(3.1) Una empresa de transportes gestiona una flota de 60 camiones de tres modelos diferentes. Los mayores transportan una media diaria de 15000kg. Y corren diariamente una media de 400 kilómetros. Los
medianos trasportan diariamente una media de 10000 kilogramos y recorren 300 kilómetros. Los pequeños transportan diariamente 5000 kilogramos y recorren 100 km. De media. Diariamente los camiones de la empresa transportan un total de 475 toneladas y recorren 12500 entre todos. El determinante de la matriz del coeficiente del sistema que modeliza esta situación vale: • 500000 • 400000. (3.1) La factura del teléfono del mes pasado ascendió a un total de $390 por un consumo de 80 minutos mientras que la de este mes asciende a $310,5 por un consumo de 55 minutos. El importe de cada factura es la suma de una tasa fija (mantenimiento) más un precio fijo por minuto de consumo. La matriz coeficiente que modeliza al sistema: • Es regular. • Es no regular. (3.1) La factura del teléfono del mes pasado ascendió a un total de $390 por un consumo de 80 minutos mientras que la de este mes asciende a $310,5 por un consumo de 55 minutos. El importe de cada factura es la suma de una tasa fija (mantenimiento) más un precio fijo por minuto de consumo. La matriz de coeficientes que modeliza al sistema tiene como determinante: • -25 • -35. (3.1) La factura del teléfono del mes pasado ascendió a un total de $390 por un consumo de 80 minutos mientras que la de este mes asciende a $310,5 por un consumo de 55 minutos. El importe de cada factura es la suma de una tasa fija (mantenimiento) más un precio fijo por minuto de consumo. Las distintas partes de la expresión matricial del sistema al que se le puede calcular el determinante es: • A la matriz ordenada al origen. • A la matriz de coeficiente. (3.1) La factura del teléfono del mes pasado ascendió a un total de $390 por un consumo de 80 minutos mientras que la de este mes asciende a $310,5 por un consumo de 55 minutos. El importe de cada factura es la suma de una tasa fija (mantenimiento) más un precio fijo por minuto de consumo. El determinante de la matriz de coeficientes es: • Un número entero menor a cero. • Un número entero mayor a cero. (3.1) El mes pasado compramos tomates a un precio de $60 el kilo y papas a un precio de
$40 el kg pagando por ellas un total de $150. Sin embargo, este mes hemos pagado $300 por una compra con la misma cantidad de estas hortalizas a un precio de $120 por kilo de tomate y $80 por kilo de papas. El determinante de la matriz del coeficiente del sistema que modeliza esta situación vale: 0 1. (3.1) Mariana quiere aprovechar una oferta de botones que usara en los trajes del próximo carnaval. El paquete de botones dorados brillantes cuesta $150 y el de botones plateados
$100. Necesita comprar un total de 14 paquetes. El sistema que modeliza la situación,
¿tendrá una única solución para saber cuántos paquetes de cada tipo de botón le alcanza si dispone de $1800?
• Si, ya que el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero. • Si, ya que el determinante de la matriz de coeficientes es igual de cero. (3.1) Un almacén mayorista distribuye yerba mate de tres marcas distintas. La marca A lo envasa en paquetes de 250gr y su precio es de $100 por unidad; la marca B lo envasa en paquete de 500gr a un precio de $180 y la marca C lo hace en paquetes de 1kg a un precio de $330. El almacén vende a un minorista 2,5 kg de yerba por un importe de $890.
Sabiendo que el lote iba envasado en 5 paquetes ¿Se puede calcular exactamente cuántos envases de cada marca se han comprado?
