capitulo 4 B

En el contexto de la teoría de la probabilidad, la esperanza matemática de una variable aleatoria ξ se interpreta como: El valor que la variable toma con mayor frecuencia en la práctica. El valor máximo posible de la variable. El valor medio teórico hacia el que tendería la media muestral si repitiésemos el experimento muchas veces. El valor mínimo garantizado de ganancia en cualquier juego de azar.

Para que exista la esperanza matemática de una variable aleatoria: Es suficiente con que la variable sea discreta. Es suficiente con que la variable sea continua. Es necesario que la suma o la integral de ∣ 𝑥 ∣⋅ 𝑓(𝑥)(o ∣ 𝑥𝑖 ∣ 𝑝𝑖 ) converja absolutamente. Siempre existe, independientemente de la distribución.

Sea ξ una variable aleatoria y c una constante real. ¿Cuál de las siguientes igualdades es correcta?. 𝐸(𝑐) = 0. 𝐸(𝑐) = 𝑐. 𝐸(𝑐) = 𝑐 ⋅ 𝐸(𝜉). 𝐸(𝑐) = 𝐸(𝜉).

Sea ξ una v.a. con esperanza 𝐸(𝜉) = 𝜇y definimos η = aξ + b, con a y b constantes. Entonces: 𝐸(𝜂) = 𝑎𝜇. 𝐸(𝜂) = 𝜇 + 𝑏. 𝐸(𝜂) = 𝑎𝜇 + 𝑏. 𝐸(𝜂) = 𝑎(𝜇 + 𝑏).

Sean ξ y η dos variables aleatorias independientes. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?. 𝐸(𝜉𝜂) = 𝐸(𝜉) + 𝐸(𝜂). 𝐸(𝜉𝜂) = 𝐸(𝜉) ⋅ 𝐸(𝜂). 𝐸(𝜉𝜂) = 0. La independencia no afecta al cálculo de 𝐸(𝜉𝜂).

La varianza de una variable aleatoria ξ se define como: 𝑉(𝜉) = 𝐸(𝜉). 𝑉(𝜉) = 𝐸(𝜉2). 𝑉(𝜉) = 𝐸[(𝜉 − 𝜇)2], donde μ es la esperanza de ξ. 𝑉(𝜉) = √𝐸(𝜉2).

Sobre la relación entre esperanza y varianza, señale la opción correcta: La varianza puede ser negativa si la esperanza es pequeña. La varianza es siempre no negativa. La varianza es siempre mayor que la esperanza. La varianza solo existe si la esperanza es cero.

Sea ξ una v.a. con varianza 𝑉(𝜉) = 𝜎2y consideramos η = ξ + c, con c constante. Entonces: 𝑉(𝜂) = 𝑉(𝜉) + 𝑐. 𝑉(𝜂) = 𝑉(𝜉). 𝑉(𝜂) = 𝑉(𝜉) + 𝑐2. 𝑉(𝜂)no se puede relacionar con 𝑉(𝜉).

En relación con la desigualdad de Chebyshev, señale la afirmación correcta: Permite calcular la probabilidad exacta de un intervalo cuando no se conoce la distribución. Solo es aplicable si la variable aleatoria es Normal. Proporciona una cota mínima para la probabilidad de que la variable se sitúe dentro de k desviaciones típicas de la media. Solo es útil si la varianza es desconocida.

¿Cuál de las siguientes afirmaciones refleja mejor el significado práctico de la desigualdad de Chebyshev?. Garantiza que casi todas las observaciones estarán exactamente en la media. Justifica que la desviación típica sea una buena medida de dispersión, ya que si es pequeña, la mayor parte de la probabilidad se concentra cerca de la media. Indica que la probabilidad fuera de cualquier intervalo es siempre cero. Indica que la media y la mediana de la distribución son iguales.