Estadística II - Examen Final 11.2.2011

1.- Sea F_x (x) la función de distribución de una variable aleatoria. Entonces la probabilidad de que dicha variable aleatoria tome valores en un intervalo (a b,) es: P (X∈(a,b)) = F_x(b) − F_X (a). P (X∈(a,b)) = F_x(b) − F_X (a) + P (X = b). P (X∈(a,b)) = F_x(b) − F_X (a) - P (X = a). P (X∈(a,b)) = F_x(b) − F_X (a) - P (X = b).

2.- Sea X una variable aleatoria con densidad de probabilidad constante en el intervalo (0,2) y nula en el resto de la recta real R. Entonces: P [1 < X < 2] = 1/2. P [a < X < b] = b - a para a,b ∈ (0,2). P [X > 2] = 1. P [0<X<1] = 1/4.

3.- Sea X ∈ N(µ,σ^2) y h > 0 entonces. P[X ≤ = µ + h] = P[X ≤ µ - h]. P[X ≥ = µ + h ] = P[X ≤ µ + h]. P[X ≥ = µ - h ] = P[X ≤ µ + h]. P[X ≥ = µ + h ] = P[X ≤ µ - h].

4.- Sean X,Y G ∈ (p) (modelo geométrico) variables aleatorias independientes. Entonces: E(X) = E(Y) = p. Var (X) =Var (Y) = 1/p. X +Y Ge ∈ (2·p). X +Y ∈ BN (2,p).

5.- Sean X, Y, Z las componentes de un vector aleatorio con matriz de varianzas covarianzas. 27. 15. 26. 14.

6.- Si X ∈ Exp(λ) (modelo Exponencial) entonces. P[ X = t+s | X < s ] = P(X = t). P[ X = t+s | X > s ] = P(X = t). P[ X ≤ t+s | X < s ] = P(X = t). P[ X ≤ t+s | X ≥ s ] = P(X = t).

7.- Sea (X,Y) un vector aleatorio absolutamente continuo para el que hemos calculado E [Y |_X=x ] = x +1, entonces: E [X |_Y=y ] = y+1. Hemos cometido un error en los cálculos. E [X] < E[Y]. X e Y son independientes.

8.- Sea X ∈ B(5,1/2) (Binomial) y sea Y = 2X . Entonces: Y ∈ B(10,1). Y ∈ B(10,1/2). P [Y = 2] = 5 · (1/2)^5. P [Y = 2] = (1/2).

9.- Sea (X,Y) un vector aleatorio tal que su densidad de probabilidad es k en(0,1)×(0,2) y nula en el resto de R_2. Entonces: Las leyes de probabilidad de X e Y son ambas U(0,1). E [Y] = 2E [X]. X + Y tiene una distribución uniforme. Var (X+Y) > Var (X−Y).

10.- Sean f(x,y) la función de densidad conjunta y f(y,x) la función de densidad condicionada, en una distribución de probabilidades bidimensional. Entonces: 1) f (x y, ) = f y x() sólo si las variables son independientes f (x y, ). ( f(x , y) ) / ( f(x | y) )Es una función que sólo depende de x. f(x,y) = f(y|x) ⋅ f(x|y). f(y | x) = f(x | y).

11.- Sea (X,Y) un vector aleatorio con Var (X) = Var (Y) = 1. Entonces Var (aX + bY) es igual a: aVar (X)+ bVar (Y)+ 2abCov (X,Y). (a^2 + b^2) Var(X). a^2 +b^2 + 2abCov (X,Y). (a^2 +b^2 ) Cov (X,Y).

12.- Si X = (X_1, X_2 , , X_n ) es una muestra aleatoria simple generada por un modelo X ∈ B(1,θ) (modelo de Bernoulli), entonces para i > 1. X(E_1 | X_i ) = θ. X_i (1− X_i) ∈ B(1,θ(1−θ)). E(X) = θ. Var(X) = θ(1−θ).

13.- Sea X = (X_1, X_2,..., X_n ) una m.a.s. generada por un modelo N(µ,σ^2 ) . Entonces: ∑ X_i^2 ∈ X^2(n). (ns^2)/σ^2 ∈ X^2(n). ∑ X_i^2 ∈ X^2(n-1). (ns^2)/σ^2 ∈ X^2(n-1).

14.- Tenemos una urna con 20 bolas, de las cuales 10 son rojas, 2 son negras y 8 son blancas. Extraemos 5 bolas con reemplazamiento y definimos X_r como el número de bolas rojas extraídas, X_n el número de bolas negras extraídas y X_b el número de bolas blancas extraídas. Entonces: (X_r , X_n, X_b) ∈ M (20;0'5,0'1,0'4). X_r + X_n ∈ B(5,0'6). X_r ∈ H (20,5,10). X_r ∈ B(10,0'5).

15.- Sea x_n la media muestral calculada a partir de una m.a.s. de tamaño n, generada por un modelo con media µ y varianza σ^2 finitas. Entonces: Opción 1. Opción 2. Opción 3. Opción 4.

16.- Sea X = (X_1, X_2,..., X_n ) una m.a.s. de tamaño n generada por un modelo Exponencial Exp(θ) . La distribución de probabilidad conjunta de X es. Opción 1. Opción 2. Opción 3. Opción 4.

17.- Sea X=(X_1, X_2,... X_n) una m.a.s generada por un modelo N_1(µ,σ^2). Opción 1. Opción 2. Opción 3. Opción 4.

18.-. Opción 1. Opción 2. Opción 3. Opción 4.

19.-. Opción 1. Opción 2. Opción 3. Opción 4.

20.-. Opción 1. Opción 2. Opción 3. Opción 4.