• Si ya que el determinante de la matriz del coeficiente del sistema es distinto de cero luego el sistema es compatible determinado, lo que implica una cantidad específica de envases para cada marca. • No ya que el determinante de la matriz del coeficiente del sistema es distinto de cero luego el sistema es compatible determinado, lo que implica una cantidad específica de envases para cada marca. (3.1) Una verdulería oferta un bolsón de frutas con dos kilos de bananas y tres de peras a
$78. Otro bolsón es ofertado con cinco kilos de bananas y cuatro de peras a $132. Se desea saber si hay realmente algún bolsón más conveniente en cuanto al precio en kilo de cada fruta. Se calcula el determinante de la matriz de coeficientes que representa al sistema de ecuaciones y se obtiene un número menor a cero, luego: • Hay oferta por que el sistema es compatible determinado. • No hay oferta por que el sistema es compatible determinado. (3.1) La semana pasada compramos tomate a un precio de $60 el kg y papas a un precio de
$40 el kg pagando por ellas un total de $150. Sin embargo, esta semana hemos pagado
$170 por una compra con la misma cantidad de estas hortalizas a un precio de $70 por kilo de tomates y $30 por kilo de papas. La matriz de coeficientes que modeliza al sistema tiene como determinante: • -2000 • -1000. (3.3) ¿Cuál de las siguientes operaciones preserva el valor del determinante? • Sumar a una fila otra fila. • Restar a una fila otra fila. (3.3)Dada la matriz A con |A|=0. Entonces podemos asegurar que: • La matriz posee inversa. • La matriz no posee inversa. (3.3) La semana pasada compramos tomates a un precio de $60 el kg y papas a un precio de
$40 el kg pagando x ellas un total de $150. Sin embargo, esta semana hemos pagado $170 x una compra con la misma cantidad de estas hortalizas a un precio de $70 x kg de tomates y $30 x kg de papas. Si a la matriz de coeficientes del sistema se la multiplica x 2, el determinante vale: • -5000 • -4000. (3.3) La semana pasada compramos tomates a un precio de $60 el kg y papas a un precio de
$40 el kg pagando x ellas un total de $150. Sin embargo, esta semana hemos pagado $170 x una compra con la misma cantidad de estas hortalizas a un precio de $70 x kg de tomates y
$30 x kg de papas. Si a la matriz de coeficientes del sistema se intercambian dos filas, el determinante vale: 1000 1100. (3.3) La factura del teléfono del mes pasado ascendió a un total de $390 por un consumo de 80 minutos mientras que la de este mes asciende a $310,5 por un consumo de 55 minutos. El importe de cada factura es la suma de una tasa fija (mantenimiento) más un precio fijo por minuto de consumo. Si a la matriz de coeficientes del sistema se la multiplica una fila por dos, el determinante vale: -50 -60. (3.3) La factura del teléfono del mes pasado ascendió a un total de $390 por un consumo de 80 minutos mientras que la de este mes asciende a $310,5 por un consumo de 55 minutos. El importe de cada factura es la suma de una tasa fija (mantenimiento) más un precio fijo por minuto de consumo. La matriz de coeficientes que modeliza al sistema tiene como determinante -25 -15. (4) Un sistema de ecuaciones lineales posee solución si y solo si el rango de una matriz ampliada del sistema es igual al número de incógnitas. Verdadero Falso. (4.1) Una empresa de transportes gestiona una flota de 60 camiones de tres modelos diferentes. Los mayores transportan una media diaria de 15000kg. Y corren diariamente una media de 400 kilómetros. Los medianos trasportan diariamente una media de 10000 kilogramos y recorren 300 kilómetros. Los pequeños transportan diariamente 5000 kilogramos y recorren 100 km. De media. Diariamente los camiones de la empresa transportan un total de 475 toneladas y recorren 12500 entre todos. La matriz del coeficiente que modeliza esta situación: No admite inversa Admite inversa. (4.1) Una verdulería oferta un bolsón de frutas con dos kilos de bananas y tres de pera a
$78. Otro bolsón es ofertado con cinco kilos de banana y cuatro de pera a $132. Se desea saber si hay realmente un bolsón más conveniente en cuanto al precio de las peras.
