Cuestionario sobre Conceptos Básicos de Álgebra Lineal

La representación gráfica de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas con una única solución corresponde a: Dos rectas que se intersecan en un único punto. Dos rectas paralelas y distintas. Dos rectas coincidentes.

Si en un sistema de dos ecuaciones las rectas representadas son paralelas y distintas, el sistema tiene: Una única solución. Ninguna solución (inconsistente). Infinitas soluciones.

Para calcular A⁻¹ por Gauss-Jordan se construye inicialmente: [A]. [I]. [A|I].

¿Cuál de estas es una matriz diagonal?. c11, c22, c33... c12, c23, c31... c11, c21, c31...

Una matriz cuadrada A tiene inversa si y solo si: det(A) ≠ 0. det(A) = 0. det(A) > 0.

Si al reducir por filas aparece la fila [0 0 ... 0|5] el sistema es: Compatible determinado. Incompatible. Compatible indeterminado.

Ventaja principal de Gauss-Jordan para resolver Ax=b. Permite leer la solución directamente de la matriz. Es más rápido que otros métodos. Requiere menos operaciones.

Para una matriz triangular (superior o inferior), el determinante es: El producto de los elementos de la diagonal. La suma de los elementos de la diagonal. El determinante es siempre 1.

Si intercambias dos filas de una matriz, ¿Cómo cambia su determinante?. Cambia de signo. No cambia. Se duplica.

¿Cuál es el determinante de la matriz identidad In?. 1. 0. Depende del tamaño de la matriz.

Para un sistema 3x3, usar Cramer para x implica calcular: 1 determinante. 3 determinantes. 9 determinantes.

¿Qué mide geométricamente el valor absoluto del determinante de una matriz 2x2?. El factor de escala de áreas. El volumen del paralelogramo formado por los vectores. La longitud de la diagonal.

¿Qué sucede con det(A) si multiplicas toda la matriz A por un escalar k?. Se multiplica por k. Se multiplica por k^n (con n = orden de A). No cambia.

Fórmula de la inversa por adjunta: A⁻¹. A. A².

Expansión de Laplace (cofactores) se puede aplicar: A cualquier orden, eligiendo fila o columna arbitraria. Solo en matrices 2x2. Solo en la primera fila.

Multiplicar una fila de una matriz por un escalar k hace que el determinante: Se multiplica por k. Se divide por k. No cambia.

Si det(A) = 0, la matriz adjunta sirve para: Determinar rango de A. Calcular la inversa de A. Resolver sistemas de ecuaciones.

Condición necesaria para aplicar la regla de Cramer: det(A) ≠ 0. det(A) = 0. det(A) > 0.

El determinante de la transpuesta de una matriz es: det(A). -det(A). 1/det(A).

Fórmula del determinante de la matriz (acbd). ad - bc. ac - bd. ab - cd.

En Cramer, para resolver la solución se expresa como: xi = det(Ai) / det(A). xi = det(A) / det(Ai). xi = det(A) * det(Ai).

Si dos filas (o columnas) de una matriz son iguales, ¿qué vale su determinante?. 0. 1. 2.

Sumar un múltiplo de una fila a otra fila deja el determinante: Inalterado. Cambia de signo. Se multiplica por el escalar.

La matriz adjunta es: La traspuesta de la matriz de cofactores. La matriz de cofactores. La matriz original.

Propiedad: Si una fila de A es combinación lineal de otras, entonces det(A) vale: 0. 1. 2.

El cofactor Cij se define como: (-1)^(i+j) * (determinante). (determinante). (-1)^(i-j) * (determinante).

¿Cuál de estas propiedades es correcta para determinantes de dos matrices A y B?. det(AB) = det A * det B. det(AB) = det A + det B. det(AB) = det A - det B.

¿Cuál operación corresponde?. -1.20 - 1.13 + 0.(...) = -33. 1.20 + 1.13 + 0.(...) = 33. 1.20 - 1.13 + 0.(...) = 33.

Si una fila (o columna) de A está formada completamente por ceros, entonces: det(A) = 0. det(A) ≠ 0. det(A) = 1.

¿Cuál es la condición necesaria y suficiente para que una matriz cuadrada A sea invertible?. det(A) ≠ 0. det(A) = 0. det(A) > 0.

¿Cuál es la principal utilidad de calcular el kernel de una transformación lineal T: V -> W?. Determinar la imagen completa de T. Identificar los vectores de V que T manda al vector cero. Calcular los determinantes de las matrices asociadas. Construir una base ortonormal de V.

