Preparatoria
Matemáticas Dos
clave 21
Módulo 1 .
POSTULADOS DE ORDEN
Existen preposiciones en las que se comparan valores, medidas etc. Los postulados de campo, las propiedades de la igualdad y la equivalencia sirven para justificar que existe diferencia, pero no permite o justifica el sentido de esta diferencia.
Los elementos que se manejan son número reales y se demuestra que forma un campo. Se necesita demostrar que se pueden ordenar y comparar de acuerdo con ese orden, para demostrar en los casos de desigualdad cuál es mayor o cuál es menor, es decir, el conjunto
de los números reales forman un campo ordenado.
Campo ordenado: es todo conjunto cuyos elementos cumplen con los seis postulados de campo para dos operaciones y además guardan un orden al compararse entre ellos. Considerando que vamos a acomodar los números uno después de otro, empezaremos por acomodar y definir a tres conjuntos disjuntos cuya unión forman el conjunto R.
l. Sea P. el conjunto de números positivos.
2. { x | - x ϵ P}. El conjunto de números negativos que se definen usando el conjunto P, como
aquellos números cuyo inverso es positivo. Siendo x negativo -x es positivo.
3. {0} Este conjunto complementa la unión de los dos anteriores y tiene un solo elemento,
por el teorema 5 de Matemáticas I, se sabe que el cero es un número cuyo inverso aditivo
es él mismo.
El orden de los tres conjuntos definidos se establece usando las siguientes definiciones:
x ϵ R, x > 0 ⇔ x ϵ P
x ϵ R, x < 0 ⇔ -x ϵ p
De acuerdo con las definiciones cualquier número positivo es mayor que 0 y cualquier número negativo es menor que 0. Usando la regla de inferencia de la cadena, se deduce que cualquier número positivo es mayor que cualquier número negativo.
el conjunto de los números
reales forman Campo ordenado: es todo conjunto
cuyos elementos cumplen con Organizaremos a tres conjuntos disjuntos
cuya unión forman el conjunto R.
POSTULADOS DE ORDEN 1.-Sea P. el conjunto de 2.-{ x | - x ϵ P}. El conjunto 3.- {0} Este conjunto complementa la El orden de los tres conjuntos
definidosse establece usando
las siguientes definiciones:.
De acuerdo con las definiciones y cualquier número negativo es menor que 0. Usando la regla de inferencia de la cadena, se deduce que cualquier número positivo es mayor que cualquier número negativo. cualquier número positivo es cualquier número positivo es mayor que .
Postulados de orden:
Postulado1: Tricotomía. Si x,y ϵ R entonces sólo una de las proposiciones siguientes es verdadera.
x > y ó x < y ó x = y
Postulado 2: Transitivo. Si un número real es mayor que un segundo número, y éste mayor que un tercer número, entonces el primer número es mayor que el tercero.
x, y, z ϵ R, x > y & y > z ⇒ x > z
Nota: el símbolo & equivale al conectivo “y” para evitar confusión en “x y y”. Tricotomía. Si x,y ϵ R entonces sólo una de las proposiciones siguientes es verdadera. Postulado 2: Transitivo. .
Postulado 3: Aditivo: x, y, z ϵ R, x > y ⇒ x + z > y + z
Postulado 4: Multiplicativo: x, y, z ϵ R, z > 0 & x > y ⇒ xz > yz Postulado 3: Aditivo: Postulado 4: Multiplicativo: .
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