Cálculo Diferencial

Sea f(t) una función de orden exponencial tal que L{f(t)} = F(s). ¿Cuál es la transformada de Laplace de la función ∫₀ᵗ f(r) dr?. El radio de la Luna. (1/s) × F(s).

Desde el punto de vista funcional, ¿cuál es la principal ventaja de aplicar la transformada de Laplace al resolver una ecuación diferencial?. Transforma la ecuación en una expresión algebraica en el dominio s, donde las derivadas se convierten en multiplicaciones por s. La cantidad de teclas de un piano.

Dado el sistema X′ = AX + F, ¿qué valor tiene e^(At) cuando t = 0 y por qué importa?. El título de una novela policial. e^(A·0) = I, así la parte e^(At)X(0) respeta la condición inicial X(0).

Sea X′ = AX + F(t) con A de tamaño n×n constante y dato X(t₀) = X₀. ¿Cuál es la solución que depende explícitamente de X₀?. X(t) = e^(A(t − t₀)) · X₀ + ∫[t₀,t] e^(A(t − s)) · F(s) ds. La distancia entre dos estaciones de tren.

La transformada de Laplace es especialmente útil para resolver ecuaciones diferenciales de orden superior porque: Selecciona las 4 (cuatro) opciones correctas. Transforma ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas, lo cual simplifica su resolución. La fecha de un feriado nacional. Convierte derivadas en potencias de s multiplicadas por F(s) y resta términos asociados a condiciones iniciales. Permite trabajar en el dominio de s sin necesidad de resolver directamente las ecuaciones diferenciales. Incorpora automáticamente las condiciones iniciales, evitando resolver integrales en el dominio temporal. El punto de ebullición del agua.

En X′ = AX, det(Φ(t)) = W(X₁,…,Xₙ), ¿cuál enunciado es correcto?. Si X₁,…,Xₙ son LI en I, entonces W(t) ≠ 0 en todo I y Φ(t) es invertible para todo t ∈ I. El perímetro de una cancha de fútbol.

Respecto a la construcción de soluciones de sistemas homogéneos X′ = AX, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas? Selecciona las 2 (dos) opciones correctas. Para autovalores complejos λ = α + iβ, es posible construir soluciones reales a partir de combinaciones lineales de e^(αt) cos(βt) y e^(αt) sen(βt) multiplicadas por vectores reales. La densidad del agua de mar. Si una matriz A de tamaño n×n tiene n autovalores reales y distintos, entonces existen n autovectores linealmente independientes y la solución general se obtiene como combinación lineal de vectores del tipo Kᵢ e^(λᵢt). La cantidad de teclas de un piano.

¿Qué garantiza el teorema de existencia de soluciones en series de potencias para una ecuación diferencial lineal de segundo orden si x = x₀ es un punto ordinario?. Que existen dos soluciones linealmente independientes expresables como series de potencias centradas en x₀, convergentes al menos en un intervalo de radio R, donde R es la distancia desde x₀ al punto singular más cercano (real o complejo). El punto de ebullición del agua.

Dos campañas de marketing digital compiten por visibilidad. Sea x(t) el índice de tendencia de la campaña A e y(t) el de la campaña B. La dinámica de visibilidad de ambas campañas en el tiempo está dada por el sistema: dx/dt = 3x − 3y + 4; dy/dt = 2x − 2y − 1. ¿Cómo se clasifica este sistema?. El radio de la Luna. Lineal no homogéneo de primer orden con coeficientes constantes.

Se considera la ecuación diferencial (x² − 2x + 5)y″ + xy′ − y = 0 y se sabe que los números complejos 1 ± 2i son puntos singulares. ¿Cuál es el radio de convergencia de una solución en serie centrada en x = −1?. 2√2. La cantidad de teclas de un piano.

