotto scalare è uguale a zero
.
I due vettori c e d formano un angolo di 60°. I loro moduli sono d = 16,0 e c = 22,0. • Calcola il prodotto scalare c d→:
176
166
167
177
.
Nel prodotto scalare tra due vettori a→e b→:
Se l'angolo tra a→e b→ è ottuso, ba è considerata positivo e anche il prodotto scalare è minore di zero
Se l'angolo tra a→e b→ è acuto ba è considerata positivo e il prodotto scalare è minore di zero
Se l'angolo tra a→e b→ è ottuso, ba è considerata negativo e anche il prodotto scalare è minore di zero
Se l'angolo tra a e b è acuto, ba si prende positivo e anche il prodotto scalare è positivo
.
Il simbolo a→ b→...:
Si legge a scalare b
Si legge a vettore b
Si legge a per b
Si legge a sommato a b
.
Indicare come si traduce in formula a scalare b:
Otteniamo: a→ b→ = aba con a modulo di a→ prodotto vettoriale dicei vettori a e b
Otteniamo: a→ b→ = aba prodotto scalare dei vettori con a modulo del vettore a→ e ba componente di b lungo a
Otteniamo: a→ b→ = aba prodotto scalare dei vettori con a modulo del vettore a→ e ba componente di b lungo a
Otteniamo: a→ + b→ = a + ba prodotto scalare dei vettori con a modulo del vettore a→ e ba componente di b lungo a
.
Una matrice nxm indica:
Le dimensione del vetore colonna dei temini noti
Che la matrice ha nxm colonne
Le dimensioni della matrice di n righe ed m colonne
Che la matrice rappresenta nxm incognite di un sistema lineare
.
La matrice identità I è composta da:
Tutti gli elementi della matrice sono uguali a 1
Tutti gli elementi della matrice sono nulli
Tutti gli elementi della diagonale sono uguali a zero
Elementi tutti nulli tranne quelli con indici uguali
.
La matrice trasposta di A, nxm, è:
La matrice B, mxn, è la trasposta se ogni elemento della matrice composta è bji = aij
La matrice B, mxm, è la trasposta se ogni elemento della matrice composta èbji = aij
La matrice B, mxn, è la trasposta se ogni elemento della matrice composta da tuti 1
La matrice B, mxn, è la trasposta se ogni riga è multipla della precedente bji = aij
.
Il determinante della matrice quadrata A, n>1, si calcola:
a b c d.
La matrice B è inversa di A e si scrive B= A^(-1) e si ottiene con il seguente calcolo:
a b c d.
Il prodotto di due matrici A,nxm, B,mxn, è una matrice C:
a b c d.
Il polinomio caratteristico dei una matrice quadrata è formata:
a b c d.
Gli autovettori sono vettori che soddisfano la:
a b c d.
Il sistema lineare è composto da:
Un sistema lineare è un insieme di due o più equazioni lineari, che devono avere una soluzione unica soddisfacente tutte le equazioni.
Due o più equazione di secondo grado
Un sistema lineare è un insieme di una o più equazioni lineari, che devono avere una soluzione unica soddisfacente tutte le equazioni.
Un sistema lineare è un insieme di due o più equazioni , che devono avere una soluzione unica soddisfacente tutte le equazioni.
.
Il teorema di Gauss dice:
Sia A matrice n x m, x matrice m x m, e b vettore colonna 1 x n. Allora il sistema ammette soluzioni se e solo se il vettore b appartiene al sottospazio generato dai vettori di A
Sia A matrice n x m, x vettore colonna 1 x m, e b vettore colonna 1 x n. Allora il sistema non ammette soluzioni se il vettore b appartiene al sottospazio generato dal vettore A
Sia A matrice n x m, x vettore colonna 1 x m, e b vettore colonna 1 x n. Allora il sistema ammette soluzioni se e solo se il vettore b appartiene al sottospazio generato dal vettore b
Sia A matrice n x m, x vettore colonna 1 x m, e b vettore colonna 1 x n. Allora il sistema ammette soluzioni se e solo se il vettore b appartiene al sottospazio generato dai vettori di A
.
Una matrice a gradini è:
una matrice quadrata o rettangolare in cui il primo elemento non nullo di ogni riga è più a destra del primo elemento non nullo della riga precedente.
una matrice non quadrata e non rettangolare in cui il primo elemento non nullo di ogni riga è più a destra del primo elemento non nullo della riga precedente.
una matrice quadrata o rettangolare in cui il primo elemento nullo di ogni riga è più a destra del primo elemento nullo della riga precedente.
una matrice quadrata o rettangolare in cui il primo elemento non nullo di ogni riga è più a sinistra del secondo elemento non nullo della riga precedente.
.
Prende il nome di pivot:
il primo elemento nullo di ogni riga di una matrice a gradini
il primo elemento non nullo di ogni riga di una matrice a gradini
il primo elemento non nullo di almeno una colonna di una matrice a gradini
il primo elemento non nullo di almeno una riga di una matrice a gradini
.
Il metodo di Gauss rappresenta un metodo alternativo a quello di Cramer, utilizzato per la risoluzione di un sistema di n equazioni in n incognite e si basa sull'osservazione che, in un sistema la cui matrice dei coefficienti è triagolare inferiore, è possibile ricavare il valore delle incognite a partire dall'ultima equazione e quindi, con sostituzioni successive, ricavare le altre incognite del sistema.:
FALSO
il metodo di Gauss è valido solo per matrici bidimensionali superiori
il metodo di Gauss è valido solo per matrici diagonali unitarie superiori
VERO
.
Il metodo di Gauss consiste nel:
trasformare ogni sistema in un equivalente sistema quadrangolare
trasformare i sistemi ad unica soluzione in un equivalente sistema
trasformare ogni sistema in un equivalente sistema triangolare
trasformare ogni sistema in un equivalente sistema non triangolare
.
Il metodo di Gauss è un metodo identico a quello di Cramer ma meno utilizzato:
FALSO
VERO
il metodo di Gauss è un metodo alternativo a quello di Pitagora
il metodo di Gauss è un metodo alternativo a quello di Talete
.
Metodo di Gauss, metodo di Gauss - Jordan e metodo di Cramer sono sinonimi:
VERO
FALSO
vero solo per matrici eptadimensionali
vero solo per matrici quadridimensionali
.
