Capitulo 2 Prob

Una variable aleatoria unidimensional queda completamente determinada cuando conocemos: Solo la función de densidad. Solo el campo de variación. El campo de variación y las probabilidades asociadas. Su representación en un espacio muestral determinista.

La función de distribución 𝐹(𝑥)de una variable aleatoria tiene cuál de las siguientes propiedades: Es decreciente y toma valores entre [−1,1]. Es monótona no decreciente y lim⁡𝑥→−∞ 𝐹(𝑥) = 0. Es estrictamente creciente. No puede presentar saltos.

Una variable aleatoria discreta se caracteriza por: Tener infinitos valores posibles dentro de un intervalo. Tener masa en puntos aislados. Ser siempre definida por una función continua. Cumplir que la probabilidad en cada punto es 0.

La función de cuantía 𝑝(𝑥)debe cumplir: ∑ 𝑝(𝑥) = 1. ∫ 𝑝(𝑥) 𝑑𝑥 = 1. Ser continua en todo su dominio. Que sus valores sean todos estrictamente positivos.

La función de densidad 𝑓(𝑥)de una variable continua debe cumplir: Ser necesariamente creciente. Que 𝑃(𝑎 < 𝑋 < 𝑏) = 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎). Que 𝑓(𝑥) ≥ 0⁡y ∫ −∞ 𝑓(𝑥)∞ 𝑑𝑥 = 1. Que 𝑓(𝑥) ≤ 1para todo x.

En una variable continua, es cierto que: 𝑃(𝑋 = 𝑥) > 0⁡solo si 𝑓(𝑥) > 0. La función de distribución nunca es derivable. P (𝑋 = 𝑥) = 0para cualquier valor x. Solo puede tomar valores enteros.

Si la función de distribución tiene un salto en un punto 𝑥0, entonces: La variable aleatoria es continua. La variable aleatoria toma en 𝑥0probabilidad positiva. La densidad en 𝑥0es infinita. La función de cuantía vale 0 en ese punto.

Para una variable aleatoria continua: La probabilidad de un intervalo abierto es distinta a la de un intervalo cerrado. La función de distribución es siempre lineal por tramos. La función de densidad puede ser negativa si compensa en otro tramo. La probabilidad en intervalos solo depende de la integral de 𝑓(𝑥).

La función de distribución 𝐹(𝑥) es: Una función que asigna valores deterministas al azar. La integral acumulada de masa a la izquierda de 𝑥. La transformada discreta del dominio de probabilidad. Exclusiva de variables discretas.

Una función de densidad válida puede cumplir: Tomar valores mayores que 1. Ser siempre igual a 0. Tener integral total mayor que 1. Ser negativa en algunos intervalos.