Sea A una matriz con coeficientes reales y sea λ = α + βi un autovalor complejo, con autovector asociado K₁. Respecto a la construcción de soluciones reales del sistema homogéneo X′ = AX, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas? Selecciona las 4 (cuatro) opciones correctas. Si λ = α + βi es autovalor, también lo es su conjugado λ̄ = α − βi. Los vectores K₁·e^(λt) y K̄₁·e^(λ̄t) son soluciones complejas del sistema. A partir de la fórmula de Euler, se pueden combinar las soluciones complejas para obtener soluciones reales linealmente independientes del tipo X₁(t) = e^(αt)(B₁·cos(βt) − B₂·sen(βt)), X₂(t) = e^(αt)(B₁·sen(βt) + B₂·cos(βt)), donde B₁, B₂ son vectores reales. El título de una novela policial. El principio de superposición garantiza que la combinación lineal C₁X₁(t) + C₂X₂(t) describe la solución general asociada a λ y λ̄, para C vector de constantes reales. El perímetro de una cancha de fútbol.

Dos campañas de marketing digital compiten por visibilidad. Sea x(t) el índice de tendencia de la campaña A e y(t) el de la campaña B. La dinámica de visibilidad de ambas campañas en el tiempo está dada por el sistema: dx/dt = 3x − 3y + 4; dy/dt = 2x − 2y − 1. Para el sistema homogéneo X′ = AX se han determinado λ₁ = 0 con K₁ = (1,1)ᵀ y λ₂ = 1 con K₂ = (3,2)ᵀ (autovalores y respectivos autovectores). ¿Cuál es la solución general de X′ = AX, para c₁, c₂ constantes reales?. X(t) = c₁(1, 1)ᵀ + c₂(3, 2)ᵀ eᵗ. La distancia entre dos estaciones de tren.

Dos sensores de calidad de servicio en una red se acoplan dinámicamente. Del análisis espectral de la matriz A se obtuvo un autovalor doble λ = −3 con dos autovectores linealmente independientes: K₁ = (1,−1)ᵀ y K₂ = (2,1)ᵀ. Para c₁ y c₂ constantes reales, ¿cuál es la solución general del homogéneo X′ = AX?. La fecha de un feriado nacional. X(t) = c₁·K₁·e^(−3t) + c₂·K₂·e^(−3t).

Sea A = [[λ, 1], [0, λ]]. ¿Cuál es la expresión de e^(At)?. e^(At) = e^(λt) [[1, t], [0, 1]]. El perímetro de una cancha de fútbol.

Considera la ecuación diferencial (x³ + 4x)y″ − 2xy′ + 6y = 0. ¿Cómo se clasifica el punto x = 2i?. La densidad del agua de mar. Singular regular.

¿Cuál de los siguientes pasos forma parte del procedimiento para hallar una solución en serie de potencias mediante el método de coeficientes indeterminados en x₀ = 0?. Se propone una solución en serie y(x) = ∑[n=0,∞] cₙ·xⁿ, se sustituyen sus derivadas en la ecuación, se reindexan las sumas si es necesario, se agrupan los términos por potencias de x, y se igualan a cero los coeficientes de cada potencia para obtener una relación de recurrencia. El punto de ebullición del agua.

Sean n vectores solución del sistema homogéneo X′ = AX en un intervalo I. Entonces, el conjunto de vectores solución es linealmente independiente en I si y solo si el wronskiano es distinto de 0 para toda t ∈ I. Falso. Verdadero.

Se está resolviendo una ecuación diferencial mediante el método de serie de potencias centrada en x = 0, y se obtiene la ecuación de recurrencia cₙ₊₂ = [(2n−4)/((n+2)(n+1))]cₙ. ¿Cuál de los siguientes valores de cₙ está correctamente determinado?. c₈ = 0. La cantidad de teclas de un piano.

Si X = K e^(λt) es solución propuesta de X′ = AX, entonces (A − λI)K = 0; para obtener K ≠ 0 debe cumplirse det(A − λI) = 0. Falso. Verdadero.

¿Cuál de las siguientes expresiones representa correctamente la transformada de Laplace de la función f(t) = sen(2t)?. L{sen(2t)} = 2/(s² + 4). La distancia entre dos estaciones de tren.

Sea X' = AX + F(t) con A(n×n) constante y dato X(t0) = X0. ¿Cuál es la solución que depende explícitamente de X0?. La fecha de un feriado nacional. X(t) = e^(A(t - t0))·X0 + ∫ de t0 a t de e^(A(t - s))·F(s) ds.

