Examen Teorico Algebra Tema 5

Si en R3 la signatura de una forma cuadrática w es s(w)=(3,0), entonces w se clasifica como: Semidefinida Positiva. Indefinida. Definida Negativa. Definida Positiva.

Dos matrices congruentes representan la misma forma bilineal en distintas bases. Verdadero. Falso.

Una forma cuadrática con expresión analítica w(x1,x2)=3x^21+2x1x2+x^22 tiene como matriz A asociada: A. B. C. D.

En un espacio vectorial V, la matriz asociada a una forma bilineal f depende de: El rango de f. Ninguna de las otras opciones. No depende nada. La base elegida en V.

La forma cuadrática w(x1,x2)=x^21−x^22 es semidefinida positiva. Verdadero. Falso.

Una forma cuadrática es definida positiva si todos los elementos de su matriz diagonal son ______. Postivios. Cero. Negativos. Iguales.

De las infinitas formas bilineales f que dan lugar a una misma forma cuadrática w solo existe una que es simétrica, llamada forma polar. Verdadero. Falso.

Una forma cuadrática es Definida Positiva si todos los menores principales de su matriz asociada A son positivos. Verdadero. Falso.

La Diagonalización por Congruencia requiere que inicialmente la matriz sea _______. Simétrica. Diagonal. Triangular. Singular.

En V=R2, la matriz asociada a una forma bilineal f es: De tamaño 3×3. Triangular superior. De tamaño 2×2. Siempre simétrica.

Dos vectores u⃗ =(x1,…,xn), v⃗ =(y1,…,yn) conjugados respecto a una forma cuadrática w con matriz A cumplen que: A. B. C. D.

Si una forma cuadrática w tiene matriz A, entonces w es: Definida Positiva. Indefinida. Semidefinida Positiva. Semidefinida Negativa.

En R2, la forma cuadrática asociada a la forma bilineal f((x1,x2),(y1,y2))=2x1y1−x1y2−x2y1+4x2y2 tiene expresión analítica 2x^21+4x^22−2x1x2. Verdadero. Falso.

Según el Criterio de Sylvester, una forma cuadrática es Definida Negativa si: Δi>0 para todo i. Δi=0 con i impar y Δi>0 con i par. Δi>0 con i impar y Δi<0 con i par. Δi<0 con i impar y Δi>0 con i par.

En R2, dada la forma cuadrática w(x1,x2)=x21+3x22−2x1x2, entonces los vectores (1,1) y (1,0) son conjugados respecto de w. Verdadero. Falso.

El Criterio de Sylvester clasifica formas cuadráticas usando: Traza. Menores Principales. Rangos. Autovalores.

¿Cuáles de los siguientes son requisitos para aplicar el criterio de Sylvester a una Forma Cuadrática w?. La matriz A asociada a w debe ser cuadrada. Ninguna de las otras opciones. La matriz A asociada a w debe ser simétrica. La matriz A asociada a w debe tener determinante 0.

Una forma cuadrática en R3 que tiene expresión analítica x^21+x^22−x^23 es: Semidefinida Positiva. Semidefinida Negativa. Definida Negativa. Indefinida.

En una forma bilineal simétrica, el concepto de vectores conjugados es equivalente al de vectores ortogonales respecto a dicha forma. Verdadero. Falso.

En R3, dada la forma bilineal f((x1,x2,x3),(y1,y2,y3))=2x1y1−x1y2−x2y1+4x2y2−x2y3−x3y2+5x3y3entonces: A. B. C. D.