Se lanza una moneda con probalidad p de cara y q de cruz (siendo p,q>0 y p+q=1) hasta que aparece la primera cara y, a continuación, se realizan tantos lanzamientos adicionales como cruves que aparecen antes de la primera cara y sea N el número de cruces que aparecen después de la primera cara.
El valor de E(N|M=m) para m ≥ 0 es mp mq m m/q.
Se lanza una moneda con probalidad p de cara y q de cruz (siendo p,q>0 y p+q=1) hasta que aparece la primera cara y, a continuación, se realizan tantos lanzamientos adicionales como cruves que aparecen antes de la primera cara y sea N el número de cruces que aparecen después de la primera cara.
Calcular el número esperado de cruces E[N + M] que se obtienen a lo largo de este experimento. 2q/p 2q(n+m)/p 2/p q(1+q)/p.
Se lanza una moneda con probabilidad p de cara y q de
cruz (siendo p, q > 0 y p + q = 1) hasta que aparece la primera cara y, a continuación, se
realizan tantos lanzamientos adicionales como cruces han precedido a la primera cara. Sea
M el n´umero de cruces que aparecen antes de la primera cara y sea N el número de cruces
que aparecen después de la primera cara.
Calcular P{M = m, N = n} para 0 ≤ n ≤ m.
(m+n sobre n) q^n p^m
(m+n+1) q^m+n p^1+m (m sobre n) q^m+n p^m-n+1 (m+n+1 sobre m) q^m+n p^1+m.
Se lanza una moneda con probabilidad p de cara y q de
cruz (siendo p, q > 0 y p + q = 1) hasta que aparece la primera cara y, a continuación, se
realizan tantos lanzamientos adicionales como cruces han precedido a la primera cara. Sea
M el número de cruces que aparecen antes de la primera cara y sea N el número de cruces
que aparecen después de la primera cara.
La probabilidad del suceso {N = n}, para n ≥ 0, es igual a pq^n pq^2n /(1-pq)^n+1 pq^n /(1-pq)^n+1 qp^n.
Se lanza una moneda con probabilidad p de cara y q de
cruz (siendo p, q > 0 y p + q = 1) hasta que aparece la primera cara y, a continuación, se
realizan tantos lanzamientos adicionales como cruces han precedido a la primera cara. Sea
M el número de cruces que aparecen antes de la primera cara y sea N el número de cruces
que aparecen después de la primera cara.
Calcular la probabilidad de que el número total de caras obtenidas en el
experimento sea estrictamente mayor que el número total de cruces. p(q + 1)/(1 − pq) q/(1 − pq) pq/(1 − pq) p/(1 − pq
.
Se lanza una moneda con probabilidad p de cara y q de
cruz (siendo p, q > 0 y p + q = 1) hasta que aparece la primera cara y, a continuación, se
realizan tantos lanzamientos adicionales como cruces han precedido a la primera cara. Sea
M el número de cruces que aparecen antes de la primera cara y sea N el número de cruces
que aparecen después de la primera cara.
Calcular E[M | N = n] para n ≥ 0. (n + q)/(1 − pq) qn/(1 − pq) (n + pq)/(1 − pq) nq.
Una urna contiene veinte bolas: 3 son blancas y 17 son
negras. Se sacan las veinte bolas de la urna al azar, de una en una y sin remplazamiento, y se ponen en fila. Sea A el suceso “no hay bolas blancas consecutivas”, es decir, no hay dos bolas blancas sin bolas negras entre ellas. Sea B el suceso “hay exactamente dos bolas blancas consecutivas”, es decir, hay dos bolas blancas seguidas pero no tres.
Calcular la probabilidad del suceso A.
68/95 15/19 68/95 17/20.
Una urna contiene veinte bolas: 3 son blancas y 17 son
negras. Se sacan las veinte bolas de la urna al azar, de una en una y sin remplazamiento, y se ponen en fila. Sea A el suceso “no hay bolas blancas consecutivas”, es decir, no hay dos bolas blancas sin bolas negras entre ellas. Sea B el suceso “hay exactamente dos bolas blancas consecutivas”, es decir, hay dos bolas blancas seguidas pero no tres.
Calcular la probabilidad del suceso B.