¿Qué garantiza el teorema de existencia de soluciones en series de potencias para una ecuación diferencial lineal de segundo orden si x = x0 es un punto ordinario?. Que existen dos soluciones linealmente independientes expresables como series de potencias centradas en x0, convergentes al menos en un intervalo de radio R, donde R es la distancia desde x0 al punto singular más cercano (real o complejo). El perímetro de una cancha de fútbol.

Dos campañas de marketing digital compiten por visibilidad. Sea x(t) el "índice de tendencia" de la campaña A e y(t) el de la campaña B. La dinámica de visibilidad de ambas campañas en el tiempo está dada por el sistema: dx/dt = 3x - 3y + 4 dy/dt = 2x - 2y - 1 ¿Cómo se clasifica este sistema?. La densidad del agua de mar. Lineal no homogéneo de primer orden con coeficientes constantes.

Se considera la ecuación diferencial: (x² - 2x + 5)y'' + xy' - y = 0 y se sabe que los números complejos 1 ± 2i son puntos singulares. ¿Cuál es el radio de convergencia de una solución en serie centrada en x = -1?. 2√2. El punto de ebullición del agua.

Sea A una matriz con coeficientes reales y sea λ = α + βi un autovalor complejo, con autovector asociado K1. Respecto a la construcción de soluciones reales del sistema homogéneo X' = AX, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas? Selecciona las 4 (cuatro) opciones correctas. Si λ = α + βi es autovalor, también lo es su conjugado λ̄ = α - βi. El radio de la Luna. Los vectores K1·e^(λt) y K̄1·e^(λ̄t) son soluciones complejas del sistema. A partir de la fórmula de Euler, se pueden combinar las soluciones complejas para obtener soluciones reales linealmente independientes del tipo X1(t) = e^(αt)(B1·cos(βt) - B2·sen(βt)), X2(t) = e^(αt)(B1·sen(βt) + B2·cos(βt)), donde B1, B2 son vectores reales. El principio de superposición garantiza que la combinación lineal C1·X1(t) + C2·X2(t) describe la solución general asociada a λ y λ̄, para C vector de constantes reales. La distancia entre dos estaciones de tren.

Dos sensores de calidad de servicio en una red se acoplan dinámicamente. Del análisis espectral de la matriz A se obtuvo un autovalor doble λ = -3 con dos autovectores linealmente independientes: K1 = (1, -1)ᵀ y K2 = (2, 1)ᵀ. Para c1, c2 constantes reales, ¿cuál es la solución general del homogéneo X' = AX?. X(t) = c1·K1·e^(-3t) + c2·K2·e^(-3t). La cantidad de teclas de un piano.

¿Cuál de los siguientes pasos forma parte del procedimiento para hallar una solución en serie de potencias mediante el método de coeficientes indeterminados en x0 = 0?. El título de una novela policial. Se propone una solución en serie y(x) = Σ (n=0 a ∞) cn·xⁿ, se sustituyen sus derivadas en la ecuación, se reindexan las sumas si es necesario, se agrupan los términos por potencias de x, y se igualan a cero los coeficientes de cada potencia para obtener una relación de recurrencia.

Se está resolviendo una ecuación diferencial mediante el método de serie de potencias centrada en x = 0, y se obtiene la siguiente ecuación de recurrencia: c(n+2) = (2n - 4) / ((n + 2)(n + 1)) · cn ¿Cuál de los siguientes valores de cn está correctamente determinado?. c8 = 0. La distancia entre dos estaciones de tren.

Al resolver un problema de valor inicial del tipo: aₙ(x)y⁽ⁿ⁾ + aₙ₋₁(x)y⁽ⁿ⁻¹⁾ + ⋯ + a₀(x)y = g(t) y(0) = y₀, y′(0) = y₁, …, y⁽ⁿ⁻¹⁾(0) = yₙ₋₁ mediante transformada de Laplace, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas? Selecciona las 4 (cuatro) opciones correctas. El denominador P(s) coincide con el polinomio característico de la ecuación diferencial original, donde P(s) = aₙ(x)sⁿ + aₙ₋₁(x)sⁿ⁻¹ + ⋯ + a₀(x). Los valores iniciales se descartan. La solución final y(t) se obtiene aplicando la transformada inversa de Laplace a cada término de F(s). Se transforma la EDO en una ecuación algebraica para F(s), utilizando las propiedades de la transformada sobre derivadas. La transformada de la derivada. El término Q(s) contiene los valores iniciales y aparece como numerador de una fracción racional, donde: Q(s) es la suma entre G(s) y los términos con datos iniciales.