• No hay oferta porque el sistema es compatible determinado. • Si hay oferta porque el sistema es compatible determinado. (4.1) Una verdulería oferta un bolsón de frutas con dos kilos de bananas y tres de pera a
$78. Otro bolsón es ofertado con cinco kilos de banana y cuatro de pera a $132. Se desea saber si hay realmente algún bolsón más conveniente en cuanto al precio por kilo de cada fruta. Se verifica la existencia de la inversa de la matriz de coeficientes que representa al sistema de ecuaciones y se la calcula. Luego:
• No hay oferta porque el sistema es compatible determinado. • Si hay oferta porque el sistema es compatible determinado. (4.1) Sean u, v y w, tres vectores en R⁶, linealmente independientes. Sea A una matriz
formada por los tres vectores como filas. Indique el rango de la matriz A.
• El rango de la matriz a es igual A 3 • El rango de la matriz a es igual A 4. (4.1.2) Establezca la veracidad o falsedad de la siguiente proposición: “la inversa de la transpuesta es igual a la matriz original” Verdadero Falso. (4.1.2) Establezca la veracidad o falsedad de la siguiente proposición: “A.AT= I” Verdadero Falso. (4.2) Sean Xp = (2,-3,0) una solución particular para un sistema de la forma Ax = b, y sea Xh
= x3 * (-1,2,1) una solución para el sistema homogéneo asociado Ax = 0. Indique cuál de las siguientes es la expresión general para las soluciones del sistema Ax = b.
• X = (X1, X2, X3) = (3-X3,-3+2X3,X3) • X = (X1, X2, X3) = (2-X3,-3+2X3,X3). (4.2.1) ¿Cuál de las siguientes operaciones corresponde a una operación elemental? • Sumar a una fila la otra fila paralela previamente multiplicada por un escalar distinto de cero. • Sumar a una fila la otra fila paralela previamente multiplicada por un escalar igual a cero. Calcule el determinante de la matriz A =
𝟑𝟑 𝟐𝟐 −𝟏𝟏 −𝟓𝟓
𝟎𝟎 -11 22 33
00 00 33 11
00 00 00 44
-35 -36. (5.1.1) Si dos matrices cuadradas tienen el mismo rango se puede asegurar que: • Tienen la misma cantidad de filas linealmente independientes. • Tienen la misma cantidad de filas linealmente dependientes. (6.1) Seleccione las 3 (tres) opciones correctas. El gerente general de la empresa “innovaciones” con su equipo se encuentra trabajando con las propiedades de los determinantes. ¿Cuáles son?: • Si dos filas o columnas son iguales, el valor del determinante es cero. • El valor del determinante no cambia si a una fila o columna le restamos otra fila o columna. • Si dos filas o columnas de una matriz se intercambian, el determinante es opuesto al de la matriz original. • Si dos filas o columnas son iguales, el valor del determinante distinto de cero. (6.1.1) Sea A una matriz cuadrada tal que el sistema homogéneo Ax=0 solo posee solución trivial. La afirmación Ax=b posee infinitas soluciones. Verdadero Falso. Sea x una solucion particular del sistema no homogeneo Ax=b. sabiendo que el sistema homogeneo asociado Ax=0 posee ... • El sistema posee una solucion. • El sistema posee infinitas soluciones. (6.1.1) De acuerdo al sistema lineal de ecuaciones representadas por AX=0 , donde A es una matriz de orden 3x1.¿Cuál de las afirmaciones es correcta? • El sistema de ecuaciones es homogéneo. • El sistema de ecuaciones es heterogéneo. (6.1.1) En una consulta sobre una posible inversión de una herencia de 12.000 dólares, por cuestiones impositivas, un bróker nos ha sugerido que hagamos un reparto entre bonos y acciones a pesar de que tienen la misma rentabilidad anual del 4%. En base a lo planteado indique cual afirmación es correcta: • La sugerencia del bróker nos permite plantear un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas compatible indeterminado. • La sugerencia del bróker nos permite plantear un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas compatible indeterminado. (6.1.1) El gerente general de la empresa “INNOVACIONES” debe tomar decisiones en función de un sistema lineal de ecuaciones representadas por AX = 0, donde A es una matriz de orden 3 x 3 y X es de orden 3 x 1. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? • El sistema de ecuaciones es dependiente. • El sistema de ecuaciones es independiente. (6.1.2) ¿Cuál debe ser el valor de “c” para que el siguiente sistema sea compatible determinado?
