LOGICA FORMAL aaaayyyy

Ofrézcase una definición de la Lógica como disciplina: La lógica es una disciplina que analiza los procesos argumentativos en relación con su contenido y con las condiciones psicológicas de su formulación. La lógica es una ciencia que estudia y describe los criterios que cabe aplicar a los argumentos desde el punto de vista de su estructura así como las propiedades generales de tales criterios. La lógica es una ciencia que establece principios formales que permiten distinguir entre argumentos verdaderos y argumentos falsos atendiendo a su conclusión.

¿Qué es un argumento desde el punto de vista de la Lógica formal?. Un argumento es un par ordenado del tipo <X, A>, donde X es un subconjunto de un lenguaje formal (LE) que representa las premisas, y A es un enunciado perteneciente a LE que representa la conclusión. Formalización: <X, A>, donde X ⊆ LE y A ∈ LE. Un argumento es un par ordenado del tipo <X, A>, donde X es un conjunto de enunciados pertenecientes a LE que representan conclusiones, y A es un subconjunto de LE que representa las premisas. Formalización: <X, A>, donde X ⊆ LE y A ⊆ LE. Un argumento es un par ordenado del tipo <X, A>, donde X es un subconjunto de un lenguaje natural (LN) que representa las premisas, y A es un enunciado perteneciente a LN que representa la conclusión. Formalización: <X, A>, donde X ⊆ LN y A ∈ LN.

¿Qué es una regimentación lógica del lenguaje en el contexto de la Lógica de Primer Orden (LPO)?. Es una elección concreta de un juego de variables y constantes que conforman el vocabulario lógico formal, incluyendo relaciones n-arias, constantes y variables individuales, cuantores y conectivas. Formalización: Vb = [ {∀, ∃}, {¬, →, ∨, &}, {R₁¹, Rᵢ¹, R₁², Rᵢ², ..., R₁ⁿ, Rᵢⁿ}, {a, b, c, a₁, aᵢ}, {x, y, z, x₁, xᵢ} ]. Es una asignación sintáctica que selecciona exclusivamente relaciones y constantes lógicas, sin incluir variables, con el fin de componer fórmulas bien formadas en un lenguaje formal. Formalización: Vb = [ {∀, ∃}, {¬, →, ∨, &}, {R₁ⁿ, ..., Rᵢⁿ} ]. Es una estructura de interpretación semántica que determina el significado de los símbolos lógicos y no lógicos, permitiendo evaluar la verdad o falsedad de las fórmulas en modelos determinados. Formalización: Vb = [ {∀, ∃}, {¬, →, ∨, &}, {M, I, D}, {v} ].

¿Qué es un enunciado?. Un enunciado es toda oración susceptible en principio de recibir un valor de verdad. Creo que ha quedado claro que “susceptible en principio” indica nuestra disposición a intentar concederle uno de esos valores de verdad –de entre un número posible de ellos (verdadero, falso, probable, posible, indeterminado, etc,...) - y no que, de hecho, posea ya uno. Las paradojas o las predicciones son casos de enunciados donde no podemos dar un valor de verdad (al menos de verdadero o falso) aquí y ahora. Un enunciado es toda oración susceptible en principio de recibir un valor de verdad. “Susceptible en principio” indica que efectivamente podemos asignarle un valor verdadero o falso, aunque en algunos contextos pueda parecer incierto. Las paradojas o las predicciones son ejemplos de oraciones en las que ese valor no es inmediatamente evidente, pero que, por principio, ya poseen uno. Un enunciado es toda oración susceptible en principio de recibir un valor de verdad. “Susceptible en principio” quiere decir que todas las oraciones tienen necesariamente un valor de verdad, ya sea verdadero o falso. Por ello, incluso las paradojas o las predicciones deben tenerlo, aunque no podamos determinarlo ahora.