Sea f(t) una función con transformada de Laplace L{f(t)} = F(s). ¿Cuál es la transformada de Laplace de t f(t)?. F′(s). −F′(s).

En X′ = AX, det(Φ(t)) = W(X₁, …, Xₙ), ¿cuál enunciado es correcto?. Si X₁, …, Xₙ son XX. Que W(t) sea distinto de cero en un punto implica que las soluciones son linealmente dependientes. Si X₁, …, Xₙ son LI en I, entonces W(t) ≠ 0 en todo I y Φ(t) es invertible para todo t ∈ I.

Dos campañas de marketing digital compiten por visibilidad. Sea x(t) el “índice de tendencia” de la campaña A e y(t) el de la campaña B. La dinámica de visibilidad de ambas campañas en el tiempo está dada por el sistema: dx/dt = 3x − 3y + 4 dy/dt = 2x − 2y − 1 Considerando la forma matricial X′ = AX + F, se calcula e^(At). ¿Cuál es una solución general del sistema, para C vector columna 2 × 1 de constantes reales?. X(t) = e^(At)C + e^(At) ∫ₜ₀ᵗ e^(−As)F(s) ds. X(t) = e^(ATCP) − e^(At) ∫ₜ₀ᵗ e^(−As)F(s) ds.

¿Qué garantiza el teorema de existencia de soluciones en series de potencias para una ecuación diferencial lineal de segundo orden si x = x₀ es un punto ordinario?. Que existen dos soluciones linealmente independientes expresables como series de potencias centradas en x₀, convergentes al menos en un intervalo de radio R, donde R es la distancia desde x₀ al punto singular más cercano (real o complejo). Que existe una única solución, expresable como serie de Frobenius con exponentes fraccionarios.

Para resolver la ecuación de Bessel de orden ν, se plantea una solución de la forma: y(x) = Σₖ₌₀^∞ cₖ x^(k+r) donde r es determinado por una ecuación auxiliar llamada ecuación indicial. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones describe correctamente esta estrategia?. Se utiliza el método de Frobenius para encontrar soluciones en serie centradas en x = 0, y las soluciones obtenidas se conocen como funciones de Bessel de primera especie, denotadas Jᵥ(x). Se utiliza una serie de potencias.

Para el sistema homogéneo X′ = AX se han determinado λ₁ = −2 con autovector K₁ = (1, 0)ᵀ y λ₂ = 3 con K₂ = (1, 1)ᵀ. Para c₁, c₂ constantes reales, ¿cuál es la solución general de X′ = AX?. X(t) = c₁(1, 0)ᵀe^(−2t) + c₂(1, 1)ᵀe^(3t). X(t) = c₁(1, 0)ᵀe^(2t) + c₂(1, 1)ᵀe^(−8t).

Considera la ecuación diferencial lineal de segundo orden a₂(x)y′′ + a₁(x)y′ + a₀(x)y = 0, con forma estándar y′′ + P(x)y′ + Q(x)y = 0. Respecto a la definición de punto singular regular en x₀, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas?. Selecciona las 3 (tres) opciones correctas. La analiticidad de p(x) = (x − x₀)P(x) y q(x) = (x − x₀)²Q(x) permite aplicar el método de Frobenius para obtener soluciones en serie centradas en x₀. x₀ es un punto singular regular si P. x₀ es un punto singular regular si las funciones p(x) = (x − x₀)P(x) y q(x) = (x − x₀)²Q(x) son analíticas en x₀, aunque P(x) y Q(x) no lo sean. En un punto singular regular, es posible que las soluciones involucren potencias fraccionarias o logaritmos si las raíces del índice indicial lo requieren. En un punto singular regular siempre. Si x₀ es un punto singular regular,.