Per il metodo di Gauss che il costo computazionale è dell'ordine di:
(2/5) n3 operazioni aritmetiche e non ci sono garanzie di stabilità numerica per tale metodo
(2/3) n4 operazioni aritmetiche e non ci sono garanzie di stabilità numerica per tale metodo
(2/5) n operazioni aritmetiche e non ci sono garanzie di stabilità numerica per tale metodo
(2/3) n3 operazioni aritmetiche e non ci sono garanzie di stabilità numerica per tale metodo
.
Le strategie di massimo pivot che permettono di rendere il metodo di eliminazione Gaussiana numericamente affidabile:
VERO
FALSO
vero solo per matrici invertibili trasposte
vero solo per matrici ennadimensionali
.
Per le matrici di ordine 2x2 c'è un modo che velocizza il calcolo della loro inversa:
infatti dopo aver stabilito che A è invertibile, si può calcolare la sua inversa seguendo il seguente procedimento: 1) si scambiano di posto gli elementi sulla diagonale principale;2) si cambia il segno degli elementi sulla diagonale principale; 3) si dividono tutti gli elementi per il valore del determinante.
infatti dopo aver stabilito che A è invertibile, si può calcolare la sua inversa seguendo il seguente procedimento: 1) si scambiano di posto gli elementi sulla diagonale principale;2) si cambia il segno degli elementi sulla diagonale secondaria; 3) si dividono tutti gli elementi per il valore del determinante.
infatti dopo aver stabilito che A è invertibile, si può calcolare la sua inversa seguendo il seguente procedimento: 1) si scambiano di posto gli elementi sulla diagonale secondaria;2) si cambia il segno degli elementi sulla diagonale secondaria; 3) si dividono tutti gli elementi per il valore del determinante.
infatti dopo aver stabilito che A è invertibile, si può calcolare la sua inversa seguendo il seguente procedimento: 1) si scambiano di posto gli elementi sulla diagonale secondaria;2) si cambia il segno degli elementi sulla diagonale principale; 3) si dividono tutti gli elementi per il valore del determinante.
.
Date due matrici invertibili, vale la seguente proprietà:
l'inverso del prodotto di A e B è il prodotto delle inverse delle matrici di partenza, scambiate però di posto nell'operazione di moltiplicazione
il prodotto di A e B è il prodotto delle inverse delle matrici di partenza, scambiate però di posto nell'operazione di moltiplicazione
l'inverso del prodotto di A e B è la somma delle inverse delle matrici di partenza, scambiate però di posto nell'operazione di moltiplicazione
l'inverso del prodotto di A e B è il rapporto delle inverse delle matrici di partenza, scambiate però di posto nell'operazione di moltiplicazione
.
La somma di due vettori v, u che giacciono nello spazio vettoriale (v + u) giace di nuovo nello stesso spazio vettoriale:
FALSE
Vero solo per vettori con verso concorde
Vero solo per vettori con verso discorde
TRUE
.
Il prodotto di un generico vettore v nello spazio vettoriale per un qualsiasi scalare k (sia k maggiore o minore di zero), kv è anch'esso un vettore dello stesso spazio vettoriale:
TRUE
FALSE
Vero solo per k < 0
Vero solo per k >0
.
Quali delle seguenti asserzioni è corretta?:
L'insieme di due vettori di uno spazio vettoriale è aperto rispetto all'operazione di addizione vettoriale, ed è aperto rispetto al prodotto per uno scalare
L'insieme di due vettori di uno spazio vettoriale è chiuso rispetto all'operazione di addizione vettoriale, ed è aperto rispetto al prodotto per uno scalare
L'insieme di due vettori di uno spazio vettoriale è chiuso rispetto all'operazione di addizione vettoriale, ed è chiuso rispetto al prodotto per uno scalare
L'insieme di due vettori di uno spazio vettoriale è aperto rispetto all'operazione di addizione vettoriale, ed è chiuso rispetto al prodotto per uno scalare
.
Il piano è un sottoinsieme dell'insieme di tutti i vettori a tre componenti ( v, u e w) e questo insieme più grande è anch'esso uno spazio vettoriale:
Un sottospazio di un piano è, a sua volta uno spazio vettoriale
Un sottospazio di un piano non è, a sua volta uno spazio vettoriale
Un sottospazio di un piano è, a sua volta uno spazio vettoriale se, e soltanto se, il piano è affine e non ortogonale
Un sottospazio di un piano è, a sua volta uno spazio vettoriale se, e soltanto se, il piano non è affine ed è tridimensioanale
.
Il metodo di Gauss applicato ad un sistema lineare Ax = b non produce solo la soluzione di x che viene facilitata ma permette inoltre, cosa ben più importante, di rispondere a domande teoriche quali l'esistenza ed unicità della soluzione:
FALSE
Falso se b > 0
Falso se b < 0
TRUE
.
Una base di uno spazio vettoriale è un insieme di vettori che sverificano la/le seguenti proprietà:
I ) sono linearmente dipendenti, ii ) generano l'intero spazio
I ) sono linearmente indipendenti, ii ) generano l'intero spazio
Ii ) generano l'intero spazio
I ) sono linearmente indipendenti
.
Il rango di una matrice A:
Conta il numero di righe effettivamente indipendenti nella matrice A
Conta il numero di righe effettivamente dipendenti nella matrice A
Conta il numero di colonne effettivamente indipendenti nella matrice A
Conta il numero di colonne effettivamente dipendenti nella matrice A
.
Le righe e le colonne della matrice identità sono linearmente indipendenti; diremo tali vettori unitari:
TRUE
FALSE
Vero solo per le righe
Vero solo per le colonne
.
In quale relazione sono il det A ed il det (2A)?:
Det 2A = 2 detA
Det A = 2 detA
Det A = 2 det2A
4 det A = det2A
.
In quale relazione sono il det A ed il det (-A)?:
Det( - A) = - detA
Det( - A) = detA
Det( - A) = - det (-A)
Det( - A) = (-1) (- detA)
.
Lo spazio nullo di una matrice A…:
È anche chiamato il 'nucleo' di A, e le sue dimensioni sono le 'nullità' di A.
È anche chiamato il 'estremo' di A, e le sue dimensioni sono le 'nullità' di A.
È anche chiamato il 'nucleo' di A, e le sue dimensioni sono le 'basi nulle' di A.
È anche chiamato il 'nucleo' di A, e le sue dimensioni sono dispari.
