CAM 5

1. El número raíz cuadrada de 7…. a. … es natural. b. … es entero. c. … es racional. d. … es irracional.

2. Dada la función arco-seno…. a. … el recorrido es [−1, 1]. b. … el recorrido es todo R. c. … el dominio es todo R. d. … el dominio es [−1, 1].

3. El conjunto de números reales {x ∈ R | x ≥ 5} expresado como intervalo es equivalente a…. a. … (5, +∞). b. … [5, +∞). c. … (−∞, 5]. d. … (−∞, 5).

4. Sean la función g(x), y el punto x = a que pertenece al dominio de g(x). Si existe límite finito de g(x) cuando x → a, la función g(x), en el punto x = a... a. … es continua. b. … tiene una discontinuidad evitable. c. … tiene una discontinuidad inevitable. d. … puede ser continua o tener una discontinuidad evitable.

5. Dada una función f(x), ¿cuándo tiene una discontinuidad esencial de primera especie en un punto x = x0?. a. Cuando los límites laterales de la función en dicho punto existen y son iguales. b. Cuando los límites laterales de la función en dicho punto existen y son distintos o infinitos. c. Cuando el límite de la función en dicho punto es finito. d. Cuando la función no es derivable en dicho punto.

6. ¿Qué dice el teorema de Bolzano?. a. Si una función es continua en [a, b] y f(a) · f(b) < 0, existe al menos una raíz en [a, b]. b. Si una función es discontinua, tiene raíz. c. Toda función continua en [a, b] alcanza máximo y mínimo en [a, b]. d. Si una función es continua, tiene al menos una raíz.

7. Dada la función g(x) y el intervalo cerrado [a, b], donde g(a) > 0, y g(b) < 0, ¿cuál de los siguientes escenarios es suficiente para afirmar que existe un punto c ∈ [a, b] tal que g(c) = 0?. a. Que [a, b] pertenezca al dominio de g(x). b. Que g(x) sea continua en [a, b]. c. Que g(x) sea continua en [a, b] y derivable en (a, b). d. Que g(x) sea continua en [a, b], derivable en (a, b) y decreciente en (a, b).

8. De una función h(x) se conocen las derivadas laterales en x = 2: h'(2+) = 2, h'(2−) = −1. Se puede, por tanto, afirmar que…. a. … la función h(x) no es derivable en x = 2, pero sí puede ser continua. b. … la función h(x) es derivable en x = 2, pero no es continua. c. … la función h(x) no es ni derivable ni continua en x = 2. d. … la función h(x) es discontinua en x = 2.

9. Dado el polinomio p(x) de grado mayor o igual a 2, si la primera derivada es cero en un punto x = c…. a. … en x = c el polinomio p(x) tiene un máximo o un mínimo relativo. b. … en x = c el polinomio p(x) tiene un punto de inflexión. c. … en x = c el polinomio p(x) tiene un máximo o un mínimo relativo, o un punto de inflexión. d. … podría ocurrir que en x = c el polinomio p(x) no tuviera ni un máximo ni un mínimo relativo, ni un punto de inflexión.

10. Para que una función sea integrable…. a. … debe ser continua y derivable. b. … debe ser continua. c. … debe ser derivable. d. … no es necesario que sea ni continua ni derivable.

11. Indica la regla o teorema que nos dice que, si una función f(x) es continua en el intervalo [a, b], entonces existe un c ∈ [a, b] tal que. a. El teorema del valor medio del cálculo integral. b. El teorema fundamental del cálculo. c. La regla de Barrow. d. La suma de Riemann.

12. ¿Qué ocurre si calculamos la integral de una función g(x) definida a tramos (asumiendo que la función es integrable en cada tramo)?. a. La integral no se puede realizar. b. Obtenemos una función definida a tramos, siempre y cuando g(x) sea continua. c. Obtenemos una función definida a tramos, siempre y cuando g(x) sea continua y derivable. d. Obtenemos una función definida a tramos.