𝑥 − 𝑦 = 𝑐
−𝑥 + 𝑦 = −1
• c=1 • c=-1. (6.1.3) En un sistema lineal con solución única, de m ecuaciones y n incógnitas, donde m>n,
se pueden eliminar m-n sin afectar la solución.
Falso Verdadero. (6.1.4) Determine la falsedad o veracidad del siguiente enunciado. En un sistema de ecuaciones se tiene 23 incógnitas y se sabe que tanto el rango de la matriz de los coeficientes como el de la matriz ampliada valen 17 entonces se puede afirmar que el sistema es compatible indeterminado. Verdadero Falso. (6.1.4) Determine la falsedad o veracidad del siguiente enunciado. Dado un sistema de ecuaciones lineales con n incógnitas, A.X = B, tal que r(A|B)>n entonces según el teorema el sistema es compatible determinado. Falso Verdadero. (6.1.4) Se sabe que un sistema tiene una matriz de coeficientes cuadrada y que el sistema tiene 4 incógnitas entonces, ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones acerca de dicho sistema resultan correctas? Seleccione las 2(dos) respuestas correctas. • El sistema tiene 4 ecuaciones. • r(A) es menor o igual a 4 • r(A) es igual a 4. (6.1.4) Los sistemas homogéneos son siempre compatibles. Indique cuál de las opciones es la justificación correcta de esta afirmación. • r(A) = r(A|B) siempre pues la diferencia entre una matriz y la otra es la columna de términos independientes que es un vector nulo. • r(A) = r(B|A) siempre pues la diferencia entre una matriz y la otra es la columna de términos independientes que es un vector nulo. (6.1.4) Se tiene un sistema de 7 ecuaciones lineales y 4 incógnitas y se sabe que el sistema es COMPATIBLE DETERMINADO entonces se puede afirmar que: • r(A)= 4, si A es la matriz de los coeficientes. • r(B)= 4, si A es la matriz de los coeficientes. (6.1.4) Sea A la matriz de coeficientes de un sistema de 7 ecuaciones y 3 incógnitas. La matriz ampliada (A|b) tiene rango 3. ¿Cuántas soluciones tiene el sistema de ecuaciones? • El sistema posee infinitas soluciones. • El sistema posee solución única. (6.1.5) Si un sistema de m ecuaciones lineales con s incógnitas (expresado de la forma A X
= B) es incompatible entonces: • r(A) < r(B|A) • r(A) < r(A|B). (6.1.5) Si un sistema de m ecuaciones lineales con p incógnitas (expresado de la forma A X = B) es compatible indeterminado entonces: • r(A)= r(A|B) > p • r(A)= r(A|B) < p. (6.1.5) La empresa Techo fábrica tres tipos de casas. Las de tipo 1, tienen 1 ambiente. Las de tipo 2 tienen 2 ambientes y las de tipo 3, tienen 3 ambientes. Para fabricar las de tipo 1, requiere 2 unidades de madera, 4 de arena y ninguna de aluminio. Para fabricar las de tipo 2 requiere 6 unidades de madera, 10 de arena y 2 unidades de aluminio. Para fabricar las de tipo 3 requiere 4 unidades de madera, 6 de arena y 2 de aluminio. Actualmente se dispone 24 unidades de madera, 42 unidades de arena y 6 unidades de aluminio. De los otros tipos de insumos para su construcción hay en cantidad excesiva. Indique cuál de las siguientes opciones acerca del sistema de ecuaciones que permite encontrar las cantidades a viviendas que se podrían construir apoyando los insumos disponibles es correcta. • r(A)= r(A|B)=2 y como el sistema tiene 3 incógnitas hay varias posibilidades de construir los tres tipos de viviendas de manera que agoten los insumos. • r(A)= r(A|B)=3 y como el sistema tiene 3 incógnitas hay varias posibilidades de construir los tres tipos de viviendas de manera que agoten los insumos. (6.1.5) Seleccione las 4(cuatro) opciones correctas. El gerente general de la empresa “innovaciones” con su equipo se encuentran trabajando con el método para reducción de matrices de Gauss-Jourdan. ¿Cuáles son los pasos que deben cumplirse? • Convertimos en cero los elementos que están