¿Qué tipos de reglas es posible encontrar en el Cálculo de Deducción Natural (DN)?. En el cálculo de DN encontramos reglas de dos tipos: de introducción y de eliminación. Las reglas de introducción consisten en las condiciones suficientes y necesarias para introducir una conectiva (de la LPO) o un cuantor. Las reglas de eliminación igual, pero para la eliminación de una conectiva o de un cuantor. Contamos con dos reglas por cada conectiva (¬, →, ∨, &) y cuantor (∀, ∃), de modo que en total el cálculo DN cuenta con 12 reglas. En el cálculo de DN encontramos reglas de dos tipos: de introducción y de eliminación. Las reglas de introducción consisten en las condiciones necesarias para introducir una conectiva o un cuantor; las de eliminación, en cambio, expresan las condiciones suficientes para suprimir una conectiva o un cuantor. Contamos con dos reglas para cada conectiva (¬, →, ∨, &) y cada cuantor (∀, ∃), lo que hace un total de 10 reglas. En el cálculo de DN encontramos reglas de dos tipos: de introducción y de eliminación. Las reglas de introducción sirven para introducir fórmulas compuestas a partir de conectivas o cuantores, mientras que las de eliminación permiten derivar conclusiones a partir de fórmulas simples. Para cada una de las conectivas (¬, →, ∨, &) y cuantores (∀, ∃), existe una única regla, lo que da un total de 6 reglas.

Supongamos que A no es derivable a partir de Γ. ¿Podemos demostrar esa afirmación dentro del cálculo de Deducción Natural (DN)?. No, no podemos demostrar dentro de DN que A no es derivable a partir de Γ, porque no existe un procedimiento general para distinguir entre el caso en que aún no hemos encontrado la prueba y el caso en que no es posible encontrarla. Esto se debe al problema de la decisión: no podemos saber si no hay una prueba o simplemente no hemos llegado aún a ella. Sí, podemos demostrar dentro de DN que A no es derivable a partir de Γ, siempre que agotemos todas las posibles reglas de deducción y no logremos construir una prueba. Esta es la vía para mostrar que un enunciado no es consecuencia lógica del conjunto Γ. No podemos demostrar que A no sea derivable a partir de Γ en términos absolutos, pero sí podemos demostrarlo dentro de DN si agotamos todas las derivaciones posibles hasta un número finito de pasos y no encontramos la prueba. En ese caso, concluimos que A no se deriva de Γ.

¿Es posible demostrar en el cálculo de Deducción Natural (DN) argumentos cuyo conjunto de premisas es el conjunto vacío, o por el contrario, son siempre necesarias premisas?. Sí es posible demostrar en el cálculo DN argumentos cuyo conjunto de premisas es el conjunto vacío. Si ocurriera que en DN todas las reglas necesariamente necesitasen premisas en su cabecera podríamos concluir que tal cosa es imposible. No obstante, el cálculo DN cuenta con dos reglas que nos permiten imaginar situaciones en las que podemos probar una conclusión a partir de un conjunto vacío de premisas. Esto se debe a que en la cabecera de estas dos reglas solo se encuentran supuestos, no premisas. Estas dos reglas son la regla de introducción del negador y la regla de introducción del condicional material. Además, también sabemos de la existencia de teoremas, que por definición son fórmulas derivables a partir de un conjunto vacío de premisas. No es posible demostrar en el cálculo DN argumentos cuyo conjunto de premisas es el conjunto vacío. Si bien existen reglas como la introducción del negador y la introducción del condicional material, estas reglas requieren de supuestos que, en el contexto de DN, equivalen a premisas. Por tanto, toda derivación necesita al menos una premisa explícita. Además, los teoremas no pueden derivarse si no se parte de algún conjunto no vacío de premisas, aunque este sea mínimo. Sí es posible demostrar en el cálculo DN argumentos cuyo conjunto de premisas es el conjunto vacío, pero solo en el caso de que se trate de fórmulas tautológicas o equivalencias lógicas generales. Sin embargo, estas derivaciones no se realizan mediante reglas con supuestos, como la introducción del negador o del condicional, sino exclusivamente a través de las reglas de eliminación aplicadas a fórmulas básicas. Por tanto, no puede decirse que se trate de una deducción a partir de un conjunto vacío en sentido estricto.

