Examen Teórico Algebra Tema 4

Si una transformación lineal es sobreyectiva, toda imagen posible tiene al menos un antiimagen. Verdadero. Falso.

Las distintas opciones que hay para calcular los autovalores λ de una matriz A son: Se calcula el rango de A. Ninguna de las otras opciones. Resolver la ecuación |A−λI|=0. Resolver la ecuación |λI−A|=0.

Empareje el concepto con su definición: Antiimagen. Imagen.

Dada una transformación lineal f con matriz asociada A3×3 tal que rg(A)=3, entonces f es biyectiva. Verdadero. Falso.

Dado un endomorfismo f, si su matriz asociada en una base B′ es diagonal, entonces: f es diagonalizable. Ninguna de las otras opciones. f no es lineal. Los vectores de B′ son autovectores de f.

Si en un endomorfismo se cumple que f(v)=λv, entonces se dice que λ es ______ de f. Autovector. Núcleo. Autovalor. Imagen.

La dimensión Im(f) es igual al ______ de f. Determinante. Ismorfismo. Rango. Núcleo.

Dos matrices son ______ si representan el mismo endomorfismo en diferentes bases. Semejantes. Traingulares. Simétricas. Singulares.

Si A es la matriz asociada a una transformación lineal f:V→W respecto de las base canónicas de V y W, entonces formas posibles de obtener la matriz A′ asociada respecto de bases no canónicas B′V y B′W son: 1) Calculando las imágenes por f de los vectores de la base B′V, 2) Calculando las coordenadas de estás imágenes respecto de la base B′W y 3) Poniendo estas coordenadas en las columnas de A′. 1) Calculando las imágenes por f de los vectores de la base B′V, 2) Calculando las coordenadas de estás imágenes respecto de la base canónica de W y 3) Poniendo estas coordenadas en las columnas de A′. Calculando el producto de matrices C−1W⋅A⋅CV siendo CV y CW las matrices de cambio de las bases no canónicas a canónicas en el espacio inicial y final respectivamente. Calculando el producto de matrices C−1V⋅A⋅CW siendo CV y CW las matrices de cambio de las bases no canónicas a canónicas en el espacio inicial y final respectivamente.

Dada una transformación lineal f con matriz asociada A, entonces f: No es inyectiva y es sobreyectiva. No es inyectiva y no es sobreyectiva. Es inyectiva y no es sobreyectiva. Es biyectiva.

Si una transformación lineal f no es inyectiva, existen vectores del espacio final cuya antiimagen es un conjunto infinito de vectores. Verdadero. Falso.

Dada una transformación lineal f:V→W tal que dimKer(f)=0 entonces: Ker(f) contiene infinitos vectores. rg(f)=dimV. f no es necesariamente sobreyectiva. f es inyectiva.

En una transformación lineal biyectiva su matriz asociada es ______. Simetrica. Triangular. Invertible. Nula.

Si f:R3→R3 está definida por f(x,y,z)=(x+y,y+z,x+z), entonces la dimensión de Im(f) es: 3. 2. 1. o.

Una matriz Anxn es diagonalizable si: Tiene n autovalores reales y distintos. Su determinante es distinto de 0. Para todo autovalor la multiplicidad algebraica es igual a la multiplicidad geométrica. Todos los autovalores son reales.

Dada la transformación lineal f:R3→R2 definida por f(x,y,z)=(x+y,y+z), entonces Ker(f) es: {(x,y,z)∈R3: x=−α, y=α, z=−α α∈R}. {(x,y,z)∈R3: x=0, y=0, z=α α∈R}. {(x,y,z)∈R3: x=−α, y=0, z=α α∈R}. {(x,y,z)∈R3: x=α, y=α, z=α α∈R}.

Si una transformación lineal f está representada por una matriz A, entonces un sistema generador de Im(f) viene dado por. Los vectores del Núcleo de A. Los vectores en las columnas de A. Los vectores en las filas de A. Ninguna de las anteriores opciones.

El conjunto de todos los autovectores asociados a un mismo autovalor es un _____. Isomorfismo. Subespacio. Endomorfismo. Núcleo.

Dada la transformación lineal f:V→W definida por su matriz asociada A, respecto de las bases canónica de V y W, entonces: f es un endomorfismo. f no es inyectiva. V = W = R3. La expresión analítica de f es f(x,y,z)=(2x+3y+z,−x+3y+z,−y).