Derivadas

La derivada de f(x) en x=a se define como: f(a + h) - f(a). Límite cuando h tiende a cero de f(x+h)-f(x) dividido por h. f(a)/a. Límite cuando h tiende a infinito de f(x+h) -f(x) dividido por h.

Geométricamente, la derivada representa: El área bajo la curva. El promedio de la función. La pendiente de la recta tangente. El punto de corte con el eje y.

Si f'(a) = 0, entonces la tangente en ese punto: Es vertical. Es horizontal. No existe. Es infinita.

Si f'(x) > 0 en un intervalo, la función: Crece. Decrece. Es constante. Tiene un máximo.

Si f'(x) < 0 en un intervalo, la función: Crece. Decrece. Tiene un mínimo. Es periódica.

Si una función es derivable en un punto: Es continua en ese punto. Es creciente en ese punto. Tiene un máximo en ese punto. No puede ser constante.

La inexistencia de derivada puede deberse a: Continuidad. Ser creciente. Una recta horizontal. Un ángulo o cúspide.

La derivada instantánea se obtiene como límite de: Rectas secantes. Rectas horizontales. Áreas bajo la curva. Coordenadas polares.

Si la recta secante se aproxima a la tangente, entonces el cociente incremental: Se hace infinito. Se hace cero. Tiende a la derivada. No cambia.

La derivada mide: Cambio promedio. Cambio instantáneo. Valor absoluto. Área acumulada.

En física, la derivada de la posición respecto al tiempo es: Distancia. Fuerza. Velocidad. Masa.

La derivada de la velocidad es: Tiempo. Energía. Aceleración. Rapidez.

Si la tangente en un punto es vertical, la derivada es: Negativa. Positiva. Infinita o cero. No existe.

Si f'(a) = 0 y la función pasa de creciente a decreciente en a, hay: Máximo. Mínimo. Punto de inflexión. Discontinuidad.

Si f'(x) = -3 para todo x: La función es constante. La función es creciente. La función es decreciente. La función oscila.

Si f'(a) = 0 y la función pasa de decreciente a creciente en a, hay: Máximo. Mínimo. Punto de inflexión. Tangente vertical.

Si f'(x) = 0 para todo x: La función es constante. La función es exponencial. La función es cuadrática. La función no existe.

Si f'(x) aumenta, la función: Tiene concavidad hacia abajo. Tiene concavidad hacia arriba. Es constante. Tiene discontinuidad.

Una función puede ser continua pero no derivable: Verdadero. Falso. Solo si es polinomica. Solo si es logarítmica.

Una función con un “pico” afilado (cúspide): No es continua. No es derivable. Es lineal. Es constante.

Si una función f es derivable en todo {R} y f'(x)=0 en todos los racionales, ¿qué se puede asegurar sobre f' en los reales?. f'(x)=0 para todo x perteneciente a {R}. f' puede ser no nula en irracionales (no se puede afirmar nada). f no es continua. f tiene infinitos máximos locales.

El teorema de Rolle garantiza la existencia de un punto con derivada cero en (a,b) si: f es continua en [a,b], derivable en (a,b) y f(a)=f(b). f es derivable en [a,b] sin más condiciones. f es integrable en [a,b]. f es continua solo en (a,b).

La propiedad de Darboux de las derivadas afirma que: Toda derivada es continua. Las derivadas tienen la propiedad del valor intermedio (no pueden tener saltos). Las derivadas son siempre integrables. Las derivadas son siempre diferenciables.

Si f es diferenciable y f' cambia de signo en a sin ser cero en a, entonces: f tiene un extremo en a. f' necesariamente tiene una discontinuidad en a. Esto contradice la diferenciabilidad en a. No puede ocurrir: para cambiar de signo debe pasar por 0.

Sea f continua en [a,b] y derivable en (a,b). El teorema del valor medio implica que existe c que pertenece al intervalo (a,b) tal que: f'(c)={f(b)-f(a)}/{b-a}. f'(c)=0 siempre. f''(c)=0. f(c)={f(a)+f(b)}/{2}.

Una función con derivada que existe en todos los puntos pero no es continua en alguno de ellos es: Imposible (derivada existente implica continuidad). Posible: la derivada puede existir en cada punto sin ser continua como función. Solo ocurre en funciones polinómicas. Solo ocurre si la función no es integrabl.

Si f_n es una sucesión de funciones derivables que converge uniformemente a f, y f_n' converge uniformemente a g, entonces: f es derivable y f'=g. No se puede afirmar nada sobre f'. f' no existe. f es continuamente diferenciable siempr.