debajo de este pivot. • Como tenemos ceros por debajo del primer pivot y tenemos un pivot en la segunda fila, convertimos en ceros a los elementos por encima y por debajo de este nuevo pivot. • Permutamos las filas 1 y 2, a los efectos de obtener un 1 en el primer elemento de la primera fila, elemento conductor o pivot. • Repetimos todo el proceso para lograr un pivot en la tercera fila y luego lo convertimos en ceros los elementos que están por encima y por debajo de él. • Repetimos todo el proceso para lograr un pivot en la segunda fila y luego lo convertimos en ceros los elementos que están por encima y por debajo de él. (6.2.1) Mariana quiere aprovechar una oferta de botones que usara en los trajes del próximo carnaval. El paquete de botones dorados brillantes cuesta $150 y el de botones plateados $100. Necesita comprar un total de 14 paquetes. El sistema que modeliza la situación, ¿tendrá una única solución para saber cuántos paquetes de cada tipo de botón le alcanza si dispone de $1800? • Si, ya que la matriz de coeficientes admite inversa y se puede usar el Método de la Inversa. (OJO AQUÍ PORQUE ES IGUAL A LA 3.1 SOLO CAMBIA LA RESPUESTA) • No, ya que la matriz de coeficientes admite inversa y se puede usar el Método de la Inversa. . (6.2.2) Una verdulería oferta un bolsón de frutas con dos kilos de banana y tres peras a $78. • En ambos bolsones el kilo de bananas salen lo mismo. • En ambos bolsones el kilo de bananas salen distinto. (6.2.2) La semana pasada compramos tomates a un precio de $60 el kg y papas a un precio de $40 el kilogramo pagando por ellas un total de $150. Sin embargo, esta semana hemos pagado $170 por una compra con la misma cantidad de estas hortalizas a un precio de $70 por kilo de tomates y $30 por kilo de papas. Se calcula el determinante de la matriz de coeficientes del sistema resultando distinto de cero y en consecuencia se aplica la regla de Cramer para resolverlo. Esto implica que: • La cantidad de tomates y de papas es una cantidad variable. • La cantidad de tomates y de papas es una cantidad fija. (S/N) Una verdulería oferta un bolsón de frutas con dos kilos de bananas y tres de peras a
$78. Otro bolsón es ofertado con cinco kilos de bananas y cuatro de peras a $132. Se desea saber cuánto está vendiendo el kilo de cada fruta. Se verifica que el determinante de la matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones sea distinto de cero y se aplica la Regla de Cramer obteniendo para el precio del kilo de peras
∆𝑝𝑒𝑟𝑎𝑠 = $18, luego:
∆
• En ambos bolsones el kilo de bananas salen distinto. • En ambos bolsones el kilo de bananas salen lo mismo. (S/N) Si la matriz A de orden n tal que su determinante es nulo, entonces: • r(A) > n • r(A) < n. (S/N) Un sistema de ecuaciones cumple qué r(A)=r(A|B)=5 siendo A la matriz de coeficientes del sistema y A|B la matriz ampliada del sistema. ¿Qué podemos decir del número n de incógnitas del sistema si se sabe que el sistema es compatible determinado? n=6 n=5. (S/N) Sea Ax=b un sistema de 4 ecuaciones y 4 incógnitas. Las columnas de la matriz de coeficientes se denotan C1, C2, C3 Y C4respectivamente, de forma que A= (C1C2C3C4). Se define la matriz A; como el resultado de reemplazar la columna c; por b, por ejemplo, A3= (C1C2bC4). Se conocen los siguientes determinantes A=0, A1= -3, A2=2,A3=6 y A4=-1. Obtenga la solución del sistema: • El sistema posee una solución. • El sistema no posee solución. (S/N) Se tiene un sistema de 6 ecuaciones lineales y 4 incógnitas. Además, se sabe que el rango de la matriz de los coeficientes es igual a 3, r(A)=3. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones acerca del sistema de ecuaciones lineales es correcta? • Si r(A|B)=3 Es compatible indeterminado. • Si r(A|B)=2 Es compatible indeterminado. • X= (27,-2,-19) • X= (27,-2,-18). • El precio por kilo de bananas es de $18 y el de pera $12 • El precio por kilo de bananas es de $12 y el de pera $18. En ambos bolsones el kilo de bananas salen lo mismo. Cada bolson tiene distinto precio. 3 2. La producción semanal del chocolate Tofler es de 110 unidades. La producción semanal del chocolate Tofler es de 100 unidades. • La producción semanal del chocolate Milka es de 50 unidades. • La producción semanal del chocolate Milka es de 100 unidades. • La producción semanal del chocolate Block es 100 unidades. • La producción semanal del chocolate Block es 1000 unidades. • Si se puede hacer esta producción porque si bien el sistema es compatible, estas soluciones no tienen sentido en este problema. • No se puede hacer esta producción porque si bien el sistema es compatible, estas soluciones no tienen sentido en este problema. Si se puede hacer esta producción porque si bien el sistema es compatible, estas soluciones no tienen sentido en este problema. No se puede hacer esta producción porque si bien el sistema es compatible, estas soluciones no tienen sentido en este problema. Si se puede hacer esta producción porque si bien el sistema es compatible, estas soluciones no tienen sentido en este problema. No se puede hacer esta producción porque si bien el sistema es compatible, estas soluciones no tienen sentido en este problema. Al plantear el sistema de dos ecuaciones lineales correspondientes no puedo encontrar solución al sistema, por lo tanto, no puedo cumplir con los requerimientos de vitaminas, carbohidratos y proteínas. Al plantear el sistema de ecuaciones lineales correspondientes no puedo encontrar solución al sistema, por lo tanto, no puedo cumplir con los requerimientos de vitaminas, carbohidratos y proteínas. Cualquier número real distinto de -1/5 Cualquier número real distinto de -1/4. -1 -2. 245 235. 1 -1. • No se puede calcular el determinante de la matriz A porque no es cuadrada. • Se puede calcular el determinante de la matriz A porque no es cuadrada. 1 2. 1 2. Matriz rectangular de orden 4x3. Matriz rectangular de orden 3x4. Esta escalonada, pero no reducida por filas y su rango es 3. Esta escalonada, pero no reducida por filas y su rango es 4. 25 35. 20 30. X1= -98 X1=-97. Es compatible determinado con única solución la trivial. Es incompatible determinado con única solución la trivial. Es compatible. Es incompatible. (S/N) Se tiene un sistema de 6 ecuaciones lineales y 4 incógnitas. Además, se sabe que el rango de la matriz de los coeficientes es igual a 3, r(A)=3. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones acerca del sistema de ecuaciones lineales es correcta? Si r(A|B)=3 Es compatible determinado. Si r(A|B)=3 Es compatible indeterminado. (S/N) Sea Ax=b un sistema de 4 ecuaciones y 4 incógnitas. Las columnas de la matriz de coeficientes se denotan C1, C2, C3 Y C4respectivamente, de forma que A= (C1|C2|C3|C4). Se define la matriz A; como el resultado de reemplazar la columna c; por b, por ejemplo, A3= (C1|C2|b|C4). Se conocen los siguientes determinantes |A|=0, |A1|= -3, |A2|=2,|A3|=6 y |A4|=-1. Obtenga la solución del sistema: • El sistema posee solución. • El sistema no posee solución. (S/N) Un sistema de ecuaciones cumple qué r(A)=r(A|B)=5 siendo A la matriz de coeficientes del sistema y A|B la matriz ampliada del sistema. ¿Qué podemos decir del número n de incógnitas del sistema si se sabe que el sistema es compatible determinado? n=5 n=6. (S/N) Si la matriz A de orden n tal que su determinante es nulo, entonces: r(A) > n r(A) < n.
-1 3 2
D= 5 4 -8
0 15 12
-1 3 2
D= 5 4 8
0 15 12.
