Cálculo Diferencial M3 y M4 — TP3, TP4 y Simulacro

Sea f(t) una función de orden exponencial tal que L{f(t)} = F(s). ¿Cuál es la transformada de Laplace de la función ∫₀ᵗ f(r) dr?. (1/s) F(s). El área de un triángulo equilátero.

Desde el punto de vista funcional, ¿cuál es la principal ventaja de aplicar la transformada de Laplace al resolver una ecuación diferencial?. Transforma la ecuación en una expresión algebraica en el dominio s, donde las derivadas se convierten en multiplicaciones por s. La cantidad de teclas de un piano.

Dado el sistema X′ = AX + F, ¿qué valor tiene e^(At) cuando t = 0 y por qué importa?. El título de una novela policial. e^(A·0) = I, así la parte e^(At)X(0) respeta la condición inicial X(0).

Sea X′ = AX + F(t) con A de tamaño n×n constante y dato X(t₀) = X₀. ¿Cuál es la solución que depende explícitamente de X₀?. X(t) = e^(A(t−t₀)) X₀ + ∫[t₀,t] e^(A(t−s)) F(s) ds. La distancia entre dos estaciones de tren.

La transformada de Laplace es especialmente útil para resolver ecuaciones diferenciales de orden superior porque… Seleccioná las cuatro opciones correctas. Transforma ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas, lo cual simplifica su resolución. La fecha de un feriado nacional. Convierte derivadas en potencias de s multiplicadas por F(s) y resta términos asociados a condiciones iniciales. Permite trabajar en el dominio de s sin necesidad de resolver directamente las ecuaciones diferenciales. Incorpora automáticamente las condiciones iniciales, evitando resolver integrales en el dominio temporal. El punto de ebullición del agua.

En X′ = AX, det(Φ(t)) = W(X₁,…,Xₙ), ¿cuál enunciado es correcto?. Si X₁,…,Xₙ son LI en I, entonces W(t) ≠ 0 en todo I y Φ(t) es invertible para todo t ∈ I. El perímetro de una cancha de fútbol.

Respecto a la construcción de soluciones de sistemas homogéneos X′ = AX, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas? Seleccioná las dos opciones correctas. Para autovalores complejos λ = α + iβ, es posible construir soluciones reales a partir de combinaciones lineales de e^(αt) cos(βt) y e^(αt) sen(βt) multiplicadas por vectores reales. La densidad del agua de mar. Si una matriz A de tamaño n×n tiene n autovalores reales y distintos, entonces existen n autovectores linealmente independientes y la solución general se obtiene como combinación lineal de vectores del tipo Kᵢ e^(λᵢt). La cantidad de teclas de un piano.

¿Qué garantiza el teorema de existencia de soluciones en series de potencias para una ecuación diferencial lineal de segundo orden si x = x₀ es un punto ordinario?. Que existen dos soluciones linealmente independientes expresables como series de potencias centradas en x₀, convergentes al menos en un intervalo de radio R, donde R es la distancia desde x₀ al punto singular más cercano (real o complejo). El punto de ebullición del agua.

Dos campañas de marketing digital compiten por visibilidad. Sea x(t) el índice de tendencia de la campaña A e y(t) el de la campaña B. La dinámica de visibilidad de ambas campañas en el tiempo está dada por el sistema: dx/dt = 3x − 3y + 4; dy/dt = 2x − 2y − 1. ¿Cómo se clasifica este sistema?. El radio de la Luna. Lineal no homogéneo de primer orden con coeficientes constantes.

Se considera la ecuación diferencial (x² − 2x + 5)y″ + xy′ − y = 0 y se sabe que los números complejos 1 ± 2i son puntos singulares. ¿Cuál es el radio de convergencia de una solución en serie centrada en x = −1?. 2√2. La cantidad de teclas de un piano.

Sea A una matriz con coeficientes reales y sea λ = α + βi un autovalor complejo, con autovector asociado K₁. Respecto a la construcción de soluciones reales del sistema homogéneo X′ = AX, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas? Seleccioná las cuatro opciones correctas. Si λ = α + βi es autovalor, también lo es su conjugado λ̄ = α − βi. Los vectores K₁ e^(λt) y conj(K₁) e^(λ̄t) son soluciones complejas del sistema. A partir de la fórmula de Euler, se pueden combinar las soluciones complejas para obtener soluciones reales linealmente independientes del tipo X₁(t) = e^(αt)(B₁ cos(βt) − B₂ sen(βt)), X₂(t) = e^(αt)(B₁ sen(βt) + B₂ cos(βt)), donde B₁, B₂ son vectores reales. El título de una novela policial. El principio de superposición garantiza que la combinación lineal C₁X₁(t) + C₂X₂(t) describe la solución general asociada a λ y λ̄, para C vector de constantes reales. El perímetro de una cancha de fútbol.

