Automatización y control de procesos: Tests de clase S02

¿Cuál de estas afirmaciones describe correctamente una limitación de la función de transferencia?. No describe la evolución de las variables internas del sistema, que a menudo son las que deciden si algo se satura, se desborda o se rompe. Al estar definida con condiciones iniciales nulas, pierde información sobre la dinámica del sistema. Solo puede aplicarse a sistemas SISO: con varias entradas y salidas deja de estar definida. No permite representar sistemas inestables, porque su denominador debe tener todas las raíces en el semiplano izquierdo.

Un compañero afirma: «para predecir la salida de este sistema a partir de t₀ necesito conocer todo el historial de la entrada desde que la planta se puso en marcha». ¿Qué le responderías?. Tiene razón: la salida depende de toda la historia pasada del sistema. Basta con el modelo, el valor del estado en t₀ y la entrada a partir de t₀: toda la información relevante del pasado está comprimida en x(t₀). Basta con conocer la salida y(t₀), porque es la variable que se mide. Depende: si el sistema es no lineal sí hace falta el historial completo.

[Varias respuestas] Sobre la elección de las variables de estado a partir de un modelo de ecuaciones diferenciales, ¿qué afirmaciones son correctas?. Una ODE de orden n da lugar, en general, a n estados. Conviene priorizar variables con significado físico, como posiciones, velocidades, niveles o corrientes en bobinas. No hace falta que todos los estados se puedan medir directamente. Al menos una de las variables de estado tiene que coincidir con una de las salidas del sistema.

Sobre el orden de una realización mínima de un sistema MIMO: Coincide con el grado del denominador común de todos los elementos de G(s). Es la suma de los grados de los denominadores de todos los elementos de G(s). No tiene por qué coincidir ni con el mayor de esos grados ni con su suma, aunque siempre queda comprendido entre ambos valores. Es igual al número de entradas multiplicado por el número de salidas.

Un sistema LTI tiene 4 variables de estado, 2 entradas y 3 salidas. ¿Cuáles son las dimensiones de B y de C?. B es 2×4 y C es 4×3. B es 4×2 y C es 3×4. B es 4×4 y C es 3×3. B es 4×3 y C es 2×4.

En el diagrama de bloques de un sistema LTI en espacio de estados, ¿dónde entra la condición inicial x(t₀)?. Se suma a la entrada u, antes del bloque B. Como valor inicial del integrador, cuya salida es precisamente el vector de estado. Se suma a la salida y, después del bloque C. No aparece en el diagrama: es información externa al modelo.

[Varias respuestas] Sobre la solución de la ecuación de estado de un sistema LTI, ¿qué afirmaciones son correctas?. El primer sumando es la respuesta natural, y depende únicamente de la condición inicial. Toda la dinámica está contenida en eAt, cuyos elementos son combinaciones de términos eλⁱt. A la matriz e^At se la denomina matriz de transición, porque describe cómo evoluciona el sistema desde su estado inicial en ausencia de acciones externas. La fórmula solo es válida si la matriz A es diagonalizable.

¿Por qué no se debe escribir G(s) = Y(s)/U(s) en un sistema MIMO?. Porque en MIMO la relación entrada–salida deja de ser lineal. Porque Y(s) y U(s) son vectores, y la división entre vectores no está definida: la definición es Y(s) = G(s)U(s). Porque G(s) depende de las condiciones iniciales y el cociente no lo refleja. Porque en MIMO hay que dividir elemento a elemento, es decir, G_ij(s) = Y_i(s)/U_j(s) para todos los pares.

Si repites la deducción de la salida en Laplace partiendo de x(0) ≠ 0, aparece un término adicional C(sI−A)⁻¹x(0). ¿Qué consecuencia tiene sobre los polos?. Introduce polos nuevos, que dependen del valor concreto de x(0). No introduce polos nuevos: el denominador de ese término es el mismo polinomio característico de A. Cancela algunos de los polos de G(s), según el valor de x(0). Desplaza todos los polos hacia la izquierda, lo que explica que la respuesta natural siempre decaiga.

[Varias respuestas] Sobre la relación entre los polos de G(s) y los valores propios de A, ¿qué afirmaciones son correctas?. Todo polo de G(s) es un valor propio de A. Puede haber valores propios de A que no aparezcan como polos en ningún elemento de G(s). Ambos conjuntos coinciden cuando la realización es mínima. Para decidir si un modelo en espacio de estados es estable basta con mirar los polos de G(s).

Un sistema tiene A = diag(−3, 1), B = [1 0]ᵀ, C = [1 1] y D = 0, de donde resulta G(s) = 1/(s+3). ¿Es estable?. Sí: su único polo está en s = −3, en el semiplano izquierdo. No: A tiene un valor propio en +1 que no aparece en G(s), y cualquier condición inicial no nula en x₂ hace que la salida diverja. Sí, siempre que se parta del reposo y la entrada esté acotada. No se puede saber sin conocer la entrada aplicada.

Una masa libre sin muelle ni amortiguador (m·z̈ = u) tiene λ = 0 como valor propio doble, y A no tiene dos vectores propios independientes. ¿Cómo se comporta?. Es marginalmente estable: la respuesta natural ni crece ni decae. Es asintóticamente estable, porque ningún valor propio tiene parte real positiva. No es estable ni marginalmente estable: en la respuesta natural aparece un término proporcional a t, y la posición crece sin límite. Es inestable, porque un valor propio repetido siempre implica crecimiento exponencial.

Un sistema tiene un par de valores propios λ = −0.5 ± j3. ¿Cuáles son su frecuencia natural, su amortiguamiento relativo y la constante de tiempo de la envolvente?. ωₙ = 3 rad/s, ζ = 0.167, τ = 2 s. ωₙ = 3.04 rad/s, ζ = 0.164, τ = 2 s. ωₙ = 3.04 rad/s, ζ = 0.164, τ = 0.33 s. ωₙ = 3.5 rad/s, ζ = 0.143, τ = 2 s.

Tienes un sistema de tercer orden con un par de polos complejos dominantes y un cero. ¿Puedes usar Mₚ = e^(−πζ/√(1−ζ²)) para estimar la sobreoscilación?. Sí, siempre: la fórmula solo depende de ζ, que está bien definido para cualquier par complejo. Sí, porque los polos dominantes determinan por completo la respuesta. Con cautela: la fórmula es exacta solo para el sistema de segundo orden estándar sin ceros, y tanto el cero como el tercer polo pueden alterar apreciablemente la sobreoscilación. No, en ningún caso: con más de dos polos la sobreoscilación no está definida.

Un sistema no lineal viene dado por f₁(x,u) = x₂ − x₁³, f₂(x,u) = −2x₁ − 3x₂ + u, g(x,u) = x₁ + u. Puedes comprobar que (x₁*, x₂*, u*) = (1, 1, 5) es un punto de equilibrio. ¿Cuáles son las matrices del modelo linealizado en torno a ese punto? (Se usa la notación [fila₁ ; fila₂].). A = [−3 1 ; −2 −3], B = [0 ; 1], C = [1 0], D = 1. A = [−3 1 ; −2 −3], B = [0 ; 1], C = [1 0], D = 0. A = [0 1 ; −2 −3], B = [0 ; 1], C = [1 0], D = 1. A = [−3 −2 ; 1 −3], B = [0 ; 1], C = [1 0], D = 1.