¿Cuáles son las nuevas constantes lógicas de la lógica de Primer Orden?. Las nuevas constantes lógicas de la LPO (con respecto a la Lógica de Enunciados) son los dos cuantores precisos: “∀” (“para todos…”, se le denomina “cuantor universal”) y “∃” (“existe un…”, se le denomina “cuantor existencial”). Las conectivas ya existían en Lógica de Enunciados (¬, &, ∨, →). Las nuevas constantes lógicas de la LPO (con respecto a la Lógica de Enunciados) son los dos cuantores precisos: “∀” (“existe un…”, cuantor universal) y “∃” (“para todos…”, cuantor existencial). Las conectivas ya existían en Lógica de Enunciados (¬, &, ∨, →). Las nuevas constantes lógicas de la LPO (con respecto a la Lógica de Enunciados) son las conectivas cuantificadas: “∀” (negación universal) y “∃” (existencia condicional). Además, se añaden nuevas conectivas como la bicondicional “↔” y la negación fuerte “¬”.

¿A qué se denomina “ariedad de una relación”?. Se denomina ariedad de una relación al número de individuos necesarios para formar una oración bien formada, es decir, para dar lugar a una oración con sentido. Se denomina ariedad de una relación al número de términos lingüísticos que componen una oración gramaticalmente correcta, independientemente del número de individuos implicados en la relación. Se denomina ariedad de una relación al número de enunciados que deben conectarse mediante una relación lógica para que la oración sea válida dentro del sistema formal.

¿Qué es un “término individual”?. Un término individual puede ser tanto una variable individual como una constante individual. Ambas refieren a individuos determinados, pero su diferencia reside en el modo en que designan: las constantes individuales designan rígidamente (como un nombre propio), mientras que las variables individuales designan de forma no rígida. Un término individual puede ser tanto una constante individual como una función lógica. Ambas designan objetos del lenguaje, pero solo las constantes se corresponden con individuos concretos; las funciones, en cambio, dependen del contexto para adquirir referencia. Un término individual puede ser tanto una variable como una conectiva. La diferencia es que las variables designan individuos posibles y las conectivas operan sobre individuos reales, por lo que solo las variables pueden considerarse verdaderos términos individuales.

¿Qué tipos diferentes de términos individuales se admiten en la Lógica de Primer Orden (LPO)?. Los términos individuales admitidos en la Lógica de Primer Orden son las constantes individuales y las variables individuales. Constante individual: {a, b, c, ..., a₁, a₂, ..., aₙ} Variable individual: {x, y, z, ..., x₁, x₂, ..., xₙ}. Los términos individuales admitidos en la Lógica de Primer Orden son las constantes individuales y las variables proposicionales. Constante individual: {a, b, c, ..., a₁, a₂, ..., aₙ} Variable proposicional: {p, q, r, ..., p₁, p₂, ..., pₙ}. Los términos individuales admitidos en la Lógica de Primer Orden son únicamente las constantes individuales, ya que las variables individuales no tienen por sí solas función referencial. Constante individual: {a, b, c, ..., a₁, a₂, ..., aₙ} Variables individuales: no se consideran términos propiamente dichos.

¿Cómo son las fórmulas atómicas de la Lógica de Primer Orden (LPO)?. Las fórmulas atómicas son aquellas expresiones más simples que puedan ser susceptibles de verdad o falsedad. En el caso de la LPO, tales expresiones son términos puestos en una relación entre sí. La fórmula atómica de la LPO se encuentra en la cláusula base de la definición recursiva del conjunto Lc de las FBF de la LPO. Las fórmulas atómicas son aquellas expresiones más simples que puedan ser construidas sin conectivas. En el caso de la LPO, tales expresiones son constantes puestas en relación con variables mediante conectivas. La fórmula atómica de la LPO aparece en la cláusula inductiva de la definición del conjunto Lc. Las fórmulas atómicas son aquellas expresiones mínimas que expresan relaciones lógicas completas entre enunciados. En la LPO, estas fórmulas se generan aplicando cuantificadores a una relación entre términos. La fórmula atómica se define al final del conjunto Lc de las FBF.