3/19 3/20 51/190 4/19.
Una urna contiene veinte bolas: 3 son blancas y 17 son
negras. Se sacan las veinte bolas de la urna al azar, de una en una y sin remplazamiento, y se ponen en fila. Sea A el suceso “no hay bolas blancas consecutivas”, es decir, no hay dos bolas blancas sin bolas negras entre ellas. Sea B el suceso “hay exactamente dos bolas blancas consecutivas”, es decir, hay dos bolas blancas seguidas pero no tres.
Condicionado por B, la probabilidad de que haya k bolas negras antes de las dos bolas blancas consecutivas, siendo 0 ≤ k ≤ 17, es k(17 − k)/816 (17 − k)/153 1/18 k/153.
Una urna contiene veinte bolas: 3 son blancas y 17 son
negras. Se sacan las veinte bolas de la urna al azar, de una en una y sin remplazamiento, y se ponen en fila. Sea A el suceso “no hay bolas blancas consecutivas”, es decir, no hay dos bolas blancas sin bolas negras entre ellas. Sea B el suceso “hay exactamente dos bolas blancas consecutivas”, es decir, hay dos bolas blancas seguidas pero no tres.
Condicionado por B, el n´umero esperado de bolas negras antes de las dos bolas blancas consecutivas es igual a 16/3 35/3 17/2 9.
Se dispone de una urna con seis bolas blancas y seis
bolas negras. Sucesivamente, se sacan parejas de bolas sin remplazamiento, de modo que al final se han sacado seis parejas de bolas. Diremos que una pareja es monocolor cuando esté formada por dos bolas blancas o dos bolas negras. Sea N el número de parejas monocolor extraídas y sea A el suceso “la primera pareja es monocolor”.
Calcular P{N = 2}. 30/77 45/77 38/77 40/77.
Se dispone de una urna con seis bolas blancas y seis
bolas negras. Sucesivamente, se sacan parejas de bolas sin remplazamiento, de modo que al final se han sacado seis parejas de bolas. Diremos que una pareja es monocolor cuando esté formada por dos bolas blancas o dos bolas negras. Sea N el número de parejas monocolor extraídas y sea A el suceso “la primera pareja es monocolor”.
Calcular P{N = 4}. 30/77 27/77 33/77 38/77.
Se dispone de una urna c
on seis bolas blancas y seis
bolas negras. Sucesivamente, se sacan parejas de bolas sin remplazamiento, de modo que al final se han sacado seis parejas de bolas. Diremos que una pareja es monocolor cuando esté formada por dos bolas blancas o dos bolas negras. Sea N el número de parejas monocolor extraídas y sea A el suceso “la primera pareja es monocolor”.
Calcular P{N = 6}.
1/77 17/231 5/231 3/77.
Se dispone de una urna c
on seis bolas blancas y seis
bolas negras. Sucesivamente, se sacan parejas de bolas sin remplazamiento, de modo que al final se han sacado seis parejas de bolas. Diremos que una pareja es monocolor cuando esté formada por dos bolas blancas o dos bolas negras. Sea N el número de parejas monocolor extraídas y sea A el suceso “la primera pareja es monocolor”.
Calcular E[N | N > 0] 126/43 3 4 131/43.
Se dispone de una urna con seis bolas blancas y seis
bolas negras. Sucesivamente, se sacan parejas de bolas sin remplazamiento, de modo que al final se han sacado seis parejas de bolas. Diremos que una pareja es monocolor cuando esté formada por dos bolas blancas o dos bolas negras. Sea N el número de parejas monocolor extraídas y sea A el suceso “la primera pareja es monocolor”.
Calcular P{N = 2 | A}. 8/21 1/3 3/7 2/7.
Se dispone de una urna con seis bolas blancas y seis
bolas negras. Sucesivamente, se sacan parejas de bolas sin remplazamiento, de modo que al final se han sacado seis parejas de bolas. Diremos que una pareja es monocolor cuando esté formada por dos bolas blancas o dos bolas negras. Sea N el número de parejas monocolor extraídas y sea A el suceso “la primera pareja es monocolor”
Calcular E[N | A]. 4 3 10/3 7/2.
