Capitulo 4 Prob

La esperanza matemática de una variable aleatoria se interpreta como: El valor más frecuente de la distribución. El valor hacia el que tendería la media muestral si el tamaño fuese muy grande. El valor máximo posible de la variable. El valor mínimo posible de la variable.

La esperanza matemática existe si: La variable es finita. Su función de densidad es continua. La serie o integral absoluta asociada converge. La varianza existe.

La esperanza matemática de una constante es: Indefinida. Cero. Igual a la varianza. La propia constante.

La propiedad lineal de la esperanza establece que: 𝐸(𝑋 + 𝑌) = 𝐸(𝑋) ⋅ 𝐸(𝑌). 𝐸(𝑋 + 𝑌) = 𝐸(𝑋) + 𝐸(𝑌). 𝐸(𝑎𝑋) = 𝑎2𝐸(𝑋). La esperanza depende de la independencia de las variables.

El valor esperado del producto 𝑿𝒀es igual a 𝑬(𝑿)𝑬(𝒀)si: Las variables son normales. La varianza de ambas es 1. Las variables son independientes. La media es cero.

La varianza mide: La asimetría de la distribución. La dispersión de los valores alrededor de la media. El valor máximo alcanzable por la variable. El cociente entre media y desviación típica.

La varianza de una variable aleatoria siempre es: Positiva. No negativa. Mayor que 1. Igual a la media al cuadrado.

La varianza de una variable transformada 𝒀 = 𝒂𝑿 + 𝒃es: 𝑎2Var(𝑋). 𝑎Var(𝑋) + 𝑏. Var(𝑋) + 𝑏2. 𝑎Var(𝑋).

La desigualdad de Chebichev garantiza que, para 𝒌 > 𝟎: Al menos el 1/𝑘de los valores están a k desviaciones. Al menos el 1 − 1/𝑘2de los valores está dentro del intervalo [𝜇 − 𝑘𝜎, 𝜇 + 𝑘𝜎]. La probabilidad exacta de estar en el intervalo. Es aplicable solo a distribuciones simétricas.

La desigualdad de Chebichev es útil porque: Da la probabilidad exacta sin conocer la distribución. Solo funciona con variables discretas. Permite obtener cotas de probabilidad sin conocer la distribución. Es más precisa que cualquier otra desigualdad.