.
Indichiamo la nullità di una matrice A con v(A) La sua relazione con il rango r è espressa da:
V (A) = dim N (A) = n + r
V (A) = dim N (A) = n - r
V (A) = dim N (A) = n - 2r
V (A) = dim N (A) = 2 n - r
.
Date due matrici A e B, la trasposta di AB è :
(AB)T = BT A2T
(AB)T = B2T AT
(AB)T = BT AT
(AB)T = AT BT
.
Quali delle seguenti asserzioni è esatta:
Rango + ordine di nullità = dimensione dello spazio colonne +dimensione dello spazio nullo = numero delle righe.
Rango - ordine di nullità = dimensione dello spazio colonne + dimensione dello spazio nullo = numero delle colonne.
Rango + ordine di nullità = dimensione dello spazio colonne - dimensione dello spazio nullo = numero delle colonne.
Rango + ordine di nullità = dimensione dello spazio colonne + dimensione dello spazio nullo = numero delle colonne.
.
Quali delle seguenti formulazioni del TFA è esatta :
Ogni polinomio di grado n ≥ 1 a coefficienti complessi possiede almeno una radice complessa
Ogni polinomio di grado n < 1 a coefficienti complessi possiede almeno una radice complessa
Un polinomio di grado n ≥ 1 a coefficienti complessi non è detto che possieda radici complesse
Ogni polinomio di grado n ≥ 1 a coefficienti complessi possiede almeno una radice complessa se, e soltanto se, n è dispari
.
Ogni polinomio di grado n ≥ 1 a coefficienti complessi si scompone nel prodotto di n fattori lineari a coefficienti complessi ed ammette n radici complesse, eventualmente coincidenti.:
FALSE
TRUE
Vero solo per n dispari
Verso solo per n pari
.
Ogni polinomio di grado n ≥ 1 a coefficienti reali si può scomporre nel prodotto di fattori reali di primo o secondo grado.:
FALSE
Vero solo per n strettamente maggiore di 1
TRUE
Verso solo se il polinomio ha coefficienti interi
.
Siano dati i vettori x (1, n) (vettore riga) ed il vettore y (n, 1) (vettore colonna), il loro prodotto interno è zero se e solo se i due vettori sono ortogonali.:
TRUE
FALSE
Vero anche per vettori paralleli
Vero solo per vettori paralleli
.
Due sottospazi V e W dello stesso spazio Rn si dicono ortogonali se:
Ogni vettore v in V è ortogonale ad ogni vettore w in W
Ogni vettore v in V è ortogonale ad ogni vettore w in W
Esiste almeno un vettore v in V ortogonale ad ogni vettore w in W
Ogni vettore v in V è ortogonale ad almeno un vettore w in W
.
Due vettori qualunque soddisfano la diseguaglianza |aT b|≤ |a| |b|:
TRUE
FALSE
Vero solo se uno dei due vettori è nullo
Vero solo se i vettori sono entrambi nulli
.
Il determinante di una matrice è...:
Uno scalare
Un vettore
Una matrice
Un anello abeliano
.
Sia data una matrice A. Se il rango della matrice A è massimo allora…:
Det A = 0
Det A ≠ 0
Det A ≠ 1
Det A = 0
.
Sia data una matrice A. Se detA=0 allora...:
La matrice A è nulla
La matrice A è la matrice identica
La matriceA è singolare
La matrice A non è singolare
.
Sia data una matrice A. Se il detA allora…:
A ha 1 sola colonna
A ha rango nullo
A è non invertibile
A è invertibile
.
Sia data una matrice A. Il determinante di A è uguale al volume di un parallelepipedo P nello spazio a (n) dimensioni purchè i lati di P provengano dalle righe di A.:
TRUE
FALSE
Falso perché i lati di P devono provenire dalle colonne di A
Vero solo per n > 3
.
Il determinante di una matrice 3ࡩ a rango massimo è un parallelepipedo che ha come spigoli i tre vettori linearmente indipendenti di A:
FALSE
TRUE
Vero solo se una colonna della matrice ha tutti gli elementi uguali a 3
Vero solo se una riga della matrice ha tutti gli elementi uguali a 3
.
Nel caso di una matrice unitaria il determinante è…:
Il volume di un cubo con lato uguale a 3
Il volume di un parallelepipedo con lato diverso da uno
Il volume di un cubo con lato uguale a uno
Il volume di un cubo con lato uguale a 0
.
Il determinante di una matrice che ha una riga (o una colonna) di zeri …:
È sempre uguale a infinito
È sempre uguale ad 1
È sempre diverso da zero
È sempre uguale a zero
.
Il rango di una matrice è k se c'è un minore di ordine k, della matrice, con determinante diverso da zero e tutti i minori (eventuali) di ordine k+1 hanno determinante nullo.:
TRUE
FALSE
Vero solo per k pari
Vero solo per k dispari
.
Sia data una matrice A 2x2. Il rango di A può essere :
0, 1 o 2.
1 o 2.
0 o 2.
0, 1, 2 o 22
.
Sia A ∈ Rn×n. Un numero λ per cui esiste un vettore x diverso da 0 tale che valga la relazione Ax = λx è detto:
Autovalore
Autovettore
Spettro
Raggio spettrale
.
SiaA ∈ Rn×n. Sia λ un numero per cui esiste un vettore x diverso da 0 tale che valga la relazione Ax = λx . x è detto:
Autovalore corrispondente a λ
Autovettore corrispondente a λ
Autovettore corrispondente ad A
Autovalore corrispondente ad A
.
Sia A ∈ Rn×n. L'insieme degli autovalori di A costituisce:
Dimensione di A
Rango di A
Spettro di A
Raggio spettrale di A
.
SiaA ∈ Rn×n. Il modulo massimo degli autovalori di A è detto:
Rango di A
Base di A
Spettro di A
Raggio spettrale di A
.
Un autovalore λ di una matrice A è anche autovalore di AT.:
TRUE
FALSE
Vero solo se A è diagonale inferiore
Vero solo se A è simmetrica superiore
.
Se A è non singolare, allora l'autovalore λ' di A diverso da zero e 1/λ è autovalore di A con x autovettore corrispondente.:
FALSE
TRUE
Vero solo se A è diagonale inferiore
Vero solo se A è non invertibile
.