Se dispone de un dado equilibrado con caras numeradas
de 1 a 6. Se lanza el dado sucesivamente. Para cada 1 ≤ i ≤ 6, sea Ti el n´umero de la tirada en la que se obtiene por primera vez la puntuación i.
Calcular P{Ti > n} para cada n´umero entero n ≥ 0 (1/6) · (5/6)^n (1/6) · (5/6)^n+1 (1/6)^n (5/6)^n.
Se dispone de un dado equilibrado con caras numeradas
de 1 a 6. Se lanza el dado sucesivamente. Para cada 1 ≤ i ≤ 6, sea Ti el n´umero de la tirada en la que se obtiene por primera vez la puntuación i.
Dados dos valores 1 ≤ i, j ≤ 6 distintos, sea Tij = m´ax{Ti
, Tj} el número de la tirada en la que, por primera vez, la secuencia de lanzamientos contiene los valores i y j. Calcular P{Tij > n} para n ≥ 0.
(11/36) · (25/36)^n (5/6)^n + (25/36)^n (25/36)^n 2(5/6)^n - (2/3)^n.
Se dispone de un dado equilibrado con caras numeradas
de 1 a 6. Se lanza el dado sucesivamente. Para cada 1 ≤ i ≤ 6, sea Ti el n´umero de la tirada en la que se obtiene por primera vez la puntuación i.
Calcular E[Tij ].
36/11 12 9 36/25.
Se dispone de un
dado equilibrado con caras numeradas
de 1 a 6. Se lanza el dado sucesivamente. Para cada 1 ≤ i ≤ 6, sea Ti el n´umero de la tirada en la que se obtiene por primera vez la puntuación i.
Para tres valores i, j, k distintos, se define an´alogamente Tijk = m´ax{Ti, Tj, Tk}.Calcular P{Tijk > n} para n ≥ 0. (91/216) · (125/216)^n 2(25/36)^n - (125/216)^n 3(5/6)^n -3(2/3)^n + (1/2)^n (125/216)^n.
Se dispone de dos urnas. La Urna 1 contiene dos bolas
blancas y dos bolas negras. La Urna 2 contiene tres bolas blancas y una bola negra. Se realizan sucesivamente tres extracciones de la siguiente manera:
Extracción 1: se toma una bola al azar de la Urna 1 y se introduce en la Urna 2.
Extracción 2: se toma una bola al azar de la Urna 2 y se introduce en la Urna 1.
Extracción 3: se toma una bola al azar de la Urna 1.
Se consideran los sucesos Bi, Ni, para 1 ≤ i ≤ 3, que indican que en la extracci´on i-ésima se ha obtenido una bola blanca o negra, respectivamente.
La probabilidad del suceso B3 es 1/2 11/22 3/5 7/10.
Se dispone de dos urnas. La Urna 1 contiene dos bolas
blancas y dos bolas negras. La Urna 2 contiene tres bolas blancas y una bola negra. Se realizan sucesivamente tres extracciones de la siguiente manera:
Extracción 1: se toma una bola al azar de la Urna 1 y se introduce en la Urna 2.
Extracción 2: se toma una bola al azar de la Urna 2 y se introduce en la Urna 1.
Extracción 3: se toma una bola al azar de la Urna 1.
Se consideran los sucesos Bi, Ni, para 1 ≤ i ≤ 3, que indican que en la extracción i-ésima se ha obtenido una bola blanca o negra, respectivamente.
La probabilidad condicionada P(B3|B2) es 3/5 1/2 11/20 17/28.
Se dispone de dos urnas. La Urna 1 contiene dos bolas
blancas y dos bolas negras. La Urna 2 contiene tres bolas blancas y una bola negra. Se realizan sucesivamente tres extracciones de la siguiente manera:
Extracción 1: se toma una bola al azar de la Urna 1 y se introduce en la Urna 2.
Extracción 2: se toma una bola al azar de la Urna 2 y se introduce en la Urna 1.
Extracción 3: se toma una bola al azar de la Urna 1.
Se consideran los sucesos Bi, Ni, para 1 ≤ i ≤ 3, que indican que en la extracción i-ésima se ha obtenido una bola blanca o negra, respectivamente.
La probabilidad condicionada P(N3|B1) es 1/2 11/20 9/20 23/40.