¿Qué condición caracteriza la independencia lineal mediante una combinación lineal?. Sólo la combinación trivial da cero. Una combinación no trivial da cero. Siempre da cero.

En la presentación del tema "Base y dimensión” se plantea: ¿Con cuántos vectores se describe todo V? ¿Qué refleja esa primera pregunta?. Cuántos vectores independientes se necesitan para describir todo V. Cuántos vectores se necesitan para describir parte de V. ¿Cuál es la dimensión del espacio vectorial?.

¿Qué notación se emplea habitualmente para indicar la imagen de T?. Im(T). Ker(T). Dom(T).

Para comprobar si un vector w pertenece al rango de T, ¿Qué se debe encontrar?. Un v tal que T(v) = w. Un v tal que T(w) = v. Un v tal que T(v) = 0.

¿Cómo se llama el subconjunto de V formado por todos los vectores v tales que T(v) = 0?. Núcleo de T. Imagen de T. Dominio de T.

¿Qué notación se usa comúnmente para denotar el núcleo de T?. ker(T). Im(T). Dom(T).

¿Qué nombre recibe el conjunto de valores de la forma T(v) para v ∈ V?. Imagen. Núcleo. Dominio.

¿Qué propiedad expresa la igualdad T(u+v)=T(u)+T(v) para una transformación lineal T?. Aditividad. Homogeneidad. Linealidad.

Según el teorema fundamental de la dimensión, ¿Qué característica comparten todas las bases de un mismo espacio vectorial V?. Tienen la misma cardinalidad (número de vectores). Son linealmente independientes. Generan el espacio vectorial.

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta para todo kernel de una transformación lineal?. Contiene al vector cero y es subespacio. Es el rango de la transformación. Es el dominio de la transformación.

¿Cuál es la dimensión del espacio de matrices reales?. m.n. m+n. m-n.

En la definición formal de espacio vectorial, ¿qué requisito mínimo debe cumplir el conjunto V?. V debe ser no vacío. V debe contener al vector cero. V debe ser un campo.

¿Cuál de los siguientes vectores es el elemento neutro aditivo en un espacio vectorial?. Vector con todas sus componentes iguales a cero. Vector con componentes iguales a uno. Vector con componentes positivas.

¿De qué manera se define operativamente la resta de dos vectores en Rn?. Restando componente a componente. Sumando componente a componente. Multiplicando componente a componente.

¿Cuál propiedad algebraica se expresa con la igualdad α(βv) = (αβ)v para todo α, β ∈ R, v ∈ V?. Compatibilidad de escalares. Aditividad. Homogeneidad.

La intersección W1 ∩ W2 de dos subespacios W1, W2 ⊆ V es siempre subespacio de: Sí, siempre. A veces. Nunca.

¿Cuál es la definición formal de subespacio vectorial?. Un subconjunto. Un conjunto vacío. Un conjunto que no contiene el vector cero.

¿Cuál de las siguientes definiciones corresponde a la representación analítica de un vector en Rn?. Lista ordenada de números. Una matriz. Un escalar.

¿Qué debe cumplir el vector cero en un espacio vectorial?. 0v + v = v. 0v - v = v. 0v * v = v.

¿Cómo se denomina el axioma que asegura que para cada vector v ∈ V existe otro -v ∈ V tal que?. v + (-v) = 0. v - (-v) = 0. v * (-v) = 0.

¿Cuál de los siguientes conjuntos, con las operaciones usuales de suma y multiplicación por escalar, forma un espacio vectorial sobre R?. {p(x) ∈ R[x] | deg p ≤ 2} con suma de polinomios y escalar real. {p(x) ∈ R[x] | deg p = 2} con suma de polinomios y escalar real. {p(x) ∈ R[x] | deg p ≥ 2} con suma de polinomios y escalar real.

¿Cuál de los siguientes NO es un criterio correcto para verificar si W ⊆ V es subespacio?. Comprobar que todo vector de W tenga norma 1. Verificar que el vector cero pertenece a W. Verificar el cierre bajo la suma.

¿Qué significa “cierre bajo producto escalar” en la lista de axiomas?. Para todo α ∈ R y v ∈ V, se cumple αv ∈ V. Para todo α ∈ R y v ∈ V, se cumple αv = 0. Para todo α, v ∈ R, se cumple αv ∈ V.

¿Cuál de las siguientes expresiones es un ejemplo de combinación lineal de dos vectores v y w?. 2v - 3w. 2v + 3w. 2v * 3w.