Sia λ un autovalore di A. Si chiama molteplicità algebrica di λ, e si indica con σ(λ):
Il rango di A moltiplicato la molteplicità di λ
La molteplicità di λ2 come radice dell'equazione caratteristica
La molteplicità di λ come radice dell'equazione caratteristica
La molteplicità di λ come radice della disequazione caratteristica
.
Sia λ un autovalore di A. Si chiama autospazio di λ:
L'insieme Vλ di tutti gli autovettori corrispondenti a (λ -1)2
L'insieme Vλ degli autovettori corrispondenti a (λ - 1)
L'insieme Vλ di tutti gli autovalori corrispondenti a λ
L'insieme Vλ di tutti gli autovettori corrispondenti a λ
.
Sia λ un autovalore di A. Si chiama molteplicità geometrica di λ, e si indica con τ (λ):
La dimensione di Vλ e quindi il massimo numero di autovettori linearmente indipendenti corrispondenti a λ
La dimensione di Vλ e quindi il minimo numero di autovettori linearmente indipendenti corrispondenti a λ
La dimensione di Vλ e quindi il massimo numero di autovettori linearmente dipendenti corrispondenti a λ
La dimensione di Vλ moltiplicata per 2λ e quindi il massimo numero di autovettori linearmente indipendenti corrispondenti a λ.
.
Se due autovalori sono distinti i corrispondenti autospazi sono disgiunti:
TRUE
FALSE
Vero solo per autovalori opposti
Vero solo per autovalori inversi
.
L'equazione di una conica si studia in relazione al valore del determinante della matrice A che rappresenta la matrice dei coefficienti dell'equazione. Diremo che la conica è degenere se:
Il determinante di A è detA = 0
Il determinante di A è detA = 1
Il determinante di A è detA < 0
Il determinante di A è detA > 0
.
Il determinante della matrice A dei coefficienti associata all'equazione di una conica si chiama:
Decriminante
Discriminante
Delta conico
Determinante quadrico
.
Le coniche non degeneri si classificano come di seguito riportato:
Iperbole, Paraboloide, Ellissi
Iperbole, Parabola, Ellissoide
Iperbole, Parabola, Ellissi
Iperboloide, Paraboloide, Ellissi
.
Le coniche degeneri possono essere:
Iperboli che si intersecano in un sol punto
Rette incidenti mai parallele
Rette parallele mai incidenti
Rette parallele o rette incidenti
.
Una conica è il luogo dei punti del piano le cui coordinate sono soluzione …:
Di un'equazione di secondo grado
Di un'equazione di primo grado
Di un sistema di equazioni di primo grado
Di un'equazione di secondo grado necessariamente spuria
.
Se la conica ha un centro, allora le coordinate (x; y) del centro sono soluzioni di un sistema lineare specifico:
FALSE
TRUE
Vero e la conica è un'ellisse, un'iperbole o una parabola
Vero e la conica è un'ellisse o una parabola
.
L'ellisse e la parabola hanno due direttrici:
FALSO perché solo l'ellisse ha due direttrici
Falso perché le coniche non hanno mai direttrici
TRUE
Falso perché le direttrici sono tre
.
Una conica è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante il rapporto tra la distanza dal fuoco e la distanza dalla direttrice. Chiamiamo questo rapporto:
Accentricità
Eccentricismo
Fuochicità
Eccentricità
.
I paraboloidi e gli iperboloidi sono…:
Quadriche reali o o immaginarie, mentre gli ellissoidi sono sempre quadriche reali
Sempre quadriche immaginarie, mentre gli ellissoidi possono essere reali o immaginari
Sempre quadriche reali come lo sono gli ellissoidi
Sempre quadriche reali, mentre gli ellissoidi possono essere reali o immaginari
.
L'equazione secolare è:
L'equazione algebrica che permette di determinare gli autovalori di un operatore lineare e che interviene in numerose questioni di algebra, geometria e fisica
L'equazione algebrica che permette di determinare gli autovalori di un operatore non lineare e che interviene in numerose questioni di algebra, geometria e fisica
L'equazione non algebrica che permette di determinare gli autovalori di un operatore lineare e che interviene in numerose questioni di algebra, geometria e fisica
La disequazione algebrica che permette di determinare gli autovalori di un operatore lineare e che interviene in numerose questioni di algebra, geometria e fisica
.
Le variabili in matlab sono raprresentate come:
Variabili intere
Matrici
Immaginari
Reali
.
La funzione di trasformazione di rappresentazioni del sistema di controllo tf2ss:
Origine: funzione di trasferimento destinazione: spazio di stato
Origine: funzione di trasferimento destinazione: spazio di stato
Origine: Poli-zero destinazione: spazio di stato
Origine: funzione di trasferimento destinazione: poli zero
.
La funzione di trasformazione di rappresentazioni del sistema di controllo ss2zp:
Origine: funzione di trasferimento destinazione: spazio di stato
Origine: funzione di trasferimento destinazione: spazio di stato
Origine: funzione di trasferimento destinazione: poli zero
Origine: funzione di trasferimento destinazione: poli zero
.
La generazione dei vettori con incrementi da 0,5 è espressa da:
T = 1:5
T = 1:0.5:3
T = 8:-1:5
T = -5:0.5
.
La funzione che restituisce un vettore colonnacontenente tutti gli autovalori di A, è espressa:
Vet(A)
Autov(A)
Eig(A)
Autovalore(A)
.
La funzione poly() restituisce:
I poli della matrice A
Tutti gli zeri della matrice A
Tutti gli zeri della matrice A
I coefficienti del polinomio caratteristico della matrice A
.
La funzione roots() restituisce:
I poli della matrice A
Tutte le radicie del vettore
Tutte le singolarità della matrice
I coefficienti del polinomio caratteristico della matrice A
.
La funzione plot( X1,Y1,X2,Y2, …Xn, Yn) restituisce:
La funzione restituisce n disegni nella stessa figura
Restituisce n grafici in n figura
Resistuisce i valori del polinomio caratteristico
Restituisce tutte le singolarità della matrice A
.
La funzione di trasformazione ss2tf(A, B, C, D,iu) restituisce:
Restituisce la funzione di trasferimento
Restituisce ui grafici in n figura
Restituisce lo spazio di stato relativo all'ingresso indicato dallo scalare ui
Restituisce la funzione di trasferimento relativo all'ingresso indicato dallo scalare ui
.
