El máximo común divisor (m.c.d.) de varios números será el resultado de seleccionar entre sus divisores comunes al mayor de ellos.
Vamos a realizar el cálculo del máximo común divisor de los números 12, 30 y 18.
Divisores de 12 = 1, 2, 3, 4, 6 y 12.
Divisores de 30 = 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 y 30.
Divisores de 18 = 1, 2, 3, 6, 9 y 18.
Una vez puestos sus divisores, basta con ver el mayor que se repite, así, m.c.d.(12,30,18)=6.
Este método sencillo resulta muy tedioso si los números son grandes, así, una vez conocido bien el significado del m.c.d., vamos a estudiar un algoritmo, en el siguiente ejemplo, que nos resuelve cualquier cálculo del menor de los divisores comunes a varios números de forma rápida.
EJEMPLO para calcular el m.c.d. (12, 18):
1º Descomponemos los números en factores primos:
12 | 2 18 | 2
6 | 2 9 | 3
3 | 3 3 | 3
1 1
2º Los expresamos como potencias: 12 = 2(p2) · 3 18 = 2 · 3(p2)
3º Se multiplican entre sí sólo los números primos que aparecen repetidos y con el menor exponente común.
m.c.d. (12,18) = 2 . 3 = 6
Calcula el M.C.D. y corrígete. M.C.D. de 17, 21 = M.C.D. de 98, 20 = M.C.D. de 21, 41 = M.C.D. de 6, 49 = M.C.D. de 51, 42 = M.C.D. de 23, 47 = .
Calcula mentalmente el máximo común divisor de estos números y relaciónalo con el resultado. m.c.d. (130 y 600 ) m.c.d. (6 y 12 ) m.c.d. (7 y 23 ) m.c.d. (15 y 75 ) m.c.d. (30 y 8 ) m.c.d. (16 y 24).
Aplicación a la resolución de problemas.
Se resuelven con el m.c.m. o el m.c.d. los problemas en los que , por ejemplo, se desee averiguar algún tipo de coincidencia, agrupamiento o reparto de varias cantidades de forma que no sobre nada. Pasamos a ver dos problemas resueltos:
PROBLEMA 1
Tres amigos Pedro, Juan y María, coinciden un día en la piscina. Al terminar de bañarse acuerdan quedar para jugar al tenis la próxima vez que se vean.
Si Pedro nada 1 vez cada 4 semanas, Juan una vez cada 15 días y María cada tres días, ¿dentro de cuántos días tendrán que traer las raquetas de tenis?
Tenemos que cada uno de ellos nada los días múltiplo de 28 (4 semanas), 15 y 3 días.
Como nos interesa el primer día que se encuentren, éste será el menor múltiplo común (m.c.m.) de 28, 15 y 3.
Resolviéndolo, tenemos que sus descomposiciones en factores primos son:
28 = 2(p2) · 7 15 = 3 · 5 3 = 3 ⇒ m.c.m. (28, 15, 3 ) = 2(p2) · 3 · 5 · 7 = 420 días.
Así, deberán llevar las raquetas dentro de 420 días, momento en el que coincidirán la próxima vez en la piscina.
EJERCICIO:En una tienda de comestibles tienen, 400 caramelos de fresa y 720 de limón. Quieren hacer paquetes del mayor número de caramelos posible y de forma que tengan la misma cantidad de caramelos sin mezclar los dos sabores. También desean que al final del envasado no sobre ni falte ningún caramelo. ¿Cuántos caramelos habrá en cada paquete? ¿Cuántos paquetes se obtendrán? Habrá 14 paquetes con 80 caramelos cada uno Habra 10 paquetes con112 caramelos cada uno.
Un carpintero tiene 20 listones de 1,50 metros, 15 listones de 0,60 metros y 12 listones de 2,40 metros. Desea construir marcos cuadrados para fotografías de forma que tengan el mayor tamaño posible de lado. ¿Cuál es el tamaño mayor del lado que podrá construir sin que le sobre ningún trozo? ¿Cuántos marcos podrá realizar?
Observamos que se desean hacer divisiones exactas y con el mayor tamaño común para varias maderas. Se resolverá utilizando el máximo común divisor de las longitudes de los tres listones. Como las medidas del marco serán del orden de los cm, pasamos a esta unidad los listones para encontrar su mayor divisor común (m.c.d.) (a 150, 60 y 240 centímetros).
Resolviéndolo, tenemos que sus descomposiciones en factores primos son:
150 = 2 · 3 · 52 60 = 22 · 3 · 5 240 = 24 · 3 · 5
m.c.d.(150, 60, 240) = 2 · 3 · 5 = 30 cm.
Así, como los trozos son de 30 cm:
del listón de 150cm : 30cm = 5 trozos por 20 listones = 100 trozos.
del listón de 60 cm : 30 cm = 2 trozos por 15 listones = 30 trozos.
del listón de 240 cm : 30 cm = 8 trozos por 12 listones = 96 trozos
El carpintero tendrá en total 226 trozos, que divididos para los 4 que se necesitan en cada marco, nos dan un total de
56 marcos y le sobrarán dos trozos de cm. 30 cm 45 cm No sobra nada, sale justo.
|
