Tema 1 - Integrales Dobles

¿Qué herramienta matemática permite calcular áreas? A) La integral. B) La derivada. C) La transformada de Laplace. D) La serie de Fourier. Integral. Derrivada. Transformada de Laplace. Serie de Fourier.

¿Cuáles son los tres temas principales listados en el índice?. Integrales de línea, Integrales de superficie, Teorema de Stokes. Integrales dobles, Integrales triples, Aplicaciones de las integrales múltiples. Ecuaciones diferenciales, Cálculo vectorial, Optimización. Polinomios de Taylor, Series de potencias, Convergencia.

Para la integral de una función de una variable y=f(x), ¿cómo se relaciona el signo del área representada con los valores de la función?. Siempre representa un área positiva. Siempre representa un área negativa. Representa el área con signo positivo cuando la función toma valores positivos y signo negativo cuando toma valores negativos. El signo depende del orden de los límites de integración.

Según el Teorema Fundamental del Cálculo, si f es continua en [a, b] y F(x) es la función integral de f en [a,b], ¿qué propiedad fundamental se cumple?. F(x) es una función constante en [a,b]. F es derivable en [a, b] y F'(x) = f(x) para todo x ∈ [a,b]. F(x) siempre es igual a cero. F(x) es discontinua en todos los puntos.

Los conceptos de la integral de funciones de una variable real se generalizarán a qué tipo de funciones: Funciones vectoriales en R3. Funciones escalares de 2 y 3 variables. Funciones complejas en R2. Funciones definidas en el espacio euclidiano de dimensión n.

¿Cuál de las siguientes opciones se lista explícitamente como un "Elemento en el plano: R2"?. Superficies. Curvas. Volúmenes. Campos escalares.

¿Cuáles son los dos sistemas de coordenadas mencionados para el plano R2?. Cartesianas y Cilíndricas. Cilíndricas y Esféricas. Cartesianas y Polares. Esféricas y Polares.

¿Cuáles son los tres sistemas de coordenadas mencionados explícitamente para el espacio R3?. Cartesianas, Bipolares, Cilíndricas. Cilíndricas, Esféricas, Parabólicas. Cartesianas, Cilíndricas, Esféricas. Polares, Esféricas, Cartesianas.

¿Cuáles son las fórmulas de transformación de coordenadas Cilíndricas (r, θ, z) a Cartesianas (x, y, z)?. x = r cosθ, y = r sinθ, z = z. x = r sinθ, y = r cosθ, z = z. x = r sinϕ cosθ, y = r sinϕ sinθ, z = r cosϕ. x = r, y = θ, z = z.

Para una función f: D ⊂ R2 → R con z=f(x,y), ¿qué representa geométricamente la integral doble ∫∫_D f(x,y) dxdy si f(x,y) > 0 en el recinto de integración D?. El área del recinto D. El volumen de la figura con base D y altura f(x,y). La longitud del borde del recinto D. El valor promedio de la función en D.

¿Cómo se define formalmente un "intervalo en R2", denotado como I?. La unión de dos intervalos cerrados. El producto cartesiano de dos intervalos cerrados, I = [a,b] x [c,d]. Cualquier región acotada con frontera suave. Un conjunto de puntos (x,y) tal que (a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d) ó (a ≤ y ≤ b, c ≤ x ≤ d).

Una partición P de un intervalo I = [a,b] x [c,d] en R2 se define como P = P1 x P2. ¿Qué son P1 y P2 en esta definición?. Funciones de una variable. Particiones del dominio I. Conjuntos de puntos que dividen los intervalos [a,b] y [c,d] respectivamente. Los subintervalos generados por la partición P.

Dada una función f acotada en un intervalo I de R2 y una partición P de I, ¿cómo se define la suma inferior s(P,f) de Riemann?. Como la suma de los valores máximos de f en cada subintervalo multiplicados por su área. Como la suma de los valores mínimos de f en cada subintervalo multiplicados por su área. Como la suma de los ínfimos de f en cada subintervalo multiplicados por su área. Como la suma de los supremos de f en cada subintervalo multiplicados por su área.

Una función f es Riemann integrable en un intervalo I de R2 si: La función es continua en todos los puntos de I. La función es acotada en I. Los valores de la integral inferior de Riemann y la integral superior de Riemann coinciden. Las sumas de Riemann superiores e inferiores convergen al mismo valor al refinar la partición.

Una función f es integrable en un intervalo I de R2 si es continua en I, salvo a lo más en: Un número finito de puntos. Una unión finita de curvas. Una unión finita de líneas. La frontera del intervalo I.

¿Cuál es el método de cálculo principal que se explica para las integrales dobles sobre dominios rectangulares, que implica fijar una variable e integrar con respecto a la otra?. Integración por partes. Cambio de variable. Integrales iteradas. Uso de series de potencias.

¿Qué teorema fundamental permite calcular la integral doble sobre un dominio rectangular mediante la evaluación de integrales iteradas?. Teorema de Green. Teorema de la Divergencia. Teorema de Stokes. Teorema de Fubini.

¿Cuál es una de las razones por las que puede ser útil usar un cambio de variable en R2?. Para aumentar la complejidad de la función a integrar. Para cambiar la dimensión del espacio de integración. Para simplificar la función a integrar, el dominio de integración, o ambas cosas. Para convertir la integral doble en una simple suma.

Para un cambio de variable T(u,v) = (x(u,v), y(u,v)) en R2, ¿qué factor aparece multiplicando el integrando transformado en la fórmula de la integral doble?. La función f evaluada en (x(u,v), y(u,v)). El determinante de la matriz de la transformación lineal. El valor absoluto del jacobiano de la transformación. El área del dominio original.

Si la función a integrar es f(x,y) = 1 sobre un dominio D en R2, ¿qué representa geométricamente el valor de la integral doble ∫∫_D 1 dxdy?. El perímetro del dominio D. El volumen de un sólido de altura 1 con base D. El área del dominio D. El centro de masa del dominio D.