La funzione residue(num, den) restituisce:
La funzione di trasferimento
Restutisce tre parametri,[r,p,k] = residue(num, den), tutte le singolarità e il residuo
Restutisce due parametri,[r,p] = residue(num, den), tutte le singolarità
Restutisce un parametro,[k] = residue(num, den), il residuo
.
La funzione obbiettivo è:
una funzione scalare di cui stiamo cercando il valore minimo o massimo
una funzione scalare di cui stiamo cercando il valore minimo o massimo
una funzione di cui stiamo cercando il valore minimo
una funzione di cui stiamo cercando il valore massimo
una funzione di cui stiamo cercando gli zeri
.
Un problema di programmazione lineare è:
un problema di ricerca del punto di minimo di una funzione lineare
un problema di ricerca del punto di massimo di una funzione lineare
un problema di ricerca del punto di minimo o di massimo di una funzione lineare
un problema di ricerca del punto di minimo o di massimo di una funzione lineare in presenza di vincoli lineari
.
È equivalente a:
a s d f.
Il problema seguente problema è un
problema di programmazione booleana
problema di programmazione lineare intera
problema di programmazione non lineare
problema di programmazione non lineare vincolata
.
La variabile seguente rappresenta
una variabile booleana
una variabile intera
una variabile reale
una funzione lineare
.
Il seguente problema è un
problema di programmazione booleana
problema di programmazione lineare
problema di programmazione non lineare
problema di programmazione non lineare vincolata
.
Il seguente sistema di equazioni definisce
un punto
una retta
una superfice chiusa e limitata
un insieme vuoto
.
Il seguente di sistema di disequazioni definisce
un punto
una retta
una superfice chiusa e limitata
un insieme vuoto
.
Il seguente di sistema di disequazioni definisce
un punto
una retta
una superfice chiusa e limitata
un insieme vuoto
.
Risolvere il seguente problema di Programmazione Lineare indicando il valore della funzione obiettivo all'ottimo
0
3
4
6
.
Con xT si intende un:
scalare
vettore riga
vettore vettore colonna
matrice
.
La matrice costituita dal seguente sistema di equazioni è 2x1 + 3x2 =0; -4x1 -6x2=3:
una matrice identità
una matrice rettangolare
una matrice singolare
una matrice il cui determinante è pari 12
.
Dati i seguenti vettori, il loro prodotto scalare vale
-11
0
8
11
.
Data la seguente matrice il determinante è
-3
-2
0
3
.
Il gradiente è:
un campo vettoriale
un campo vettoriale
la somma delle derivate parziali di una funzione rispetto a tutte le sue variabili
una funzione che associa uno scalare ad ad ogni punto dello spazio
un vettore
.
Dato un poliedro P e un punto generico x0, la retta perpendicolare al gradiente della funzione obiettivo in quel punto rappresenta:
una direzione verso la quale la F.O. diminuisce il suo valore
una direzione verso la quale la F.O. aumenta il suo valore
una direzione verso la quale non si hanno variazioni della F.O.
una retta che forma un angolo minore di 90° con il gradiente
.
Data la seguente funzione f e il punto x0, il modulo del gradiente di f in quel punto vale
f(x)=X12+3x2; x0=(2,-3):
-3
3
4
5
.
Risolvere il seguente problema di Programmazione Lineare con il metodo grafico indicando il valore della funzione obiettivo all'ottimo:
-6
-3
0
4
.
La trasformazione della seguente disequazione dalla forma canonica a quella standard è
a b c d.
La traformazione da forma standard a forma canonica della seguente equazione è
a b c d.
Una matrice A=(mxn) ha rango pieno se:
det(A) ≠ 0
det(A) ≠ 0
det(A) = m
m>n
Ha m righe linearmente indipendenti
.
Una matrice A è singolare se:
È invertibile
det(A)=0
Ha rango pieno
È una matrice Identità
.
Xb=B-1b è una soluzione del sistema se:
Xb ≥ 0
Le variabili fuori base non sono nulle
Se det(B)=0
Sempre
.
Dato un problema di PL in forma standard cui si hanno n incognite e m equazioni tali che n>m, una base B è:
Una matrice con n righe e n colonne
Una matrice con m righe e n colonne
Una matrice con m righe e m colonne
Una matrice con n righe e m colonne
.
Dato il seguente problema di PL, la matrice A del problema in forma standard è data da
a s d f.
Un insieme X è convesso se:
Comunque presi due punti appartenenti all' insieme, ogni loro combinazione convessa stretta fa ancora parte dell'insieme
Comunque presi due punti appartenenti all' insieme, ogni loro combinazione convessa fa parte dell'insieme
è chiuso e limitato
Anche la frontiera fa parte dell'insieme
.
Dati i punti x=1 e y=2, una loro combinazione convessa stretta è:
z=0
z=1
z=3/2
z=2
.
Data una funzione f definita su un insieme X, un punto x∈X in cui è verificata la seguente condizione è detto
f(x) ≤ f(y) ∀ y ∈ X:
punto di minimo locale di f su X
punto di minimo globale di f su X
punto di massimo locale di f su X
punto di massimo globale di f su X
.
Una funzione f del vettore x1, x2,...,xn, definita convessa se per ogni coppia di vettori x1 x2 vale che:
a b c d.
Un punto di massimo locale di una funzione definita su insieme convesso X è anche un punto di massimo globale se:
la funzione è convessa
a la funzione è lineare
b.
Dato un insieme finito di semispazi chiusi e iperpiani, possiamo dire che:
tale insieme individua sicuramente un politopo
tale insieme individua sicuramente un insieme convesso
tale insieme individua sicuramente un punto
tale insieme individua sicuramente un insieme chiuso e limitato
.
Un vincolo del tipo αT x≥ β con x ∈ Rn:
un insieme vuoto
Un insieme chiuso e limitato
una retta
un insieme convesso
.
Dati i seguenti vincoli, la loro intersezione individua
x1 +2x2 +x3 -x4 ≥ 0; x1 +2x2 +x3 -x4 ≤ 0:
un insieme vuoto
un punto
un iperpiano
un insieme chiuso e limitato
.
Un poliedro convesso in Rn è:
un solido nello spazio n-dimensionale dotato di un numero finito di vertici
un insieme sicuramente chiuso e limitato
un politopo
l'insieme dei punti che soddisfano un sistema finito di equazioni e disequazioni lineari in n variabili
.
