Análisis Bayesiano de Datos

Comparamos la hipótesis nula formalizada mediante el modelo M0​ con la hipótesis alternativa formalizada mediante el modelo M1​, obteniendo un Factor de Bayes BF01​=235, indicando “evidencia extrema” según la clasificación de Jeffreys. De acuerdo a este resultado, concluimos que: No hay evidencia suficiente para rechazar la hipótesis nula. Hay evidencia suficiente para aceptar la hipótesis nula. Hay evidencia suficiente para aceptar la hipótesis alternativa.

La ecuación matemática del Factor de Bayes de la imagen,​ representa teóricamente: El ratio de las verosimilitudes marginales de los modelos bajo comparación. La probabilidad posterior incondicional de los modelos. El ratio de las distribuciones previas de los parámetros de interés.

Si al calcular un Factor de Bayes obtenemos un resultado de BF12​=0.20, la interpretación matemática estricta es que: Hay un 20% de probabilidad de que el Modelo 1 sea correcto. Los datos observados son 5 veces más probables de haber ocurrido bajo el Modelo 2 que bajo el Modelo 1. Existe evidencia moderada a favor de la hipótesis nula.

La igualdad matemática de la imagen implica teóricamente que: M1​,M2​ es una partición del espacio muestral de modelos. M2​ no forma parte del espacio muestral de modelos. La evidencia en favor de M1​ es digna sólo de una "simple mención".

Según el Teorema de Bayes aplicado a la evaluación de modelos, ¿cómo se actualizan las creencias sobre la plausibilidad de dos teorías en competición?. Probabilidad Posterior = Factor de Bayes + Probabilidad Previa. Odds Posteriores (Posterior odds) = Factor de Bayes × Odds Previos (Prior odds). Factor de Bayes = Verosimilitud Marginal × Probabilidad Previa de los modelos.

¿Por qué la verosimilitud marginal (y por extensión el Factor de Bayes) actúa como una "Navaja de Ockham" penalizando a los modelos muy complejos?. Porque el cálculo de modelos complejos arroja un margen de error de Monte Carlo inaceptable. Porque un modelo complejo debe dividir su probabilidad predictiva previa entre demasiadas predicciones posibles, haciendo que una alta proporción de estas predicciones resulten falsas ante los datos reales. Porque la penalización se introduce manualmente restando el número de parámetros a la ecuación.

¿cuál de los siguientes factores aumenta la "complejidad" de un modelo haciéndolo más difícil de apoyar con la evidencia empírica?. Utilizar un tamaño de muestra N muy elevado. Asignar distribuciones previas (priors) a los parámetros que sean muy anchas o vagas. Evaluar el modelo mediante un muestreador Gibbs en lugar de analíticamente.

¿Cuál es una ventaja teórica fundamental del contraste de hipótesis bayesiano frente al uso del clásico valor-p (p-value)?. La estadística bayesiana no asigna ningún estatus especial a la hipótesis nula, permitiendo cuantificar evidencia directa a favor de la ausencia de un efecto. El enfoque bayesiano no depende de la definición de una hipótesis alternativa. Permite rechazar la hipótesis nula calculando únicamente la verosimilitud máxima del modelo 0.

En la investigación empírica bayesiana, la regla sobre cuándo detener la recogida de datos ("optional stopping") frente al enfoque frecuentista: Obliga a fijar el tamaño muestral de antemano para no inflar artificialmente la tasa de falsos positivos. Es irrelevante; el investigador es libre de continuar o detener la recogida de datos en cualquier momento según la evidencia acumulada. Depende de la probabilidad predictiva previa calculada en el primer ensayo.

¿Cuál es el principal reto conceptual o debilidad al que se enfrenta el cálculo del Factor de Bayes?. Es altamente dependiente del tamaño de la muestra, rechazando siempre la hipótesis nula si la muestra es grande. Es muy sensible a la anchura de las distribuciones previas (priors) asignadas a los parámetros. No permite evaluar modelos que carezcan de parámetros continuos.

El método o ratio de Savage-Dickey permite calcular de manera sencilla el Factor de Bayes para hipótesis anidadas (ej. H0​:θ=0.5 vs H1​:θ/=0.5). Matemáticamente, este cálculo equivale a: Dividir la media de la distribución posterior entre la varianza de la distribución previa. El ratio entre la altura de la distribución de densidad posterior y la altura de la distribución previa, evaluadas exactamente en el punto de interés dictado por la hipótesis nula. Simular la verosimilitud marginal mediante una mezcla de gaussianas.

En un experimento evaluamos si una moneda está trucada (H0​:θ=0.5). Utilizando MCMC, estimamos que la altura de nuestra distribución previa en el punto 0.5 era de 1.00. Tras observar los datos, la altura de la distribución posterior en el punto 0.5 cae drásticamente hasta 0.107. ¿Cuál es el resultado de la evidencia o Factor de Bayes BF01​?. 1.107. 9.34. 0.107.