Dos campañas de marketing digital compiten por visibilidad. Sea x(t) el índice de tendencia de la campaña A e y(t) el de la campaña B. La dinámica de visibilidad de ambas campañas en el tiempo está dada por el sistema: dx/dt = 3x − 3y + 4; dy/dt = 2x − 2y − 1. Para el sistema homogéneo X′ = AX se han determinado λ₁ = 0 con K₁ = (1,1)ᵀ y λ₂ = 1 con K₂ = (3,2)ᵀ (autovalores y respectivos autovectores). ¿Cuál es la solución general de X′ = AX, para c₁, c₂ constantes reales?. X(t) = c₁(1, 1)ᵀ + c₂(3, 2)ᵀ eᵗ. La distancia entre dos estaciones de tren.

Dos sensores de calidad de servicio en una red se acoplan dinámicamente. Del análisis espectral de la matriz A se obtuvo un autovalor doble λ = −3 con dos autovectores linealmente independientes: K₁ = (1,−1)ᵀ y K₂ = (2,1)ᵀ. Para c₁ y c₂ constantes reales, ¿cuál es la solución general del homogéneo X′ = AX?. La fecha de un feriado nacional. X(t) = c₁K₁ e^(−3t) + c₂K₂ e^(−3t).

Sea A = [[λ, 1], [0, λ]]. ¿Cuál es la expresión de e^(At)?. e^(At) = e^(λt) [[1, t], [0, 1]]. El perímetro de una cancha de fútbol.

Considerá la ecuación diferencial (x³ + 4x)y″ − 2xy′ + 6y = 0. ¿Cómo se clasifica el punto x = 2i?. La densidad del agua de mar. Singular irregular.

¿Cuál de los siguientes pasos forma parte del procedimiento para hallar una solución en serie de potencias mediante el método de coeficientes indeterminados en x₀ = 0?. Se propone una solución en serie y(x) = ∑[n=0,∞] cₙxⁿ, se sustituyen sus derivadas en la ecuación, se reindexan las sumas si es necesario, se agrupan los términos por potencias de x, y se igualan a cero los coeficientes de cada potencia para obtener una relación de recurrencia. El punto de ebullición del agua.

Sean n vectores solución del sistema homogéneo X′ = AX en un intervalo I. Entonces, el conjunto de vectores solución es linealmente independiente en I si y solo si el wronskiano es distinto de 0 para toda t ∈ I. Falso. Verdadero.

Se está resolviendo una ecuación diferencial mediante el método de serie de potencias centrada en x = 0, y se obtiene la ecuación de recurrencia cₙ₊₂ = [(2n−4)/((n+2)(n+1))]cₙ. ¿Cuál de los siguientes valores de cₙ está correctamente determinado?. c₈ = 0. La cantidad de teclas de un piano.

Si X = K e^(λt) es solución propuesta de X′ = AX, entonces (A − λI)K = 0; para obtener K ≠ 0 debe cumplirse det(A − λI) = 0. Falso. Verdadero.

¿Cuál de las siguientes expresiones representa correctamente la transformada de Laplace de la función f(t) = sen(2t)?. L{sen(2t)} = 2/(s²+4). La distancia entre dos estaciones de tren.

Durante la simulación de flujos térmicos en un tramo cilíndrico del cable submarino se obtiene x²y″ + xy′ + (x² − 25)y = 0. Los ingenieros buscan clasificar la ecuación para seleccionar el método de resolución. ¿Qué tipo de ecuación diferencial representa este modelo?. La fecha de un feriado nacional. Ecuación de Bessel.

En una sección del cableado submarino con turbulencia térmica irregular, el comportamiento se modela por 2xy″ − y′ + 2y = 0. Para resolverla por Frobenius en x = 0 se propone y(x) = ∑[n=0,∞] cₙx^(n+r). Al sustituir se obtiene x^r[c₀r(2r−3)x^(−1) + ∑[k=1,∞] [cₖ(k+r)(2k+2r−3) + 2cₖ₋₁]x^(k−1)] = 0. La ecuación indicial tiene raíces r₁ = 0 y r₂ = 3/2. ¿Qué expresión da un par de soluciones linealmente independientes centradas en x = 0, válidas en (0,+∞)?. y₁(x) = c₀(1 + 2x + ∑[n=2,∞] ((−1)^(n−1)(2x)ⁿ)/(n!·3·5·7···(2n−3))) y y₂(x) = c₀x^(3/2)(1 − (2/5)x + ∑[n=2,∞] ((−1)ⁿ(2x)ⁿ)/(n!·5·7·9···(2n+3))). El perímetro de una cancha de fútbol.