Dato un problema di PL, un vertice del poliedro definito dai suoi vincoli è:
un punto che non si può ottenere come combinazione convessa stretta di altri due punti del poliedro
un punto ottenuto come combinazione convessa stretta di altri due punti del poliedro
una qualsiasi soluzione ammissibile del problema di PL
una soluzione base ammissibile che ha almeno una componente nulla
.
La regione ammissibile del seguente problema di PL è
un poliedro
un politopo
un punto
un insieme illimitato
.
La regione ammissibile del seguente problema di PL è
un poliedro
un politopo
un punto
un insieme chiuso e limitato
.
Dato un problema di PL in forma standard in cui si hanno 5 variabili e 3 vincoli, il numero di basi del sistema lineare è:
3
5
10
15
.
La soluzione ottima di un problema di PL i cui vincoli definiscono un politopo è:
un punto ottenuto come combinazione convessa stretta dei vertici
un vertice ma non necessariamente una soluzione base ammissibile
una soluzione base ammissibile ma non necessariamente un vertice
un vertice del politopo
.
Dato il seguente problema di PL, un vertice del politopo definito dai suoi vincoli è
[x1 x2] = [ 3 2]
[x1 x2] = [ 2 4]
[x1 x2] = [ 1 1]
[x1 x2] = [ 2 3]
.
Una soluzione base ammissibile (non degenere) è ottima se:
il vettore dei costi ridotti delle variabili fuori base ha almeno una componente nulla
il vettore dei costi ridotti ha tutte le sue componenti pari a zero
il costo ridotto delle variabili in base è positivo
il vettore dei costi ridotti non ha componenti negative
.
Il vettore dei costi cT rappresenta:
il vettore dei coefficienti della funzione obiettivo
la funzione obiettivo
il vettore delle variabili di un problema di programmazione lineare
il vettore dei termini noti del sistema dato dai vincoli di un problema di programmazione lineare
.
1 siamo in presenza della soluzione ottima
il problema è inferiormente illimitato
siamo in presenza di una soluzione degenere
la variabile xh entra in base sostituendone un'altra
.
Il valore di θ rappresenta:
il valore della funzione obiettivo alla corrente iterazione
il modulo della variazione della funzione obbiettivo a seguito del cambiamento di base
il valore massimo che può assumere una variabile che entra in base
il costo ridotto associato ad una variabile fuori base
.
La quantità
rappresenta:
il valore della funzione obiettivo alla corrente iterazione
la variazione della funzione obbiettivo a seguito del cambiamento di base
il valore massimo che può assumere una variabile che entra in base
il costo ridotto associato ad una variabile fuori base
.
Il metodo del simplesso:
si arresta se il problema è illimitato
visita tutti i vertici del politopo
partendo da una soluzione base ammissibile si muove randomicamente verso altri vertici fino al raggiungimento di quello ottimo
è un metodo per la risoluzione di problemi di programmazione lineare intera
.
Risolvendo il seguente problema di PL con il metodo del simplesso, all'ottimo la variabile x4 vale
-2,5
1/2
0
3/2.
Risolvendo il seguente problema di PL con il metodo del simplesso, all'ottimo la variabile F.O. vale
-11
-5.25
-7.5
-6
.
Risolvendo il seguente problema di PL con il metodo del simplesso, la soluzione ottima è
a il problema è illimitato
l'insieme delle soluzioni ammissibili è vuoto
b.
Risolvendo il seguente problema di PL con il metodo del simplesso, la soluzione ottima è
a il problema è illimitato
l'insieme delle soluzioni ammissibili è vuoto
b.
Dato il seguente problema di PL, la formulazione in forma standard è
a b c d.
Dato il seguente problema di PL, con riferimento alla formulazione in forma standard min{cT x: Ax=b, x≥ 0} la matrice A è data da
a b c d.
Sia dato un problema di PL costituito da m vincoli e n incognite con n>m. Sia inoltre B una base della matrice A e F la rimanente parte della matrice. Allora il prodotto B -1F è:
un vettore di m componenti
una matrice con m righe e n colonne
una matrice con m righe e m colonne
una matrice con m righe e n-m colonne
.
Dato il seguente problema di PL, con riferimento alla formulazione in forma standard min {cT x: Ax=b, x≥ 0}sia data la base B=[A1,A3,A5] e la corrispondete matrice F=[A2,A4]. Allora Il prodotto B -1F è dato da
a b c d.
Quando si organizzano i passaggi dell'algoritmo del simplesso in una tabella, tale tableau riporta:
Il valore della F.O. cambiato di segno, il vettore dei costi ridotti, la soluzione corrente, la matrice B-1A
Il valore della F.O. cambiato di segno, il vettore dei costi ridotti, la soluzione corrente, la matrice A
Il valore della F.O, il vettore dei costi, il vettore dei termini noti, la matrice A
Il valore della F.O., il vettore dei costi ridotti, la soluzione corrente, la matrice B-1A
.
Sia dato un problema di PL costituito da m vincoli e n incognite con n>m. Sia inoltre B una base della matrice A e F la rimanente parte della matrice. Allora il vettore dei costi ridotti :
è un vettore di n componenti date da: [cTB, cTF - cTB B-1F]
un vettore di n componenti date da: [cTB, cTF]
un vettore di n componenti date da: cTB B-1A
un vettore che ha m componenti nulle e n-m componenti date dalla differenza tra i vettori cTF - cTB B-1F
.
Dato un problema di PL in forma standard min{cT x: Ax=b, x≥ 0} ad una certa iterazione del simplesso si ottiene il seguente tableau. Allora possiamo dire che
La variabile x2 entra in base con valore 4/3 annullando la variabile x1
La variabile x2 entra in base con valore 1/2 annullando la variabile x3
La variabile x4 entra in base con valore -2 annullando la variabile x1
a.
Dato un problema di PL in forma standard min{cT x: Ax=b, x≥ 0}, ad una certa iterazione del simplesso si ottiene il seguente tableau. Allora possiamo dire che:
La variabile x4 entra in base con valore 1 annullando la variabile x2
La variabile x4 entra in base con valore 1/2 annullando la variabile x3
Il problema è inferiormente illimitato
La variabile x1 entra in base con valore -6 annullando la variabile x2
.
Dato un problema di PL in forma standard min{cT x: Ax=b, x≥ 0}, ad una certa iterazione del simplesso si ottiene il seguente tableau. L'elemento pivot è pari a:
1/2 3/2 2 3.