Si f es derivable y su derivada es nula casi en todas partes (salvo un conjunto de medida cero), ¿qué se puede decir de f?. f es constante. f puede variar mucho en conjuntos de medida cero. f es discontinuo. f no tiene primitiva.

La derivada de la función inversa f^{-1} en y=f(x), cuando existe, se relaciona con f' por: (f^{-1})'(y) = 1 / f'(x) si f'(x) distinto de cero. (f^{-1})'(y) = f'(x). (f^{-1})' siempre existe aunque f' sea 0. No existe relación general.

La función de Weierstrass (continua y no derivable en ningún punto) demuestra que: Continuidad no implica diferenciabilidad. Toda función continua es derivable en algún punto. Las funciones continuas son siempre suaves. Solo las funciones polinómicas pueden ser no derivables.

Si f tiene una tangente vertical en a, entonces: f'(a) existe y es cero. f'(a) no existe (puede divergir a +/- infinito. f es discontinuo en a. f'(a) existe y es finita.

El cambio de variable en la regla de la cadena requiere: Que ambas funciones sean derivables en los puntos correspondientes. Que solo la función exterior sea derivable. Que solo la función interior sea contínua. Ninguna derivabilidad.

Si f es diferenciable y estrictamente monotónica en un intervalo, entonces: f' nunca se anula en ese intervalo. f' puede anularse en puntos aislados aunque f sea estrictamente monotónica. f no tiene inversa. f debe ser lineal.

La diferencia entre derivada de primer orden y derivada total en varias variables es: No existe diferencia; son exactamente lo mismo. La derivada total es la mejor aproximación lineal usando todas las variables; la derivada de primer orden suele referirse a parciales en una variable. La derivada total solo existe para funciones escalares. La derivada de primer orden incluye segundas derivadas.

Si f es diferenciable y f' es acotada, ¿qué propiedad local extra podemos asegurar para f?. f es uniformemente continua en todo su dominio. f es Lipschitz en cualquier intervalo. f es periódica. f es constante.

La primera derivada estudia: Área. Curvatura. Crecimiento y decrecimiento. Límites.

La segunda derivada estudia: Límites. Continuidad. Pendiente de la tangente. Concavidad y aceleración.

Un punto de inflexión ocurre cuando: f'(x) = 0. f''(x) cambia de signo. f(x) = 0. f' no existe.

Si f''(x) > 0: Concavidad hacia arriba. Concavidad hacia abajo. Máximo local. Ninguna.

Si f''(x) < 0: Concavidad hacia arriba. Concavidad hacia abajo. Mínimo local. Inconcluso.

Si f'(a) = 0 y f''(a) > 0: Máximo. Mínimo. Inflexión. Tangente vertical.

Si f'(a) = 0 y f''(a) < 0: Máximo. Mínimo. Inflexión. Continuidad.

Para optimizar funciones se analizan los puntos: Donde f(x) = 0. Donde f'(x) = 0 o no existe. Donde f''(x) = 0. Donde f'(x) = infinito.

En cinemática, x''(t) representa: Velocidad. Aceleración. Fuerza. Energía.

Si f'(x) es muy positivo, la función: Decrece lento. Crece rápido. Permanece constante. Oscila.

Si f'(x) es muy negativo, la función: Decrece rápido. Crece rápido. Permanece constante. Es periódica.

Si f'(x) = 0 en todo un intervalo: La función decrece. La función crece. La función es constante en ese intervalo. La función diverge.

En economía, la derivada del ingreso marginal sirve para: Maximizar beneficios. Minimizar tiempo. Calcular límites. Normalizar funciones.

Para encontrar el coste mínimo se analiza: C'(x). C''(x). I(x). D(x).

El beneficio máximo se encuentra cuando: B'(x) = 0 y cambia de + a –. B''(x) = 0. B'(x) = 0 y cambia de – a +. B'(x) = infinito.

Si la velocidad cambia de negativa a positiva: El móvil se detiene. El móvil cambia de sentido. Aumenta la masa. La aceleración es cero.

Si la pendiente de la curva es cero en un tramo completo: La función es constante. Máximo. Mínimo. Inflexión.

La velocidad máxima se obtiene cuando: v(t) = 0. v'(t) = 0 y cambia de + a –. a(t) = 0. s(t) = 0.

Si s'(t) > 0: El objeto se mueve hacia adelante. El objeto retrocede. El objeto está quieto. El objeto oscila.

Si s'(t) < 0: El objeto se mueve hacia adelante. El objeto retrocede. El objeto está quieto. El objeto oscila.

Si s'(t) = 0 y s''(t) > 0: El objeto va retrocediendo rápido. Está en un mínimo de velocidad. Acelera desde reposo. Cambia de masa.