En una sección del cableado submarino con turbulencia térmica irregular, el comportamiento se modela por 2xy″ − y′ + 2y = 0. Para determinar un modelo válido cerca del origen, ¿cómo se clasifica el punto x = 0?. La densidad del agua de mar. Singular regular.

Un dispositivo inteligente de detección de temperatura en el cable submarino registra una oscilación periódica inducida por oleaje constante. La evolución medida sigue y″ + y = 2 sen(2t), y(0) = 2, y′(0) = 0. Al aplicar Laplace en ambos miembros se obtiene Y(s) = 2s/(s²+1) + (4/3)/(s²+1) − (4/3)/(s²+4). ¿Cuál es la solución particular de la ecuación dada?. y(t) = 2 cos(t) + (4/3) sen(t) − (2/3) sen(2t). El punto de ebullición del agua.

En una sección crítica del cableado submarino, el modelo térmico sigue (x² + 4)y″ + xy′ − y = 0. Se analiza la solución cerca del punto central del tramo (x = 0) mediante una serie de potencias centrada en x = 0. ¿Cuál es el radio de convergencia de la solución en serie?. El radio de la Luna. 2.

En una sección del cableado submarino con fuertes gradientes térmicos longitudinales, la temperatura en función de la posición x, normalizada en (−1,1), satisface (1 − x²)y″ − 2xy′ + 56y = 0. ¿Qué tipo de ecuación diferencial representa este modelo?. Ecuación de Legendre de orden n = 7. La cantidad de teclas de un piano.

Durante la simulación del almacenamiento progresivo de calor en el revestimiento del cable submarino, se modela la energía acumulada hasta t como f(t) = ∫₀ᵗ eʳ dr. Entonces la transformada de Laplace es F(s) = 1/(s²−s). Falso. Verdadero, ya que aplicar la propiedad de la integral en Laplace da 1/[s(s − 1)] = 1/(s² − s).

Un dispositivo inteligente de detección de temperatura en el cable submarino registra una oscilación periódica inducida por oleaje constante. La evolución sigue y″ + y = 2 sen(2t), y(0) = 2, y′(0) = 0. Se desea determinar la solución general y particular para analizar el comportamiento oscilatorio. ¿Cuál es la transformada de Laplace del primer miembro?. (s² + 1)Y(s) − 2s. La distancia entre dos estaciones de tren.

Un dispositivo inteligente de detección de temperatura en el cable submarino registra una oscilación periódica inducida por oleaje constante. La evolución sigue y″ + y = 2 sen(2t), y(0) = 2, y′(0) = 0. Al aplicar Laplace en ambos miembros se obtiene Y(s) = 2s/(s²+1) + (4/3)/(s²+1) − (4/3)/(s²+4). ¿Qué propiedad permite obtener una solución particular y(t) en el dominio del tiempo a partir de esta expresión?. La fecha de un feriado nacional. Aplicar la transformada inversa de Laplace en ambos miembros.

En un tramo del cable submarino, un algoritmo predictivo de memoria térmica modela una respuesta retardada con F(s) = e^(−2s)/s³ para predecir un cambio abrupto de temperatura. En el dominio del tiempo se obtiene y(t) = [(t−2)²/2]·U(t−2). Verdadero, ya que la inversa de e^(−2s)/s³ es ((t − 2)²)/2 multiplicado por U(t − 2), usando traslación en t. Falso.

Un dispositivo inteligente de detección de temperatura en el cable submarino registra una oscilación periódica inducida por oleaje constante. La evolución sigue y″ + y = 2 sen(2t), y(0) = 2, y′(0) = 0. Al aplicar Laplace en ambos miembros se obtiene (s² + 1)Y(s) − 2s = 4/(s²+4). ¿Cuál es la expresión final de Y(s) antes de aplicar la transformada inversa de Laplace?. La densidad del agua de mar. Y(s) = 2s/(s²+1) + (4/3)/(s²+1) − (4/3)/(s²+4).