Dato un problema di PL in forma standard min{cT x: Ax=b, x≥ 0}, ad una certa iterazione del simplesso si ottiene il seguente tableau. Il tableau aggiornato è dato da:
a b c Non è necessaria una nuova iterazione, la soluzione fornita dal tableau è ottima
.
Un upper bound della funzione obiettivo di un problema di minimizzazione è:
Il massimo valore che la F.O. può assumere
Un valore ottenuto con una qualsiasi soluzione ammissibile
Il valore minimo che la funzione obiettivo può assumere
L'ottimo del problema di minimizzazione
.
Un lower bound bound della funzione obiettivo di un problema di minimizzazione è:
Una stima per eccesso del valore della F.O. all'ottimo
L'ottimo del problema di minimizzazione
Un valore sicuramente inferiore o uguale della F.O. all'ottimo
Un valore sicuramente maggiore della F.O. all'ottimo
.
Dati due vettori v1 e v2, una loro combinazione conica è:
a b c d.
Il duale del seguente problema di PL è:
a b c d.
Il teorema della dualità debole afferma che:
Dati due punti x e u ammissibili per la coppia primale-duale vale sempre la relazione uT b = cT x
Dati due punti x e u ammissibili per la coppia primale-duale vale sempre la relazione uT b ≤ cT x
Dati due punti x e u ammissibili per la coppia primale-duale vale sempre la relazione uT b ≥ cT x
Dati due punti x e u ammissibili per la coppia primale-duale vale sempre la relazioneuT b ≠ cT x
.
Dato il seguente un problema di PL. Il duale del suo duale è
a b c d.
Siano x e u due vettori ammissibili per i rispettivi problemi (primale-dulae) e che soddisfano le condizioni di ortogonalità. Possiamo dire che:
All' ottimo il valore della F.O. è uguale nei due problemi
Il valore della F.O. del problema duale è sempre minore uguale di quella del primale
Il valore della F.O. del problema duale è sempre maggiore uguale di quella del primale
x e u sono uguali
.
Dato il seguente problema di PL, la viariabile duale u1 associata al primo vincolo all'ottimo vale:
-0,666666667
-0,333333333
0
1
.
Sia dato il seguente problema di PL e sia LB=-2 il lower bound della F.O. La soluzione ottima è del tipo
a b c d.
Sia dato il seguente problema di PL e sia LB=-12 il lower bound della F.O. La soluzione ottima è del tipo
a b c d.
Dato il problema min{cT x: Ax=b, x≥ 0} e il corrispondente duale max{uTb: uTA≤cT}, il vettore generato ad ogni iterazione dell'algoritmo del simplesso cTB B-1:
soddisfa le condizioni di ortogonalità solo all'ultima iterazione quando i costi ridotti sono non nulli
rappresenta sempre una soluzione ammissibile per il problema duale
rappresenta sempre una soluzione ammissibile per il problema duale
è una soluzione ammissibile per il duale solo se le sue componenti sono non nulle
.
Dato il seguente problema di PL e la corrispondente soluzione ottima, l'ottimo duale è
[u 1 u2 u3] = [-1 0 3/2]
[u 1 u2 u3] = [0 0 1]
[u 1 u2 u3] = [1 1/2 3/2]
[u 1 u2 u3] = [-1 0 0]
.
Sia dato un problema di PL costituito da m vincoli e n incognite con n>m. Sia inoltre B una base della matrice A. Allora il prodotto cTB B-1 è:
un vettore di m componenti
un vettore di n componenti
una matrice con m righe e n colonne
una matrice con m righe e m colonne
.
L'analisi di sensitività consiste nel:
risolvere il problema di minimizzazione con diversi algoritmi e valutare la rapidità di convergenza verso la soluzione ottima
valutare la stabilità della soluzione ottima facendo variare i dati del problema
effettuare dei test per vedere se effettivamente la soluzione ottima trovata minimizza la funzione obiettivo
valutare l'unicità della soluzione ottima
.
Sia B la base ottima di un problema di PL e sia Δb il vettore non nullo che rappresenta la variazione dei termini noti. Supponendo verificata la condizione B-1(b +Δb) ≥ 0, possiamo dire che:
variano le componenti del vettore dei costi ridotti
la base B potrebbe non essere più ottima
la base B rimane ottima e non cambia il valore della F.O.
cambiano le coordinate della soluzione ottima e il valore della F.O.
.
Sia B la base ottima di un problema di PL e sia ΔcF il vettore non nullo che rappresenta la variazione de costi delle variabili fuori base. Supponendo che le componenti del vettore ΔcF non siano minori delle omologhe componenti del vettore dei costi ridotti, a seguito della variazione dei costi delle variabili fuori base si ha che:
variano le componenti del vettore dei costi ridotti
la base B potrebbe non essere più ottima
cambia il valore della F.O.
cambiano le coordinate della soluzione ottima
.
Sia B la base ottima di un problema di PL e sia ΔcB il vettore non nullo che rappresenta la variazione de costi delle variabili in base. Possiamo dire che, supponendo che sia verificata la condizione
il valore della F.O. non cambia
la base B potrebbe non essere più ottima
variano le componenti del vettore dei costi ridotti e il valore della F.O.
cambiano le coordinate della soluzione ottima
.
Siano dati la matrice ottima B-1 di un problema di PL e il vettore dei termini noti b. Con riferimento alla variazione dei termini noti non comporta una variazione della base B il vettore
Δb = [Δb1 Δb2 Δb3]T = [0 -3 2]T
to doΔb = [Δb1 Δb2 Δb3]T = [12 0 1/2]T
Δb = [Δb1 Δb2 Δb3]T = [5 -2 -4]T
Δb = [Δb1 Δb2 Δb3]T = [8 1 -2]T
.
Dato il seguente tableau ottimo, con riferimento alla variazione dei costi delle variabili fuori base non comporta un cambio della base ottima il vettore:
[Δc3 Δc4] = [-1 0]
[Δc3 Δc4] = [1 -3]
[Δc3 Δc4] = [0 -5]
[Δc3 Δc4] = [-3 -6]
.
Dato il seguente tableau ottimo, con riferimento alla variazione dei costi delle variabili in base non comporta un cambio della base ottima il vettore:
[Δc1 Δc2] = [-1 0]
[Δc1 Δc2] = [-1/2 1]
[Δc1 Δc2] = [-1/2 -1/2]
[Δc1 Δc2] = [-1 -1/2]
.