Si s'(t) = 0 y s''(t) < 0: El objeto retrocede desde reposo. El objeto acelera hacia adelante. El objeto está detenido. El objeto rebota.

Si s''(t) cambia de signo: Hay cambio de orientación. Puede haber inflexión. Hay un máximo. Hay un mínimo.

En una función de coste C(x), si C'(x) > 0: El coste baja al producir más. El coste aumenta al producir más. El coste se mantiene. El coste es negativo.

Si I'(x) < 0 en una función de ingresos: El ingreso sube. El ingreso baja. El ingreso es constante. No existe ingreso.

Para derivar implícitamente se debe: Resolver la ecuación. Despejar siempre y. Derivar y aplicar regla de la cadena a términos con y. Integrar la función.

La derivada implícita representa: Límite de Riemann. Pendiente de la tangente aunque y no esté despejada. Área bajo la curva. Cambio promedio.

Una derivada parcial es: Derivada respecto a todas las variables a la vez. Derivada respecto a una variable manteniendo las otras fijas. Integral múltiple. Límite lateral.

Notación de derivada parcial respecto a x: dy/dx. derivada parcial de f (x) / derivada parcial de x. derivada parcial de f(x)/derivada parcial de y. f(x).

El gradiente de una función multivariable: Es una matriz. Es un vector de derivadas parciales. Es una integral triple. Es un escalar.

El gradiente indica la dirección: De menor crecimiento. De máximo crecimiento. De crecimiento nulo. De concavidad.

Si el gradiente es cero en un punto: Hay siempre máximo. Hay siempre mínimo. El punto puede ser máximo, mínimo o silla. El punto es de inflexión.

La pendiente de la recta tangente en x = a representa: El valor máximo de la función. El ritmo instantáneo de cambio de la función en a. El área bajo la curva. El valor de la derivada en cualquier punto.

Si la tangente en x = a tiene pendiente negativa: La función crece en a. La función decrece en a. La función tiene un máximo en a. La derivada no existe.

Si la recta tangente toca la gráfica en un punto y cruza la curva, entonces: No es una tangente. Puede seguir siendo una tangente (tangente oblicua en un punto de inflexión). Hay un máximo. Está mal dibujada.

Si en un punto la gráfica está muy inclinada hacia arriba, la tangente tendrá: Pendiente grande y positiva. Pendiente grande y negativa. Pendiente cercana a cero. Pendiente indefinida.

Si una tangente tiene pendiente cero pero no hay máximo ni mínimo, lo más probable es: Un punto de inflexión con tangente horizontal. La función no es derivable. La función es lineal. La función explota a infinito.

Existe una función continua f tal que la recta tangente en cada punto corta la curva en infinitos puntos distintos. ¿Es posible?. No, una tangente solo puede tocar en un punto. Sí; ciertas funciones oscilatorias infinitas admiten tangentes que intersectan la curva infinitas veces en cualquier vecindad. Solo si la función es polinómica. Solo si la función tiene derivada cero.

Si f es derivable y f' es acotada pero f no tiene límite cuando x tiende a infinito, ¿qué interpretación correcta se puede hacer?. Contradicción: si la derivada está acotada, f necesariamente tiene límite. f puede divergir linealmente o sub-linealmente aun con derivada acotada. f debe oscilar sin derivada. f está acotada.

El valor de la derivada de una función en un punto puede interpretase geométricamente, ya que : se corresponde con pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. Son figuras geométricas. Su punto esta en el plano. El punto en el plano es geométrico.

La derivada se aplica en aquellos casos donde: es necesario recurrir a una explicación correcta. es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación. es necesario que la aplicación de una función sea correcta. es necesario tener un movimiento estable.

Un ejemplo habitual de la derivada seria: Un camión corriendo a la misma velocidad. Una bicicleta estacionada en un anden. estudiar el movimiento: si una función representa la posición de un objeto con respecto al tiempo, su derivada es la velocidad de dicho objeto. Un carro que está botando gasolina.

El concepto de derivada se define como. una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función según cambie el valor de su variable dependiente. una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función según cambie el valor de su variable independiente. Es una función que se mantiene en un solo lugar. Es una función que representa cambios iguales.

Los extremos de la función y = x4- 3x3+ x2 son: Máximos x = 0 y 2, mínimo x = 1/4. Mínimos x = 0 y 2, máximo x = 1/4. Máximo x = 0 y mínimo x = 4. No tiene extremos.

Una función derivada siempre tiene que ser una curva. Si. No. Da igual. Ninguna de las anteriores.