En una sección del cableado submarino con fuertes gradientes térmicos longitudinales, la temperatura en función de x, normalizada en (−1,1), satisface (1 − x²)y″ − 2xy′ + 56y = 0. Se buscan soluciones polinómicas acotadas en (−1,1) que reflejen la simetría observada. ¿Cuál de las funciones es una solución particular?. P₇(x) = (1/16)(429x⁷ − 693x⁵ + 315x³ − 35x). El punto de ebullición del agua.

En una región del cableado submarino, la geometría cilíndrica y la conductividad variable obligan a considerar efectos radiales no uniformes. La transferencia térmica está modelada por x²y″ + xy′ + (x² − 25)y = 0. ¿Cuál es el valor del parámetro de Bessel en esta ecuación?. El radio de la Luna. 5.

Durante un análisis de respuesta térmica retardada del cable submarino ante una perturbación controlada, la excitación aplicada es f(t) = t³e^(−2t). Se calcula L{f(t)} y se obtiene 6/(s+2)². Falso, ya que la transformada de t³·e^(−2t) es 6/(s + 2)⁴, no 6/(s + 2)². Verdadero.

En una sección del cableado submarino con difusión anisotrópica, la evolución está dada por y″ − 2xy′ + 4y = 0. ¿Qué expresión representa la solución general en serie de potencias centrada en x = 0?. El título de una novela policial. y(x) = c₀(1 − 2x²) + c₁(x − (1/3)x³ − (1/30)x⁵ − (1/210)x⁷ − (1/1512)x⁹ − ⋯).

En una simulación de propagación térmica en el cable submarino, la función térmica del modelo con memoria acumulativa es la convolución entre 1 y t³. Al aplicar Laplace a la convolución, queda F(s) = 1/s⁴. Falso, ya que la convolución de 1 con t³ da 6/s⁵, no 1/s⁴. Verdadero.

En un segmento del cableado submarino que responde de forma oscilatoria a vibraciones térmicas, el estímulo se modela como f(t) = t·cos(2t). En el dominio de Laplace se deduce L{t·cos(2t)} = s/(s²+4)². Verdadero. Falso, ya que la transformada de t·cos(2t) es (s² − 4)/(s² + 4)², no s/(s² + 4)².

Un dispositivo inteligente de detección de temperatura en el cable submarino registra una oscilación periódica inducida por oleaje constante. La evolución sigue y″ + y = 2 sen(2t), y(0) = 2, y′(0) = 0. Se desea determinar la solución general y particular para analizar el comportamiento oscilatorio. ¿Cuál es la transformada de Laplace del segundo miembro?. 4/(s²+4). El perímetro de una cancha de fútbol.

En una sección del cableado submarino con turbulencia térmica irregular, el comportamiento se modela por 2xy″ − y′ + 2y = 0. Para resolverla por Frobenius centrado en x = 0 se propone y(x) = ∑[n=0,∞] cₙx^(n+r). ¿Cuál es la ecuación indicial obtenida al aplicar este método?. La densidad del agua de mar. r(2r − 3) = 0.

En el modelo de campañas, la solución general del sistema no homogéneo puede escribirse como: X(t) = e^(At)C + e^(At) ∫[t₀,t] e^(−As)F(s) ds. El punto de ebullición del agua.

En el contexto de campañas, el vector de estado y el forzamiento son: El radio de la Luna. X = (x, y)ᵀ y F = (4, −1)ᵀ.

Considerando la forma matricial X′ = AX + F del sistema de las campañas, ¿cuál es una solución general del sistema homogéneo asociado X′ = AX?. X(t) = e^(At)C, con C₂ₓ₁ vector de constantes reales. La cantidad de teclas de un piano.

Dada la forma matricial X′ = AX + F de un caso similar al dado, consideramos el sistema homogéneo X′ = AX con A de tamaño 2×2, un autovalor de multiplicidad 2, λ = 1, y un solo autovector K₁ = (1,0)ᵀ. El vector generalizado K₂ = (0,1)ᵀ cumple (A−I)K₂ = K₁. La solución general, para c₁ y c₂ constantes reales, es X(t) = c₁K₁eᵗ + c₂(tK₁ + K₂)eᵗ. Falso. Verdadero, ya que cuando hay un único autovalor de multiplicidad 2 con un solo autovector y un vector generalizado, la solución incluye términos del tipo tK₁ + K₂ multiplicados por la exponencial.

Dada la forma matricial X′ = AX + F del sistema de las campañas, al calcular det(A−λI) obtenemos el polinomio característico, cuyas raíces son los autovalores que determinan la forma de la solución del homogéneo asociado. Verdadero, ya que el determinante de (A − Iλ) igualado a cero da el polinomio característico, cuyas raíces son los autovalores que determinan la solución del sistema homogéneo. Falso.