13. Dada una función de dos variables, ¿qué significa que el límite de la función en el punto (x0 , y0) dependa de la ruta seguida para acercarse a dicho punto?. a. Que el límite existe y puede ser finito o infinito. b. Que el límite no existe. c. Que el límite existe, y es infinito. d. Que el límite es cero.

14. ¿Qué es el gradiente de una función de varias variables?. a. El vector formado por las derivadas parciales. b. El producto de las derivadas parciales. c. La suma de las derivadas parciales. d. El conjunto de las curvas de nivel.

15. ¿Qué representa una curva de nivel de una función de dos variables?. a. El gradiente. b. La curva con los máximos de la función. c. La curva con los mínimos de la función. d. La curva con los puntos donde la función es constante.

16. ¿Cuál es el área, en unidades métricas cuadradas, bajo la función g(x) = x3, entre x = 0 y x = 2?. a. 2. b. 4. c. 8. d. 16.

17. Si hablamos del error que es consecuencia de que los cálculos aritméticos no pueden realizarse con precisión ilimitada, hablamos de…. a. … error de bulto. b. … error de truncamiento. c. … error de redondeo. d. … error relativo.

18. ¿Qué método de interpolación ajusta la función con polinomios de grado n que pasan por todos los puntos?. a. Interpolación lineal. b. Polinomio de Lagrange. c. Splines cúbicos. d. Regla de Simpson.

19. ¿Qué método de integración numérica utiliza polinomios de segundo grado para aproximar la función?. a. Regla del trapecio. b. Regla del rectángulo. c. Regla de Lagrange. d. Regla de Simpson.

20. Sea la función f(x) = e^x − 2. Partiendo de x0 = 2, aplica el método de Newton-Raphson 2 veces utilizando cinco decimales para aproximar el cero de la función. Tras esas dos iteraciones, el valor que se obtiene es: a. 0,8020. b. 0,8320. c. 0,8620. d. 0,8920.

21. Se van a fabricar chapas cuadradas para recubrir una superficie. En el proceso de fabricación, el lado de las chapas es de 30 centímetros con un error de 1 cm. ¿Cuál será el área de los cuadrados fabricados?. a. 900 ± 30 cm2. b. 900 ± 60 cm2. c. 900 ± 90 cm2. d. 900 ± 120 cm2.

22. ¿Cuál es el gradiente de la función f(x, y) = 3 · x · y² + y³ en el punto (1, 1)?. a. 4. b. 9. c. (0, 0). d. (3, 9).

23. Dada la función f(x, y) = x + y, calcula la integral de f(x, y) en el recinto rectangular 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2. a. 3. b. 4. c. 5. d. 6.

24. El resto de las preguntas del examen hacen referencia a esta función. Sea la función: ¿Cuál es el dominio de f(x)?. a. R. b. R − {−1, 1}. c. R − (−1, 1). d. R − [−1, 1].

25. ¿Cuál de los siguientes valores no pertenece al recorrido de la f(x)?. a. y = −1. b. y = 0. c. y = 1. d. El recorrido de f(x) es todo R.

26. ¿Cuál es el límite de f(x) cuando x tiende a 1?. a. +∞. b. −∞. c. 0. d. El límite no existe.

27. ¿Cuál es el límite de f(x) cuando x tiende a infinito?. a. +∞. b. −∞. c. 0. d. El límite no existe.

28. ¿Cuántas discontinuidades y de qué tipo tiene la función f(x)?. a. Una discontinuidad no evitable. b. Una discontinuidad evitable. c. Una discontinuidad evitable y otra no evitable. d. Dos discontinuidades no evitables.

29. ¿Cuál es el valor de la derivada de f(x) en x = 0?. a. −6. b. 0. c. 3. d. 6.

30. ¿Cuál es el valor de la integral de f(x) entre x = 2 y x = 4?. a. 3 · ln(4). b. ln(5). c. 3 · ln(5). d. El valor no se puede calcular por ser una integral impropia.