Se dispone de dos urnas. La Urna 1 contiene dos bolas
blancas y dos bolas negras. La Urna 2 contiene tres bolas blancas y una bola negra. Se realizan sucesivamente tres extracciones de la siguiente manera:
Extracción 1: se toma una bola al azar de la Urna 1 y se introduce en la Urna 2.
Extracción 2: se toma una bola al azar de la Urna 2 y se introduce en la Urna 1.
Extracción 3: se toma una bola al azar de la Urna 1.
Se consideran los sucesos Bi, Ni, para 1 ≤ i ≤ 3, que indican que en la extracción i-ésima se ha obtenido una bola blanca o negra, respectivamente.
Se consideran los sucesos B1, B2, B3. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es
correcta? B1 y B3 son independientes; B2 y B3 son independientes. B1 y B3 son independientes; B2 y B3 no son independientes B1 y B3 no son independientes; B2 y B3 son independientes.
B1 y B3 no son independientes; B2 y B3 no son independientes.
Se lanza sucesivamente un dado equilibrado con sus
caras numeradas de 1 a 6. Sea Xn para n ≥ 1 el valor del dado obtenido en el n-´esimo
lanzamiento. Se define Tk, para k ≥ 1, como el número de lanzamiento en el que se ha
obtenido un 6 por k-ésima vez.
La probabilidad P{Tk = t} para t ≥ k es igual a (t+k-1 sobre t) (5/6)^t (1/6)^k (t-1 sobre k-1) (5/6)^t-k (1/6)^k (5/6)^t-1 (1/6) (5/6)^t-k (1/6).
Se lanza sucesivamente un dado equilibrado con sus
caras numeradas de 1 a 6. Sea Xn para n ≥ 1 el valor del dado obtenido en el n-´esimo lanzamiento. Se define Tk, para k ≥ 1, como el número de lanzamiento en el que se ha obtenido un 6 por k-ésima vez.
El valor de E[Tk] es igual a 6 6^k 6k 6(k-1).
Se lanza sucesivamente un dado equilibrado con sus
caras numeradas de 1 a 6. Sea Xn para n ≥ 1 el valor del dado obtenido en el n-ésimo lanzamiento. Se define Tk, para k ≥ 1, como el número de lanzamiento en el que se ha obtenido un 6 por k-ésima vez.
Fijados valores 1 ≤ n < t y 1 ≤ i ≤ 5, la probabilidad condicionada P{Xn =i | Tk = t} es igual a t-k / 5(t-1) 1/5 5-1 / 5(t-1) k/5t.
Se lanza sucesivamente un dado equilibrado con sus
caras numeradas de 1 a 6. Sea Xn para n ≥ 1 el valor del dado obtenido en el n-ésimo lanzamiento. Se define Tk, para k ≥ 1, como el número de lanzamiento en el que se ha obtenido un 6 por k-ésima vez.
Fijados valores 1 ≤ n < t y k > 1, el valor de la probabilidad condicionada P{Xn = 6 | Tk = t} es igual a 1/6 k-1 / t-1 k/t 1/ t-1.
Se lanza sucesivamente un dado equilibrado con sus
caras numeradas de 1 a 6. Sea Xn para n ≥ 1 el valor del dado obtenido en el n-ésimo lanzamiento. Se define Tk, para k ≥ 1, como el número de lanzamiento en el que se ha obtenido un 6 por k-ésima vez.
Para n < t, la esperanza condicionada E[Xn | Tk = t] es 3.5 3 3+3 k/t 3+ 3 (k-1)/t-1.
Se lanza sucesivamente un dado equilibrado con sus
caras numeradas de 1 a 6. Sea Xn para n ≥ 1 el valor del dado obtenido en el n-ésimo lanzamiento. Se define Tk, para k ≥ 1, como el número de lanzamiento en el que se ha obtenido un 6 por k-ésima vez.
Fijados valores 1 ≤ n, m < t (siendo n y m distintos) y 1 ≤ i, j ≤ 5, la probabilidad condicionada P{Xn = i, Xm = j | Tk = t} es (1/5)^2 (1/6)^2 1/5^2 *( ((t-k)(t-k-1))/((t-1)(t-2))) 1/5^2 *( (t-k)^2/(t-1)^2).
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