En este modelo de campañas, el sistema es…. La fecha de un feriado nacional. Lineal de primer orden con coeficientes constantes y no homogéneo.

Dada la forma matricial X′ = AX + F de un caso similar al dado, para el homogéneo X′ = AX con A de coeficientes reales, A tiene dos autovalores complejos. Se conoce λ₁ = 5+2i, con autovector K₁ = (1,1−2i)ᵀ = B₁ + iB₂, donde B₁ = (1,1)ᵀ y B₂ = (0,−2)ᵀ. La solución general de X′ = AX, para c₁ y c₂ constantes reales, es X(t) = c₁B₁e^(5t) + c₂B₂e^(5t). Falso, porque la expresión dada no incluye ni las funciones trigonométricas ni la parte imaginaria del comportamiento oscilatorio propio de autovalores complejos. Verdadero.

En el modelo de campañas X′ = AX + F, conocida Φ(t) del homogéneo, el paso clave para hallar Xₚ por variación de parámetros es: La densidad del agua de mar. Calcular Φ⁻¹(t) para obtener U′(t) = Φ⁻¹(t)F(t).

Dada la forma matricial X′ = AX + F de un caso similar al dado, del análisis espectral de A se obtuvo un autovalor doble λ₁ = 1 con dos autovectores linealmente independientes K₁ = (2,1)ᵀ y K₂ = (−1,2)ᵀ. La solución general del homogéneo X′ = AX, para c₁ y c₂ constantes reales, es X(t) = c₁K₁ + c₂K₂eᵗ. Falso, porque la solución general del sistema homogéneo no puede tener un término sin exponencial si ambos autovalores son iguales y hay dos autovectores. Verdadero.

En el contexto del modelo de campañas, ¿cuál es la forma final de la solución general vía variación de parámetros?. El radio de la Luna. X(t) = X_c(t) + Xₚ(t) = Φ(t)C + Φ(t)∫ Φ⁻¹(t)F(t) dt.

En el contexto de las campañas, ¿cuáles son las matrices A y F en la forma matricial correcta del sistema X′ = AX + F?. A = [[3, −3], [2, −2]], F = [[4], [−1]]. La cantidad de teclas de un piano.

Dada la forma matricial X′ = AX + F del sistema de las campañas, ¿para qué puede ser útil conocer la matriz sI − A?. El título de una novela policial. Para, con Laplace, pasar el sistema a (sI − A)X(s) = X(0) + F(s) y poder usar (sI − A)⁻¹ = L{e^(At)} (la “resolvente”) y así recuperar X(t).

Para el sistema de campañas, seleccioná la afirmación correcta: Existe solución (y es única) para todo t ≥ 0 porque A y F son continuas. La distancia entre dos estaciones de tren.

Considerando la forma matricial del sistema X′ = AX + F de las campañas, ¿qué representa la matriz e^(At)?. La fecha de un feriado nacional. Es la matriz fundamental Φ(t), para el sistema homogéneo asociado, que cumple con Φ(0) = I.

Dada la forma matricial del sistema X′ = AX + F de las campañas, ¿para qué puede interesar calcular la matriz (sI − A)⁻¹?. Porque en Laplace (sI − A)⁻¹ es la “resolvente”: permite escribir X(s) = (sI − A)⁻¹(X(0) + F(s)) y, al volver al tiempo, recuperar e^(At) y la convolución con F para hallar X(t). El perímetro de una cancha de fútbol.

Dada la forma matricial X′ = AX + F del sistema de campañas, para el homogéneo X′ = AX se han determinado λ₁ = 0 con K₁ = (1,1)ᵀ y λ₂ = 1 con K₂ = (3,2)ᵀ. Para c₁ y c₂ constantes reales, la solución general es X(t) = c₁(1,1)ᵀeᵗ + c₂(3,2)ᵀeᵗ. Verdadero. Falso, porque aunque los autovalores son distintos, la expresión dada no sustituye correctamente los valores de los autovalores en las exponenciales.

En el modelo de campañas, si Φ(t) es la matriz fundamental del homogéneo, entonces toda solución del homogéneo es: X_c(t) = Φ(t)C, con C vector columna 2 x 1 de constantes reales. El punto de ebullición del agua.

Con Φ(t) invertible en el modelo de campañas, una forma de Xₚ es: El radio de la Luna. Xₚ(t) = Φ(t)∫ Φ⁻¹(t)F(t) dt.