Un problema di Programmazione Lineare Intera è:
Un problema di ottimizzazione in cui la funzione obiettivo è lineare e le variabili sono intere
Un problema di ottimizzazione in cui la funzione obiettivo è lineare e le variabili sono continue
Un problema di ottimizzazione in cui la funzione obiettivo non è lineare e le variabili sono intere
Un problema di ottimizzazione in cui la funzione obiettivo non è lineare e le variabili sono continue
.
Il rilassamento continuo di un problema di PLI consiste in:
Assumere che alcune o tutte le variabili possa assumere valori infiniti
Risolvere un problema di PLI come se fosse un problema di PL e arrotondare la soluzione ottima
Rimuovere il vincolo di positività delle variabili
Rimuovere il vincolo di interezza delle variabili
.
Il valore ottimo della F.O. di un problema di PLI di massimizzazione rilassato è:
Minore uguale del valore della F.O. all' ottimo intero
Maggiore o uguale del valore della F.O. all' ottimo intero
Uguale del valore della F.O. all' ottimo intero
Maggiore del valore della F.O. all' ottimo intero
.
Il guscio convesso di un insieme di punti interi è:
L'insieme convesso che si ottiene sempre quando si rilassano i vincoli di interezza
Un sottoinsieme di esso
Un insieme discreto con vertici interi
Un insieme continuo con vertici interi
.
Siano w e p rispettivamente il peso e il profitto associati ad una collezione di oggetti. Allora, il seguente problema di PLI è un
knapsack binario
knapsack intero non capacitato
knapsack intero capacitato
Un problema di set covering
.
Siano w e p rispettivamente il peso e il profitto associati ad una collezione di oggetti. Allora, il seguente problema di PLI è un:
knapsack binario
knapsack intero non capacitato
knapsack intero capacitato
Un problema di set covering
.
Una società vuole ridurre al minimo le spese attraverso una riorganizzazione aziendale che consiste nell' assegnamento ottimo delle mansioni ai dipendenti. La società non vuole licenziare nessun dipendente e vuole garantire che tutte le attività non rimangano scoperte. Sia xij la vriabile che associa il generico dipendente i alla generica mansione j, e sia cij il corrispettivo che l'azienda paga al dipendente i per la mansione j. Considerando che ogni attività può essere fatta anche da più addetti contemporaneamente ma che ogni addetto può essere assegnato ad una sola attività, Il problema che l'azienda deve risolvere è:
a b c d.
Una società vuole ridurre al minimo le spese attraverso una riorganizzazione aziendale che consiste nell' assegnamento ottimo delle mansioni ai dipendenti. Non è esclusa la possibilità che venga licenziato qualche dipendente, purché tutte le attività rimangano coperte. Sia xij la vriabile che associa il generico dipendente i alla generica mansione j, e sia cij il corrispettivo che l'azienda paga al dipendente i per la mansione j. Considerando che ogni attività deve essere fatta da un solo addetto e che egli può essere assegnato ad una sola attività, Il problema che l'azienda deve risolvere è:
a b c d.
Sia dato un insieme finito di oggetti E e una famiglia F costituita da sottoinsiemi A non vuoti di E. Sia inoltre 'I' la matrice di incidenza della famiglia F su E, di componenti aij. La formulazione seguente indica:
Un problema di set covering
Un problema di set partitioning
Un problema di set packing
Un problema la cui soluzione ottima è il vettore nullo
.
La mappa in figura rappresenta la città di Roma suddivisa per muncipi. Ogni cittadino deve avere almeno un ospedale nella zona in cui risiede o in una zona adiacente. L'obiettivo è dunque quello di minimizzare la cardinalità degli ospedali. La funzione obiettivo del problema e il vincolo solo per il municipio 18 sono:
a s d f.
Siano i e j una coppia di lavori da fare su una macchina a capacità unitaria. Un vincolo disgiuntivo esprime la condizione:
I lavori i e j non devono essere eseguiti in serie
I lavori i e j vanno eseguiti in serie o in parallelo
Eseguo il lavoro i oppure quello j
i precede j oppure j precede i
.
Dato una coppia di lavoro i, j il vincolo seguente indica tj ≥ ti + pi:
j precede i eil lavoro j ha durata pi
j precede i e il lavoro i ha durata pi
i precede j e il lavoro i ha durata pi
i precede j e il lavoro j ha durata pi
.
Data la seguente variabile decisionale disgiuntiva yij, i vincoli di sequenziamento utilizzando il big-M sono
a s fg g.
Il valore di x che risolve il seguente problema è
-∞
0
44232
+∞
.
Il valore di x che risolve il seguente problema è
-1
0
1
2
.
Sia data una macchina a capacità unitaria che deve effettuare tre lavori con tempi di processamento: p1=3, p2=1, p3=1.Inoltre: se il primo lavoro precede il terzo, l'inizio del secondo lavoro deve aspettare un tempo Δ2=3 dopo il termine del terzo lavoro; se il terzo lavoro precede il secondo, l'inizio del primo lavoro deve aspettare un tempo Δ1=2 dopo il termine del secondo. La corretta formulazione del porblema di sequenziamento è:
a s d g.
La formulazione della F.O. del tipo minmax {a(x),b(x),c(x)} con a(x),b(x),c(x) lineari continue e non parallele :
lineare
lineare a tratti
di grado superiore al primo
una funzione discreta
.
La formulazione della F.O. del tipo minmax {a(x),b(x)} con a(x),b(x) lineari continue e parallele è:
lineare
lineare a tratti
di grado superiore al primo
una funzione discreta
.
Siano A e B una coppia origine-destinazione e siano k=1,2,…n i vagoni di convoglio. Sia inoltre xk il numero di passeggeri assegnato a ciascun vagone e sia B il totale dei passeggeri che vuole spostarsi da A a B. Deve essere sempre garantito che:
a s d f.
Siano A e B una coppia origine-destinazione e siano k=1,2,…n i vagoni di convoglio. Sia inoltre xk il numero di passeggeri assegnato a ciascun vagone e sia B il totale dei passeggeri che vuole spostarsi da A a B, e Q la capacità massima del treno. Affinchè il numero dei passeggeri sia equamente distribuito tra i vagoni (è ammessa approsimazione) deve risultare che:
a s df f.
|