¿Cuándo decimos que un argumento del tipo Γ⊢𝐷𝑁 𝐴 es derivable en el Cálculo de Deducción Natural?. Cuando podemos formar una prueba de A a partir de las premisas Γ ejecutando las reglas del cálculo de DN, es decir, cuando de acuerdo con las reglas de DN podemos afirmar que A es consecuencia de las premisas incluidas en Γ. Cuando podemos establecer que A es verdadero en todos los modelos en los que las premisas Γ también lo son, es decir, cuando la validez semántica de A está garantizada por la verdad de Γ dentro del sistema DN. Cuando existe una interpretación dentro del lenguaje formal que asigna un valor de verdad verdadero a A, independientemente de si A se sigue o no de las premisas Γ, siempre que se respeten las reglas estructurales del sistema DN.

¿En qué consiste una ocurrencia libre y una ligada de una variable en una fórmula?. Una ocurrencia de una variable está libre si no cae bajo el alcance de ningún cuantor. En caso contrario, esa ocurrencia aparece ligada. El cuantor es lo que la liga. En ∃xRxy o ∀xRxy, la variable y es una ocurrencia libre y la x es una ocurrencia ligada. Una ocurrencia de una variable está ligada si no está afectada por ningún cuantor, y libre si está dentro del ámbito de un cuantor. En ∃xRxy, la x es una ocurrencia libre porque aparece junto al cuantor, y la y es una ocurrencia ligada porque está en el interior de la fórmula. Una ocurrencia de una variable está libre si aparece fuera de cualquier relación formal, y ligada si aparece dentro de una expresión que contiene términos cuantificados. En ∃xRxy, ambas variables están ligadas porque la fórmula completa está introducida por un cuantor.

¿Qué es una teoría decidible?. Una teoría es decidible si, dada una fórmula A, se puede establecer, siguiendo un procedimiento finito, si pertenece o no a la teoría. Una teoría es decidible si, dada una fórmula A, podemos determinar mediante una interpretación adecuada si dicha fórmula es verdadera en todos los modelos posibles. Una teoría es decidible si existe un conjunto finito de axiomas a partir de los cuales puede deducirse toda fórmula verdadera del lenguaje correspondiente sin necesidad de un procedimiento algorítmico.

¿Cómo se define la noción de “prueba” en Lógica formal?. Una prueba consiste en una secuencia finita de fórmulas donde las primeras son las premisas (o hipótesis) y la última es la conclusión. Las fórmulas intermedias constituyen la cadena de razonamientos que conducen desde las premisas hasta la conclusión. Dichos razonamientos se obtienen mediante la aplicación de reglas que dependen del sistema de cálculo empleado para examinar el argumento. Una prueba consiste en una secuencia infinita de fórmulas en la que todas se deducen directamente de las premisas mediante reglas de transformación lógica. La conclusión es una fórmula verdadera que se impone como resultado final una vez agotadas todas las reglas posibles del sistema. Una prueba consiste en una sucesión de fórmulas en la que las primeras se derivan directamente de la conclusión utilizando reglas inversas, y el objetivo es verificar si las premisas aparecen en algún paso anterior. Las reglas aplicadas no dependen del sistema de cálculo, sino del contenido del argumento.

¿Cómo se define la relación de derivabilidad formal X⊢sA?. La relación de derivabilidad formal X⊢sA consiste en que A pueda ser demostrada a partir de las premisas contenidas en X. Más concretamente, existe una forma de llegar a A mediante manipulaciones formales de las fórmulas contenidas en X, aplicando las reglas del sistema de cálculo S. La relación de derivabilidad formal X⊢sA consiste en que A es verdadera en todos los modelos donde son verdaderas las fórmulas de X, es decir, se puede inferir semánticamente la verdad de A a partir de X en el sistema S. La relación de derivabilidad formal X⊢sA consiste en que A está contenida de forma explícita en el conjunto X o bien se obtiene mediante una única regla de deducción directa. El sistema S no interviene en la validez de la derivación.