Análisis Bayesiano de Datos

Dada la distribución conjunta p(y1​,y2​) de dos variables discretas, ¿cómo se calcula teóricamente la distribución marginal p(y1​)?. Integrando la conjunta p(y1​,y2​) respecto a la variable y1​. Sumando las probabilidades conjuntas p(y1​,y2​) sobre todos los valores posibles de y2​. Dividiendo la probabilidad conjunta p(y1​,y2​) entre la probabilidad de p(y2​).

En el caso de dos variables aleatorias continuas Y1​ e Y2​ con densidad conjunta p(y1​,y2​), ¿cuál es la expresión matemática correcta para obtener su densidad marginal p(y1​)?. a). b). c).

¿Cuál es la fórmula fundamental que nos permite derivar la densidad condicional p(y2​∣y1​) si conocemos la conjunta y la marginal?. a). b). c).

En una función de probabilidad de una variable aleatoria Y, el valor ymin​ que minimiza la función de pérdidas cuadrática (Y−ymin​)2 es igual a: La mediana. La media. La media cuadrática.

Se pregunta a las personas que participan en una encuesta por la "frecuencia con la que se sienten solas", dando las opciones de respuesta: "Nunca", "A veces", "A menudo", "Siempre". La respuesta a este ítem es una variable aleatoria de tipo: Ordinal. Nominal. Discreta.

La expresión matemática P(X)∝P(Y) se lee: "P(X) se distribuye según P(Y)". "P(X) es proporcional a P(Y)". "P(X) es complementaria a P(Y)".

¿Cómo se define matemáticamente y qué representa la varianza Var[Y] de una distribución?. Es el valor de Y que se encuentra exactamente en el medio de la distribución (cuantil 50%). Es la distancia promedio al cuadrado que un valor de la muestra Y tendrá respecto a la media de la población E[Y]. Es la probabilidad de observar los datos extremos bajo una distribución dada.

En las variables aleatorias continuas, la función de densidad de probabilidad p(y): No representa directamente "la probabilidad de que Y=y" y puede tomar valores mayores que 1. Representa estrictamente la probabilidad exacta P(Y=y) y siempre debe ser menor o igual a 1. Se calcula sumando sobre todo el espacio muestral.

Se realiza un experimento con un número determinado de n ensayos (ej. lanzar 4 monedas), y nos interesa modelar el número de "éxitos" y, teniendo cada éxito una probabilidad θ. ¿Qué distribución de probabilidad define esta variable aleatoria discreta?. Distribución Normal. Distribución de Poisson. Distribución Binomial.

Si decimos que las variables aleatorias Y1​,…,Yn​ son condicionalmente independientes dado un parámetro θ, ¿cómo se expresa su densidad conjunta p(y1​,…,yn​∣θ)?. Como la suma ponderada de sus densidades marginales. Como el producto de sus densidades marginales individuales: ∏i=1n​p(yi​∣θ). Como la integral de la densidad conjunta sobre todo el espacio del parámetro θ.

¿Qué condición teórica debe darse para afirmar que una secuencia de variables aleatorias Y1​,…,Yn​ es "intercambiable" (exchangeable)?. Que la distribución conjunta de las variables sea siempre la misma aunque hagamos una permutación (alteremos el orden) de sus subíndices. Que las variables sean obligatoriamente extraídas sin reemplazo (sin reposición) de la población. Que su función de densidad conjunta sea igual a 1.

Según el teorema de de Finetti, si asumimos que un modelo de creencias para una secuencia infinita de observaciones es "intercambiable" para cualquier tamaño de muestra n, entonces estas variables: Pierden toda su varianza conforme el número de muestras n tiende a infinito. Pueden tratarse matemáticamente como si fueran condicionalmente independientes e idénticamente distribuidas (i.i.d.) dado un parámetro subyacente θ. Nunca pueden ser utilizadas en un modelo jerárquico bayesiano debido a su alta autocorrelación.