Mates duras 2.0 2

Las condiciones de contorno de Dirichlet (valor conocido de la función incógnita en el contorno): No es necesario imponerlas si el valor de la función es cero en los nodos del contorno. En general es necesario imponerlas para que el sistema de ecuaciones resultante no sea singular. En general no se satisfacen exactamente en la solución de elementos finitos. En general se imponen al formar las matrices de elemento.

El uso de la integración por partes en el planteamiento del método de los elementos finitos es conveniente debido a que: Permite evaluar numéricamente las integrales. Permite que se pueda obtener soluciones nodales que cumplen exactamente las condiciones de contorno de Dirichlet. Permite reducir la continuidad necesaria en la interpolación e introducir las condiciones de contorno tipo Neumann. Permite introducir el planteamiento de Galerkin y obtener matrices simétricas.

Indicar bajo qué condiciones la solución de elementos finitos de la siguiente ecuación diferencial en R2 conduce a un sistema de ecuaciones algebraicas no lineales. Permite evaluar numéricamente las integrales. Permite que se pueda obtener soluciones nodales que cumplen exactamente las condiciones de contorno de Dirichlet. Permite reducir la continuidad necesaria en la interpolación e introducir las condiciones de contorno tipo Neumann. Permite introducir el planteamiento de Galerkin y obtener matrices simétricas.

En el planteamiento del método de elementos finitos para la resolución de una ecuación diferencial de segundo orden, el residuo ponderado asociado al dominio se sustituye por la suma de los residuos de todos los elementos, es decir, (formula) ¿Bajo cuál de las siguientes condiciones es posible hacerlo?. Si la interpolación de la función u es de continuidad C0. Si se utiliza interpolación en coordenadas globales. Si se ha utilizado el planteamiento de Galerkin. Si se utiliza integración numérica exacta.

La figura muestra una malla de elementos finitos cuadriláteros de cuatro nodos, en la que se incluye la numeración de nodos y elementos. La interpolación puede formularse directamente en coordenadas globales (x,y) debido a que los elementos son de lados rectos, aunque resulta más laborioso. Se debe de considerar una interpolación isoparamétrica para conseguir continuidad C0. La solución será idéntica, independientemente de que la interpolación se plantee en coordenadas locales (E,n) o globales (x,y). La interpolación debe plantearse en coordenadas globales si los elementos están distorsionados.

El método de residuos ponderados: Se puede aplicar sin utilizar integración por partes. Sólo sirve para resolver ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden. Sólo sirve para resolver ecuaciones diferenciales lineales o no lineales de segundo orden. Se puede aplicar a cualquier ecuación diferencial pero con la condición de que las funciones de ponderación sean de continuidad C0.

En el planteamiento del método de elementos finitos mediante residuos ponderados para la resolución de la ecuación diferencial (d2u/dx2)+(d2u/dy2)=0 se ha utilizado integración por partes y la formulación de Galerkin. ¿Bajo qué condiciones el residuo ponderado asociado al dominio puede sustituirse por la suma de los residuos de todos los elementos?, es decir,. Si las funciones de ponderación  se anulan en el contorno con condiciones de Dirichlet. Si se han utilizado las mismas funciones de forma para definir la función de interpolación y las de ponderación. Si las funciones de ponderación son de continuidad C0. Si la transformación de coordenadas entre los elementos reales y los de referencia es biunívoca.

Dadas una ecuación diferencial lineal de 2º orden definida en un dominio A, una función de ponderación tridente y sabiendo que R(u) denota el residuo de dicha ecuación y que u cumple las condiciones de contorno, indicar cual de las siguientes afirmaciones es cierta: a. b. c. d.

Se ha resuelto un problema mediante el método de los elementos finitos. Supóngase que en la resolución se han utilizado elementos triangulares de 3 nodos. ¿Cómo son los diferentes campos solución obtenidos en el interior de cada elemento?. a. b. c. d.

El método de los elementos finitos: Divide el dominio global en nodos y elementos y define las incógnitas en los nodos. Se basa en la utilización de polinomios de prueba definidos en el dominio global. Utiliza elementos con las incógnitas definidas en los contornos del dominio global. Se basa en la discretización del dominio global en nodos y elementos y en el uso de polinomios de prueba definidos en el dominio completo.

Suponiendo que se cumplen los requisitos necesarios para que exista convergencia a la solución correcta, el error de la solución aumenta cuando: Se utiliza mayor número de nodos. Se disminuye el tamaño de elemento. Se aumenta el número de elementos. Se disminuye el grado del polinomio de interpolación.

La transformación de coordenadas isoparamétrica con funciones de forma cuadráticas: Siempre transforma exactamente los contornos exteriores de elementos aunque sean curvos. Siempre transforma exactamente las áreas de los elementos bidimensionales con contornos curvos. Siempre transforma exactamente la posición de los nodos. Siempre transforma biunívocamente todos los puntos del elemento.

En el problema de la figura que modela el dominio por el que circula un flujo ideal irrotacional, y si se plantea su resolución mediante una formulación potencial, se tiene que: El contorno AF tiene condiciones de contorno de Dirichlet y el DE condiciones de contorno de Neumann. El contorno AF tiene condiciones de contorno de Neumann y el DE condiciones de contorno de Dirichlet. El contorno BC tiene condiciones de contorno de Neumann y el DE condiciones de contorno de Dirichlet. Los contornos BC y DE tienen condiciones de contorno de Dirichlet.

En la figura se muestra un problema con las correspondientes condiciones de contorno tipo Dirichlet y su discretización mediante elementos triangulares lineales. La solución de elementos finitos: Cumplirá exactamente las condiciones de Dirichlet en ambos contornos. Cumplirá de manera aproximada las condiciones de contorno. Cumplirá exactamente la condición del contorno superior y aproximadamente en el contorno izquierdo. No esta garantizado el cumplimiento exacto de las condiciones de contorno de Dirichlet en ningún punto.

En relación a la solución de elementos finitos obtenida utilizando elementos triangulares y cuadriláteros isoparamétricos como los mostrados en la figura: No sería correcta ya que en la frontera entre elementos no es posible asegurar la continuidad C0 en la transformación de coordenadas. En la frontera entre ambos elementos las derivadas de teta son continuas por ser elementos cuadráticos. En la frontera entre ambos elementos las derivadas de teta son discontinuas. No sería correcta ya que el elemento cuadrilátero tiene términos parásitos y el triangular no.